Règles de calcul pour les opérations a effectuer sur

LES LOGARITHMES A CARACTÉRISTIQUE NÉGATIVE. Uu logarithme,

à caractéristique négative , doit être regardé comme un binôme de la forme (— a-j-fr), dans lequel —a représente la caractéristique et b la partie décimale. Par conséquent, si l'on rencontre un pareil nombre dans une addition^ on devra additionner la

partie décimale^ et soustraire la caractéristique. Si i*on a, aq contraire, à le soustraire, on devra retrancher la partie déci* maie, et ajouter la caractéristique.

Exemples.

Addition.

SoDstractioD.

Si l'on a à multiplier un nombre, à caractéristique négative, par un nombre entier, on multiplie séparément la partie décimale et la caractéristique par l^e mpltiplicateur, et l'pii fait ensuite la réduction.

Exemple.

Le produit est :

Maliiplicaiion.

S'il s*agit d'une division par un nombre entier, on divise d'abord la caractéristique négative du dividende par le diviseur ;<i si la division se fait exactement, on achève Topératioii, en divi^ sant la partie décimale. Mais, si la caractéristique du dividende n'est pas exactement divisible par le diviseur, pour conserverau quotient la forme qu'a le dividende, on prend le quotient par excès; on obtient ainsi la caractéristique négative du quotient, et un resle positif, que Ton ajoute à la partie décimale du dividende ; et en divisant la somme par le diviseur, on trouve la partie décimale positive du quotient.

Exemples.

Division : !•' cas*

DiTÎslon :9«C|^.

Le premier cas n'a pas besoin d'explication. Quant au second, on remarque que, 13 n'étant pas divisible par 5, et le plus petit nombre, supérieur à 13 et divisible par 5, étant 15, on peut écrire le dividende sous la forme — 154-2,2672958 ; que le quotient de — 15 par 5 est *^3, et .que celui de 2,367S958 par 5

est 0,4534591 ; que par suite, le quotient complet est 8,4534591. fie résultat s'obtient évidemment par la règle énoncée plus haut.

388. ÂppucATiON. Ces conventions nous permettent d'appliquer les procédés oïdinaires du calcul des logarithmes, dans le cas où certains nombres sont moindres que Tunité , sans qu'il soit nécessaire de les rendre, au préalable, plus grands que 1. Reprenons, en efTet, le calcul du n* 888. On demande de calcoler l'expression :

Ona : log « = ^ Aog i + log 0,5l4î) •

^' • log 5^= log 1 - log375 =0 — 2,5740313 =3,4259CBT ;

pms log0,51 42 =1,7111321;

donc: logr^r + log 0,5142=1,1371003,

olb

«t 1 Aog ^ + log 0,5142^ =1.4274202.

Par suite, le nombre correspondant est : • = 0 ,2675594.

S VIII. Emploi des compléments.

589. Définition. On appelle complément d*un nombre N à 10, la différence 10 — N. Si le nombre N est positif et plus petit que 10, les chiffres du complément sont les compléments à 9 des chiffres de N, à l'exception du dernier chiffre significatif de droite, qui est le complément à 10 du dernier chiffre de N.

Exemples. G» 3,72543 =6,27457,

Si le nombre est positif et plus grand que 10, on obtient la partie décimale du complément d'après la même règle ; et pour

avoir la partie entière, on retranche 10 de la partie entière du nombre, on ajoute 1, et on donne an résultat le signe — •

Exemple. C* 12,7258 = 3,2742.

Car on a à soustraire de 10 le nombre 12,7258 (887).

Si le nombre N a une caractéristique négative, on ajoute à 10 cette caractéristique , changée de signe, en la diminuant d'une unité, et Ton écrit, à la suite, le complément de la partie décimale.

Exemple. G''3,74652 = 12,25348«

Car on a à exécuter l'opération 10 -f- 3 — 0,74652.

590. Usage des compléments. Lorsque, dans les calculs logarithmiques, on est conduit à faire une soustraction, on la transforme le plus souvent en addition., à l'aide des compléments. On a, en effet, identiquement :

II suffit donc, pour calculer la différence (a— b), d'ajouter à a le complément de 6, et de retrancher 10 du résultat.

En général, pour calculer l'expression [a^b-^c — d+e— /), on la remplace par l'expression équivalente

{a + Ob+c + C'd + e + Of—Z0\ dont la valeur s'obtient par une addition.

Exemple. Calculer la cinquième puissance de —. On a i

log 2= 0,30103000

log 37^=1,56820172 c» log 37= 8,43179828

log~= 2, 7328*^^828;

log^|jy = 5Iogl = 7,66414140.

Donc (jj' — 0,000:0C4614677.

S IX. Des différents systèmes de logarithmes. 391. Il T A UN NOMBRE INFINI DE STSTÈMES DE LOGARITHMES.

Ou peut choisir à volonté deux progressions. Tune par différence et commençant par zéro, Fautre par quotient et commençant par 1; elles fourniront un système de logarithmes» qui jouira de toutes les propriétés démontrées (n"* 568 et suiv.). Ces systèmes sont donc en nombre infini. Ils sont liés les uns aux auti'es par une loi très-simplci qui résulte du théorème suivant.

592. Théorâme. Le rapport des logarithmes de deux nombres est le même dans tous les systèmes.

m En effet, soient A et B deux nombres quelconques ; et soit —

la fraction, à termes entiers, qui, dans un certain système, représente le rapport de leurs logarithmes. Nous aurons :

J^ = ^; d'où nlogA=mlogB. [1]

Or cette dernière égalité équivaut à :

logA« = logB*; d'où A*=B". [2]

Hais, si Ton considère un autre système de logarithmes , dans lequel les logarithmes soient indiqués par la notation log', on pourra prendre, dans ce système, les logarithmes des deux membres de l'égalité [2], et l'on aura :

«log'A=mlog'B, d'où i3|75=^. [3]

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Remarque. La démonstration précédente suppose, que le rapport des deux logarithmes considérés est commensurable. S'il n'en était pas ainsi, on pourrait en considérer deux autres, aussi peu différents qu*on voudrait des premiers , et qui rempliraient cette condition : le théorème s'y appliquant, quelque rapprochés qu'ils soient des deux logarithmes proposés, nous regardons, comme évident, qu'il s'applique également à ceux-ci. Alo. B. I" Partie. 20