Problèmes. Ces formules servent à résoudre quelques
problèmes, ponr lesquels remploi des logarithmes est indispensable.
1* Que devient une somme donnée G, placée à un taux donné 100 r, pendant un temps donné? On emploie la formule [I] ou la formule [2], selon que le temps donné se compose d*un nombre exact n d'années^ ou qu'il renferme, en outre, un nombre h de jours.
• 2* Quelle somme faut-il placer aujourcChui, à un taux donné lOOr, pour obtenir une somme déterminée A, après un temps donné? On emploie encore Tune des formules [l] et [2] ; et Ton a, suiTant les cas :
3* Un capital donné C a été placé aujourd'hui; U a produit une tomme donnée A, après un temps donné. Quel est le taux de fùitérit? Si le temps est un nombre entier d'années, on tire de la formule [1] :
Mais, si le temps se compose de n années et de ft jours, il faut employer l'équation [2], qui est du (n-j- 1)"* degré par rapport & r, et dont la résolution appartient à Palgèbre supérieure. On peut, cependant, par quelques tâtonnements convenablement dirigés, obtenir promptement une valeur approchée du taux. On remarque, en effet, que, d'après la formule,
le capital A augmente avec le taux r, et diminue avec lui. Si donc on donne à r une première valeur arbitraire r', et qu'on calcule, par logarithmes, la valeur du second membre, on troatvera une valeur A', plus grande que A, si r" est trop grand, et iplus petite que A, si r' est trop petit. En comparant la valeur 'trouvée A' avec la valeur donnée A, on saura donc, si r' est plus grand ou plus petit que le taux inconnu. On choisira, d'après cela, une autre valeur pour r, laquelle donnera lieu à un nouveau calcul et à une nouvelle comparaison; et, & l'aide de qucI-
qoes essais, on resserrera aisément r entre deux lioiites, qui en fourniront promptement une valeur approchée.
4* Pendant combien de temps faut-U placer un capital donné C, pour qu'il produise une somme déterminée A, à un taux donné lOOrf Comme on ne sait pas si le temps inconnu est ou n'est pas composé d'un nombre entier d'années, on n'a pas le droit d'employer la formule [1], qui a été construite pour le cas où n est entier. Cependant, si l'on en fait usage, on a :
d'où l'on tire, en prenant les logarithmes des deux membres, et en divisant ensuite par log (l-f) -
log (1 4- r)
Si le quotient de (logA — logC) par log (1 +r) est un nombre entier, il est évidemment le nombre d'années cherché; car la formule [6] entraîne la formule [i]* Si le quotient n'est pas en» tier, il faut en Conclure que le temps inconnu n'est pas un nombre entier d'années. Cependant on peut prouver que, dans cacas, la partie entière du quotient est la partie entière du temps inconnu. Car désignons parp et (p+ 0 l^s deux nombres entiers» consécutifs qui comprennent la fraction [6] ; nous aurons :
d'où Ton tire :
^logA — logC ^ , ,
plog(l+r)<logA-logG<(p+l)log(l+r;
OU log(l+r)'<log^<log(14-r)'*^
De là, revenant aux nombres, on conclut :
0+r)'<^<(l + ^r\ ou C(l+r)'<A<C(l+rr*, [7]
inégalités qui prouvent le théorème énoncé.
Si l'on veut maintenant connaître le nombre h de jours qui complètentle temps cherché, on remarquera que la formule [2],
que l'on aurait dû appliquer dans ce cas, donnei en y remplaçant n par p :
logA=logC+plog(I-|-r)+logn + -jj :
. iogA-iogG ■ ^^gp+r)
^^^- log(l+r) -P-^ log(l+r) •
Orp est le plus grand nombre entier contenu dans ^ (7a \ '
Si donc on désigne par R le reste de cette division, Fégalitë précédente pourra s'écrire :
''">"log(l+r)"'^^ iog(l+r) '
donc log(l + ^) = ^- [^3
On connaîtra donc le logarithme de n + yj, et il sera facile
d'en tirer (l + y-) » et, par suite, ft. Donnons maintenant quelques applications numériques.
