X«=10-X 1/ .-rrx ^. ^-.-J
et, ptr suite,
10000 ' /-xt^^^ 1 0000 5142"
log (10«X«)=n - i(log 375 + log lOOCO— log 5142),
PROGRESSIONS ET LOGARITHUES. 29^
Or on trouve : log375 = 2,57^0313
Iogl0000sr4, log 5142 = 3,71 11321
log 375 + log 10000 — log 5142 = 2,8628992 î (log375+ log 10000 -rlog 5142) = 0,5725798.
On voit qu'il suffira de prendre n=: 1, pour que la soustraction puisse s'effectuer. On aura donc :
log lOv = 1 -0,5725798 =0,4274202.
On calcule ensuite le nombre correspondant :
Ainsi: 109=2,675594; d'où flrr=0,2075594i
S VII. Des caractéristiques négatives,
884. DÉFINITION DE LA CAHACTéRiSTiQUE NéoATivs. Nos définitions n'assignent pas de logarithmes aux nombres plus petits que Tunilé; et, pour étendre jusqu'à eux le bénéfice de ce procédé abrégé de calcul, nous venons devoir (3&5), qu'on doit les rendre supérieurs à 1 , en les multipliant par une puissance convenabje de 10. Mais ce n*est pas ainsi que Ton procède ordinairement dans la pratique. On ne change pas les nombres moindres que l'unité; on définit, par une convention formelle, les logarithmes de ces nombres, et l'on démontre que les propriétés, dont jouissent les logarithmes ordinaires (n^ 5Gt{ et sniv.), s'étendent sans modifications aux logarithmes nouveaux.
Pour définir le logarithme d'un nombre A inférieur à l'unité, nous remarquerons qu'on peut toujours multiplier A par une certaine puissance n de 10, choisie de telle manière que le produit soit plus grand que 1, et ait par conséquent un logarithme (337). Or on a vu (374) que, lorsque Ton divise par 10* un nombre plus grand que 10*, la partie décimale de son logarithme ne change pas, mais la caractéristique (qui est au moins égale à n), est diminuée de n unités. Ou convient d'étendre ce théorème aux nombres plus petits que 10*", lesquels', par la division, deviennent inférieurs à Tunité, et de nommer loga" fUhme de Ah logarithme (fe (A X 10*) diminué de n unités.
Exemple. Quel est le logarithme de 0,0076807753 1
Si, pour fixer les idées, on multiplie ce nombre par 1000, de
manière à le rendre plus grand que 1 et plus petit que 10, le
produit est 7,6807753, et son logarithme est (378) 0,8854051.
On devra retrancher 3 du résultat pour avoûr le logarithme
cherché. Ainsi, par définition :
log 0,0076807753=0,8854051—3.
Gomme 3 est un nombre entier, on le retranche de la caractéristique qui devient négative, et la partie décimale reste positive. On écrit d'ailleurs ainsi le résultat :
log 0,0076807753="3,8B54051.
Si pour rendre un nombre A plus grand que 1 et plus petit que 10, il faut le multiplier par 10*", la caractéristique du produit, qui est zéro, devient — n après la soustraction. On en conclut aisément, que la earactéristigue négative du logarithme (Tun nombre inférieur à l'uniléy contient un nombre d'unités égal au rang qu'occupe^ h partir de la virgule, le premier chiffre significatif du nombre,
385. Calculs relatifs aux nobibres moindres que l'unité; Il résulte de la contention, qui sert de définition aux logarithmes des nombres inférieurs à l'unité, que Von calcule la partie décimale de ces logarithmes d'après les règles posées (577 et 578), c*est'à-dire en faisant abstraction delà virgule^ et que fon donne ensuite au résultat une caractéristique négcuive^ dont la valeur estégale au rang du premier chiffre significatif du nombre après la virguk.
Inversement, on calcule les chiffrée du nombre correspondanl à un logarithme dont la caractéristique est négative, diaprés les règles posées (570 et 580), c'est-à-dire en faisant abstraction de la caractéristique; et F on place ensuite la virgule, de manière que le rang du premier chiffre significatif, à partir de la virgule, soit égal au nombre d'unités de la caractéristique.
586. Extension des propriétés des logarithmes au cas ou LES nombres sont MOINDRES QUE l'unité. La propriété fondamentale des logarithmes consiste en ce que le logarithme dfun produit de deux facteurs est égal à la somme des logarithmes des deux facteurs. Nous allons montrer que cette propriété s'étend au cas où les facteurs sont moindres que Tunité.
Soient deux nombres, A, B, tous deux inférieurs à 1 : soient lO' et 10* les puissances de 10, par lesquelles on doit les multiplier, pour qu'ils deviennent plus grands que 1 et plus petits que 10. Les logarithmes des deux produits seront compris entre 0 et 1 (375) ; de sorte qu'en les désignant par 0,a et 0,b, on aura *
log (AxiO')=0,a, log(BxlO«)=0,6.
n résulte alors de la définition (584) , que :
log A=0,a— p, log 3=0,6—9';
et par conséquent,
logA+logB=0,a+0,6— p— ç. [1]
D'un autre côté, la propriété fondamentale (565), appliquée aax nombres (Ax 10') et (Bx 10«), plus grands que I, donne :
logj(AxlO^(BxiOO|=log(AX10')+log(BxiO«), ou log(ABxiO^=0,a+0,6;
et par suite, si Ton applique au nombre AB, qui est plus petit que lyla convention (584), c'est-à-dire,
log AB=log (ABXIO^)— (p-l-g),
on en conclut :
logAB= 0,a+Oyb—(p+q). [2]
Comparant enfin les égalités [l] et [S], on en tire :
logAB=logA+logB. [3]
(Test ce qu'il fallait démontrer. On démontrerait la proposition, dans le cas où l'un des nombres A, B, serait plus grand que l, en suivant une marche analogue.
La propriété fondamentale étant ainsi étendue à tous les cas, les autres propriétés des logarithmes (568| 569, 570), se trouvent, par cela même, généralisées : car elles sont des conséquences de la première.
