U1389UI
On devra donc payer 58 annuités de 10000 fr. Mais, comme la division laisse un reste, la somme donnée ne sera pas amortie entièrement. Pour terminer le compte, il faut calculer, d'une part, ce qui est dû au bout de 58 ans, c'est-àdire s = 260000 X (1,0325)"; calculer, de l'autre, ce qui a été payé par les
annuités, c est-à-dire p = v.' ,, 2- ; et prendre la différence
log 260000 = 5,41497335 log 10000 = 4
581og (1,0325) = 0,80562348 |log 5,39180^ = 0,7317341
log 1=6,22059683; C« log 0,0325— 10 = 1,4881166
(Toù : f = 1661869'. log p = 6,2198507;
De {dus (1,0325)** = 6,391804. p = 1659017'.
Donc b flommo qui reste due, (i — p) = 2852 fr.
ExsKPLE V. On emprunte aujourd'hui une somme (to 35 000 fr. ; on la reiru bourse, ainti que ses intérêts composés, par 52 annuités de 1600 fr. chacune, Quelett le tauade l'intérêt?
Formule [4| ; » log (i 4. r) '
Supposons d'abord : r=0,04 ; il en résulte : a — Cr =: 200.
log a=log 1600 = 3,2041200 log (a— Cr) = log 200 = 2,3010300
logo— log (a— Cr) = 0,9030900; log (1 +r)=Iog (1,04) = 0,0170333.
Eq divisant 0,9030900 par 0,0170333, on trouve pour quotient 53, nombre plus grand que 52. Donc le taux est moindre que 4.
Supposons r = 0,035 ; alors a— Cr := 375«
log o=log 1600 = 3,2041200 log(a— Cr) = log 375 = 2,5740313
log a— log (o— Cr) = 0,6300887; log (1 +r) = log (1,035) = 0,0149403.
En divisant 0,6300887 par 0,0149403, on trouve pour quotient 42, nombre beaueoup trop faible. Donc le taux est beaucoup .plus voisin de 4 que de 3 r •
Supposons donc r =0,039; ,^lors a— Cr = 235.
log a=: log 1600 = 3,2041200 log (a— Cr)= log 235 = 2,3710679
log a— log (a— Cr) = 0,8330521 ; log (l +t) = log (1,039) = 0,0166155.
Le quotient de 0,8330521 par 0,0166155 est 50, nombre trop f^ble : donc le taux est supérieur à 3,90.
Supposons r =0,0395; alors a— Cr = 21 7,50.
log a=log 1600 = 3,2041200 log (a— Cr)= log 217,50 = 2,3374593
log a —log (a — Cr) -~= 0,8666607 ; log (1+r) =log (1.0395) = 0,0168245.
le quotient de 0,8666607 par 0,0168245 donne 51 Le taux est donc supérieur Alg. B. l'* Partie. 21
3fâ WVR»1Y.
à 3^,95. n est doiL|i4SQOipri8 entre 3^95 et 4. Oa le connaU ainsi & (ffi& près ; et l'on peut aisément pousser plus loin Tapprozimation.
400. Gi3 DES RSHora^.PSRPÉTUDLLEs. La valeur de Tannuité a, destinée à acquitter un emprunt G, dans un temps donné n» diminue quand n augmente : car, en divisant les deux termes du second membre par ( 1 + r)% la formule [2] peut s'écrire :
Cr as- —
et Ton voit que, plus n est grand, plus , >, est petit ; plus le
dénominateur est grand, et pins la valeur de a est petite. Si donc l'époque du remboursement s'^oigneindéSniment, c'est-à-dire, si n grandit indéfiniment, la valeur de a, toujours supérieure à Gr, puisque le déBOB^iiialenr est moindre que 1, diminue, et a pour limite Cr, c'est-à-dire l'intérêt simple de la somme prêtée. G'efttie-ca» delà rente perpétuelle.
EXERCICES
I. Un capital de 850O franoi est placé-à 4 r pour 100: que deyient-il au bout
de 41 ans?
OatrouTe 51663%86.
li. Unepopolatiqn de 306M> ânas -angnaoteppat «n d« 1 ^ po«r lOO : àoooK
bien monterart-elle dans un siècle î On trouve 692681.
UI. Combien de temps ntt Mpîtal de 3500 fcaoes doit-il être placé, à 5 pour 100, pour s'élever à la même somme que 4300 francs, placés à 4 pour 100, peadant 18 ans?
On trouve 1 8"' , 75*"^. •
IV. Deux capHavx sont placés à intérêts composés : Tun de 38000 franoB, à
4 rpour 100; l'autre de 99398 francs, à 3 z pour 100; en combien de tànps
t'élèveront-ils à la même somme?
On trouTO 100 ans.
y. Quelle est la valeur actuelle d'une rente aonuelle de 1500 francs, payable pendant 36 ans, rintérét étant à 5 pour 100, et la premier payement devant se faire dans un an?
PKOORESSIONS ET LOGARITHMES. 8S3
Li fonnule est : A ^ , — i-^ — ^ i
et Voû trouTe 2482(K,32«
VI. On veut payer une dette de 36000 fiiociy en 7 payements «nnuils Agaon, r intérêt étant à 4 pour 100. Quelle doit ôtre la valeur de Tannuité? On trouve 4165S16.
VIL Quelle est l'annuité (jui amortit en 48 ans^ un emprunt de 36000 franes, an taux de 3 ^ pour 100 1
On troure 1628',14.
VIII. On veut acheter une rente de 3000 francs pour 91650 francs. Pour combien d'années, à raison de 3 pour 100, doit-on concéder la rente T On trouve 84 ans.
ne. Quelle est la valeur actuelle, au taux de 5 pour 100, de 24 annuités, dont
la première est de 1000 francs» payable dans un an, et qui croissent en pro-
gression géométrique dont la raison est --? Calculer le montant do la dernière
annuité.
La formule est
dans laquelle : « = 1000, 9 = Tq» '^= 0,05, n = 24.
On trouve: S = 50817',41.
La dernière annuité est de 8954',30.
X. Un ouvrier dépose, au commencement de chaque semaine, une somme a à la caisse d'épargne, pendant n années consécutives. Quel est, après ce temps, le montant M de son livret, le taux étant r pour 1 franc, et les intérêts se capitalisant à la fin de chaque année?
On trouve: M=a(52 -h Ç) Î1±I^
XI. Une personne verse, dans une banque de prévoyance, une somme v, au commencement de chaque année, pendant n années consécutives. On demande quelle somme a elle doit recevoir, au commencement de chaque année, pendant les 2fi années suivantes, pour être entièrement remboursée de te» avances.
OnteouTe: •= n^V^\ '
XII. Les conditions étant les mêmes que dans le problème précédent, quel doit être le nombre n, pour que la somme a soit au moins égale à k fois la lomme «7
On trouve la oondition : ...«^.^
d*où Ton déduit ine limite inférieure pour n.
nif DB LA PREm&PE PARTIS.