4:02. Applications numériques. Ezeiiple I. Calculer ce que devient un eapital de 8000 francs, au bout de 39 ans, au taux d^ 4 - pour 100 par an.
Formule [1] : log A=log G + n log (1 +r).
log C=Iog 8000 = =3,9030900
log (l + r)= log (1,045) = 0,0191162904 nlog(l+r)=39Iog (1,045) = =0,7455353
log A= =4,6486253;
d'où A =44527 S 19.
Exemple II. Si Von avait placé 1 centime à 5 pour 100, au commencement di a^ère chrétienne j que serait-il devenu, au commencement de Vannée 1863, c'est' à'dire pendant 1862 ans ?
Formule [1] : log A =log C+ n log (1 +r).
log C= log (0,01) = = 2
log (1+r) =log (1,05) = 0,02118929907 « log (l+r)= 1862 log (1,05)= = 39,3234475
log A= =37,3234475;
à'oà : A= 21059472 X 10** francs (approximativement) ,
nombre de 38 chiffres.
Afin de représenter cette somme énorme sous une forme plus appréciable,
calculons les dimensions d*uJie sphère en or^ qui équivaut à la somme indiquée.
31000 La densité de Tor est 19,5^ et le prix du kilogramme d*or est -—2— de fraoc.
Désignons, pour cela, par x le rayon de la sphère en mètres ; son volume sera
— r— ; son poids sera donc --r— x 19500 kilogrammes; et, par suite, sa va-
leur en francs sera — 0— X 19500 X — 5—. On aura donc :
^ Atoc^x 19500X31000 A = 1
et, par suite : ^ = 4nXl95ii?x3lU00-
log27= 1,43136376 log A = 37 ,32344749
Dlog4— 10= 1,39794001
CMogir — 10= 1,50285013 C« log 19500— 10 = 5,70996539 C'iog 31000— 10= F, 50863831
log afl = 28,87420509,
log X = 9,6247350;
d'où : »=4214392x lœ mètres.
Ainsi le rayon de la sphère vaut à peu près 4214392 kilomètres ; et son volume serait, par conséquent, plus de 290 millions de fois le volume de la terre.
EiEMPLB III. QueUe est la valeur actuelle éPune tomtM de 7220 fr. payable dam .33 ant, VirUérét étant à 5 pour 100 par anf
Formule [3] : log C = log A— n log (1 4-r).
log A = log7220 = = 3,85853720
log (l+r) = log (1,05) = 0,021189299 •log(l+r)=331og(l,05>= =0,69924687
logC= = 3,15929033;
d'où C = 1443',08.
£t cette somme deviendra, par accumulation des intérêts à 5 pour 100, et pendant 33 ans, 7220 fr.
EzBicPLB lY. Um somtM de 28895 fr. a été placée ^ ilya 73 ans : elle a produit 250000 fr. Quel était le taux de Vintérét?
Formule [5] : log (1 -h r) - '^i±zJ2iC.
)og A = log 250000 = 5,3979400 log C = log 28895 = 4,4608227
log A -loge = 0,9371178;
log (l + r) =0,01283722-,
d'où: 1+r =1,03000.
Le taux de Pintérèt est donc 3 pour 100*
EzBMPti V. En combien de temps un capUal de 7700 fr, devîciiMI 42850 fr-t Hntérêi étant à 4 pour 100 par an ?
1 r-1 log A — loî C
Formule [6] : n = —7 — - , , .
^ * log(l + r)
log A = log 42850 = 4,6319508 log C = log 7700 = 3,8864907
log A — loge =0,7454601, log (1 + r) = log (1,04) = 0,0170333.
.' .X A *. ,0,7454601 ^ ^ Donc n est la partie entière du quotient' ^^. On trouve :
n =43 ans, et R= 0,0130282.
Donc, formule [8] : log ^1 + y)= 0,0130282«
Par suite : 1 + ^= 1,030453.
»x IX ^ ^n^r.,rn * I. 0,030453X365 „^t, De là : --- = 0,030453, et *= -^ ^^r = 2iB.
Ainsi le temps cherché est 43 ans, 278 jours.
S IL Des annuités.
403. DÉFINITION. Une personne emprunte aujourd'hui uue somme G, pour n années, au taux r pour un franc : pour s'acquitter, elle paye, à la fin de chaque année, une somme déterminée a, calculée de manière qu'après n payements égaux à a, elle atout remboursé, capital et intérêts composés. La somme a, qu'elle donne ainsi annuellement, se nomme annuité.
404. FoAMULE GÉNÉRALE DES ANNUITÉS. Proposons-nous de trouver la formule qui lie le capital G, l'annuité a, le taux r etla durée n du prêt.
Première méthode. Si l'emprunteur attendait, pour opérer le remboursement de sa dette, la Gn de la n* année, il devrait, i
PROGRESSIONS ET LOGARITHMES. 31i(
cette époque (S99}, G (1 -f- r)*. Mais il paye, à la fin de la pre^ mière année, une première somme a; en avançant ainsi de (n— 1) années ce remboursement partiel, Use libère d'une somme dont la valeur y dans le compte final» doit être égale à (z (1 + r)*"* ; car elle aurait porté intérêt, pendant (n — 1) années, entre ses mains, s'il Pavait gardée. De même la somme a, payée à la fin de la seconde année, équivaut à une somme a (1 +*')'^*f payée à la fin des n années. On verra, de la même manière, que la somme a, payée à la fin de Favant-dernière année, doit être comptée pour une valeur égale à a (1 + r) ; et que la somme a, payée à la fin de la n* année, entre dans le compte final pour sa valeur a. On doit donc avoir l'équation :
C(l+rr=fl(l+r)-*+a(l-(-r)-«+ +a(l+r) + a.
Comme le second membre, étant renversé, est la somme des n termes d'une progression géométrique croissante, dont le premier terme est a, et la raison (1+r), on applique la formule [7] dan* 547, et l'on a :
ou, en chassant le dénominateur r,
aj(l + r)«-l| = Cr(I+r)\ [1]
Telle est la formule générale des annuités.
405. Deuxièbie méthode. On peut obtenir cette formule d'une autre manière. L'emprunteur, recevant aujourd'hui une somme C, doit, à la fin de la première année, C (l +^); comme il rembourse alors une somme a, sa dette se réduit à C (l +0 — «• A la fin de la seconde année, cette dette s*est accrue des intérêts d'un an; elle est donc devenue {C(l+r)— a| (1+r), ou C{l+r)*— a(: +r); mais alors il rembourse une nouvelle somme a; ce qui réduit la dette à C (l + r)* — a (1 +r) — a. Il est évident, qu'à la fin de la troisième année, cette dette qui s'est augmentée des intérêts d'un an, mais qui s'est diminuée d'une nouvelle annuité a, est égale à C (1+r)'— a( 1+r)*— a (1+r) — a. Et, à la fin de la n""* année, elle est égale à
Or, à cette époque, elle doit être nulle; il faut donc que l'exprès-
sion précédente soit égale à zéro ; et, par suite» que l'on ait l'équation :
comme dans la première méthode.
, 406. Remarque. On peut enfin arriver à la formule [1], sans avoir à sommer une progression par quotient. Supposons, en
effet, qu'un individu prête à un autre une somme -» pour n années. Le débiteur devra payer, chaque année, Tintérêt simple - X r ou a ; et, à la fin, il devra encore la somme empruntée
-• Or, concevons que cet intérêt soit versé, au moment où il est
dû, entre les mains d*une personne tierce, chargée de le faire valoir, cette dernière recevra ainsi, par annuités, n sommes égales à a ; et elle aura entre les mains, après les n années, tout
d ce dont le capital - s'est bonifié pendant ce temps. Or ceUe augmentation du capital est-(l +'*)* — • Donc cette expression
représente le total des annuités remboursées ; et comme, par hypothèse, ces remboursements doivent acquitter la dette, on doit avoir :
formule qui ne diffère pas de l'équation [1].
407. Problâmes. La formule [1] sert à résoudre quatre problèmes différents, suivant que l'on prend pour inconnue Tune ou l'autre des quatre lettres qui y entrent.
1* Quelle annuité a faut-il payer, à la fin de chaque année^ pour amortir^ enn années, un emprunt donné G, et ses intérêts composés, le taux étant rpour 1 flranc? La formule [l] donne :
Pour appliquer cette formulei on calcule d'abord (l+'O^P^
iogarithmes; on en retranche runité, ce qui donne le dénominateur. Puis^ k l'aide de la formule :
log a=log Cr + n log (1 +^) — log { (1 +r)» — 1 },
on calcule log a, el, par suite, a.
î^ QueUe somme G peut-on emprunter aujourd'hui^ en offrant de la rembourser^ en n années^ par n annuités égaies à a, fe taux étant xpovr un franc t La formule [1] donne :
Même observation que ci-dessus pour le calcul par logarithmes. 3*" On emprunte aujourd'hui une somme G, au taux r; on se propose de la rembourser ^ au moyen d^ annuités égales à a ; pendant quel temps devra-t-on payer Vannuité? La formule [1] donne, en la résolvant par rapport à (1 4- r)* :
d'où Ton conclut :
log g — log (g— Cr) .
iog(l+r) l^J
Le problème n'est possible, que lorsque (g — Gr) est positif ; car les nombres négatifs n'ont pas de logarithmes réels. On voit, d'ailleurs, a priori, qu'il doit en être ainsi ; car Gr représente l'intérêt simple du capital prêté ; et il est évident que l'annuité a doit être supérieure à cet intérêt, pour qu'on arrive à rembourser la dette.
Si la formule [4] donne pour n un nombre entier, ce nombre résoudra la question. Hais si la division ne se fait pas exactement, le problème est impossible. Cependant, on peut prouver que, dans ce cas, si Von désigne par pet (p-\~l) les deux nombres tntiers consécutifs qui comprennent la fraction [4], un nombre p ^armuités n* acquitterait pas la dette^ tandis qu'une annuité de Vlus serait plus que suffisante. En effet, puisque Ton a :
logg— lo^(fl — Cr) ^^ , , P< iog(i+r)' -<P+^>
318 IITRE IV.
on aura aussi :
plog(l+r)<loga— log(a— Cr)<fp + 1) loff{l+rJ,
ou log(l+r)»<Iogj;;^<log(l+r)'*';
et, par suite, (1 + r)» < ^^<ll + »T*.
On peut encore chasser le dénominateor, puisqu'il est poatif; ei a vient : (a — Cr) (1 +r)'<a <(o — Cr) (1 + r)^ ; d*où l'on tire aisément :
Ces deux inégalités prouvent la proposition énoncée.
On appliquera donc, dans tous les cas, la formule [4]; elle donnera le nombre p des annuités à payer ; s'il y a un reste, on
calculera facilement la différence, C (1 +r)» — ^ii-ZlIi— — i,
due au commencement de la (p + l)"' année; et l'on en fera l'objet d'un payement spécial, ou d'une convention particulière.
4*' On emprunte aujourd'hui une somme G, et Fon se propose de la rembourser^ avec ses intérêts composés^ en payant^ pendant n années une annuité a; quel est le taux de rintérét?
La formule [1] est, par rapport à r, une équation du (n+))r Aegréy qu'on ne peut résoudre qu'à l'aide de procédés particuliers. On arrive promptement à une valeur approchée de r, en s'appuyant sur la remarque suivante.
Lorsque Cet di sont donnés ^ le nombre n des annuités augmente ou diminue^ quand le taux r augmente ou diminue lui-mime. Il suffit, en effet, pour s'en assurer, de reprendre la seconde méthode (405), qui fournit la formule générale des annuités; on reconnaît que la dette, à la lin de la première année, G (1 -f r) —ai est d'autant plus grande que r est plus grand ; qu'il en est de même à la fin de chaque année, puisqu'on multiplie chaque fois la dette précédente par (1 +r}» et qu'on diminue ensuite le produit d'une quantité fixe a. Par conséquent, si n payements suffisent pour annuler la dette, lorsque le taux a une certaine valeur r, ils ne suffiront plus, lorsque le taux sera plus élevé.
Gdaposé» reprenons la formule [1] sous la forme :
log g — log (g — Cr)
log(l + r) ' W
formule dans laquelle r est TinGonnue. Si Ton donne arbitrairement à r une yaleur r', et que cette valeur soit moindre que celle que Ton cherche, la valeur correspondante n' de la fraction [4] sera moindre que la valeur donnée n; et au contraire, n' jera plus grand quen, sir' est plus grand que r. On saura donc, en comparant ri à n, si la valeur, attribuée arbitrairement à r, est trop forte ou trop faible ; et l'on pourra, par suite, à Taide de quelques t&tonnements convenablement dirigés, obtenir rapidement une valeur suffisamment approchée de r.
408. APPUCATI0R8 NUMÉRIQUES. ExBMPLB I. QwlU est l'annuUé qu% amortît, en 51 ans, une somme de 34600 fr., Vintérét étant à ^ pour lùO par an?
Formule [2] : log a = log Cr + n log (1 + r) — log l (1+ r)*— 1 1 .
log(l +r) =log (1,04) = 0,0170333393
n log (I + r) = 51 log (1,04) = 0,8687003;
tfoù: (l+r)«= 7.390950.
exposé:
log Qr=log 1384 = 3,1411361
iilog(l + r)= = 0,8687003
log l (1 + r)» - 1 î = log 6.39095 = 0,8055654
C»log {(l+f)"-l)— 10= = 1,1944346
logo= = 3,2042710.
Donc: !»=1600',55e.
Exemple II. On plaee, au commencement de chaque année ^ une somme de 50 fr, au taux de 6 pour 100 : quelle somme x devrcht'On recevoir au bout de 24 aM?
Fonnule: ^^am+r)'»-(l+r)) ^
log (1 +f) =log (1,06) =0,0253058653 (n+ 1) log (1 +r) =25 log (1,06) = 0,6326466; d'oè: (l + r)"+«= 4,29187;
ot: 1+*'=1,06
donc : (1 + f)"+« — (l +r) =3,23187.
^^ ^^ '' log a = log 50 = 1 ,6989700
log l (1 + r)"**— (l + r) ) = log 3,23187 = 0,5094539
C« log r— 10 =C» log 0,06— 10 = 1,2218488
log s= 3,4302727 Donc : »= 2693',225,
Exemple ÎII. Quelle somme C peut-on emprunter aujourd'hui, en ogirant de payer, pendant 37 an*, une annuité de 825 fr. le taux étant d 4 ^ pour 100?
Formule [3J :
logC=log a + log l (1 + *•)-- 1 ) -log (1 + r)-— log r. log (1 + r) = log (1,045) = 0,0191 1629 « log (1 + r) = 37 log (1 ,045) — 0,7073027 ; d'où: (H-r)"= 5,09686.
Cela posé : log o = log 825 = 2,9164540
log {(l+r)" — l)=log 4,09686= 0,6124512
Clog(l+r)"— 10= =7,2926973
e log r- 10 = C« log 0,045 — 10 = 1,3467875
log C = 4,1683900; d'où C=14736',35.
Exemple IV. En combien de temps une somme de 260 000 fr. ferOpl-eUi amortie par une annuité de 10000 fr., au taux de 3 r pour 1007
, -,- loga— lop (a— Cr)
Formule [4]: "= log (l+r) '
log a= log 10000 = 4 log (a - Cr) = log 1550 = 3 ,1903317
log a— log (a— Cr) = 0,8096683
log (1 + r) = log (1 ,0325) = 0,0138901.
Dono: « = *^ =58.....
