CHAPITRE PREMIER
DES SÉIUES.
S I. Notions préliminaires.
2. DEFINITIONS. Une série est une suite illimitée de quantités qui se succèdent suivant une loi déterminée. Ces quantités sont les termes de la série.
Nous représenterons les termes d'une série par Ug, Uij Ut
i(„^.... On dit que tr» est le terme général : sa valeur dépend de Alg. sp. B. 1
s UYHB I.
celle de n, er,en y donnant à n les valeurs successives 0, 1,2,...., on obtient les divers termes.
On désigne par S^ la soininê algâfarifue des n premiers termes de la série ; de sorte que Ton a :
5. Séïues convercewtes ou divergentes. On dît qu\me série est convergente, lorsqu'il existe une limite finie dont la somme Sa s'approche indéfiniment, à mesure que n croit îndéfinimenl. La limite S, vers laquelle elle tend, se nomme la somme de la
série.
Si, au contraire, la somme S,» ne tend pas vers une limite fixe, la série est dite divergente. Une série divergente ne représente rien, et ne peut êlre d'aucun usage en analyse.
4. Exemple. Une progression par quotient est une série convergente, lorsque sa raison est moindre que l'unité. On a va (1, 370), en effet, qu'en supposant q moindre que 1, la somme
s'approche indéfiniment de la limite déterminée j. — .
Une progression géométrique indéfinie, dont la raisen surpasse Yvmàé^ est divergente. Car Ja somme de ses toroMS orotl kidéfiiûiiieiit avec leur nombre.
8. Remarque. Pour qu'une série soU convergente^ il faut qu'à partir (Tun terme suffisamment éloigné^ le terme un tende vers zéro, quand n augmente indéfiniment. En ejSet, si une série est convergente et a pour limite S, on peut prendre n assez grand, pour que les sommes S», S.,+i, S»+t diffèrent de S aussi peu que Ton voudra. Les différences Sn+i— S», Sn^.»— S«<^, sont alors aussi petites qu'on le veut. Or S,h.i— S* = w», Si,*i— Sn+i = ti,K4* Donc les termes u^, t/«+i tendent vers zéro.
Mais eetle condition nécessaire n*est pas suffisante. Pour le prouver, nous allons faire voir que la série, dite harmmique^
[Il l + J- + | + f + -..+i + ----.
COMPLÉMENT DES CLÉMENTS D'ALGÈBftE. 3
doBt le» teitiMs diminiieiit indéOniment, est cependant dWergentBw Et, ea effet» 9i l'on groupe les termes ée la iMiûâre suivante:
on reeomiafl que chaque partie, renfermée entre parenthèses, (9st (las grande que ^, car la dernière^ par exemptei coujLievt
n termes^ tous supérieurs ou au moins égaux à — . Or la série se
eompose d'tme infinité die groupes semblables ; il est denc éyIdentque la somme peut dépasser toute limite assignée»
6. CAiiACTàRS oÉNiBAL DES 9^ups ccmTEitoENTSs. Le caractàvc séria coBvei^ente consiste dans la condition suivante.
Pour qu*une série soit convergente, il faut et il suffit qu* on puisse prendre dans la série un nombre n de termes assez granpl à partir du premier, pour que la somme des p suivants,
soitj quelque grand que soit p, inférieure, en valeur absolue, à une quantité donnée, si petite qu'elle soit^ et tende vers zéro^ quand n crok indéfiniment.
La «oodiiioa est nécessaire ; car» si la série est convergente, (m peut donner i n une valeur assez grande, pour que» quel que soîtp, les deux sommes S,» et S»^p diffèrent de leur limite commune S aussi peu qu'on voudra (5) : leur différence, c'est-à-dire la somme [a], est donc, pour cette valeur de n, inCérieiure^ en valeur absolue, à un nombre donné, si petit qu'il soit; et elle tend vers zéro, quand n croit indéfiniment,
La condition est sufûsante : car, si elle est remplie, on peut chcnsir pour n une valeiu: déterminée n' assez grande, pour que la somme.
k UYRE I.
soit, en valeur absolue , inférieure, quelque grand que soit p, à un nombre donné ot, si petit qu'il soit ; par suite, pour celle valeur n\ la somme [b] étant comprise entre — a et -{-a, h somme S^^ est comprise entre les deux nombres fixes S»' — « et S»' 4" *• Et, cela ayant lieu pour toute valeur de p, il est évident que, pour toute valeur de n, plus grande que n', la sommeS^ sera comprise entre les mimes limites^ et ne pourr-a pas croître indéfiniment avec n. D'ailleurs, si Ton donne à n' des valeurs de plus en plus grandes, la somme [b] tend vers zéro ; les deux nombres S»' — a, S»'+« se rapprochent, par suite, indéfiniment l'un de l'autre ; la somme S» a donc une limite finie et déterminée. La série est convergente.
7. Remarque. Il n'est pas toujours facile d'appliquer le caractère général qui précède, et de décider si une série est convergente ou divergente. Un des procédés les plus élémentaires consiste à coniparer la série proposée à une autre série que l'on sait être convergente ou divergente; cette comparaison conduit à quelques règles qui permettent de prononcer dans un grand nombre de cas. Nous nous occuperons d'abord des séries doot tous les termes sont positifs.
S IL Des séries à termes pohilifs.
8. Théorème I. Uner série, à termes positifs^ est convergente, lorsque, à partir d'une certaine limite, le rapport d'un terme au précédent est constamment moindre qu'un nombre fixe plus petit que Vunité : il ne suffirait pas qu'il fût constamment moindre que
runité*
La série est divergente, lorsque^ à partir d'une certaine limite, k rapport est plus grand que l'unité.
V Considérons la série,
t*o + *'i + ^a + *** -+Wi» + «ii+i+*. ••;
et supposons qu'à partir du terme w», le rapport d'un terme au
p: écédent soit constamment plus petit qu'un nombre fixe k iniciiour à runité; nous aurons :
lin ' Ï'n-M H«+l
Oa déduit évidemment de ces inégalités :
en sorte que les termes de la série proposée, à partir de tin» sont moindres que ceux de la progression géométrique décroissante,
il est donc impossible que leur somme croisse sans limite. Lors donc qu*on prendra un nombre de termes de plus en plus grand dans la série proposée, la somme, qui va sans cesse en augmentant, puisque tous les termes sont positifs, ne pourra cependant pas surpasser tout nombre donné. Il est, dès lors, évident qu'elle a une limite, précisément égale au plus petit des nombres qu'elle ne peut surpasser.
2* Si, à partir d'une certaine limite, le rapport d'un terme au précédent est plus grand que l'unité, il est évident que les termes vont en croissant, et que, par suite, leur somme augmente sans limite. La série est donc divergente.
Remarque. La démonstration précédente serait en défaut, si l'on avait : A = 1. Dans ce cas, il y aurait doute ; et la série pourrait être convergente ou divergente, comme on va le voir par des exemples.
9. Ck)MHENT ON APPLIQUE CE THÉORÈME. Ordinairement le rapport d'un terme au précédent converge vers une limite {, quand n croit indéfiniment.
Si l est inférieur à Vunité, on peut choisir arbitrairement, entre Ut 1, un nombre déterminé k. Puisque le rapport tend vers I, an peut prendre n assez grand, pour que ce rapport soit constamment inférieur à ft, qui est plus petit que 1. La série est donc convergente.
6 UYliE U
Si l est phu grand que Funiièf on peut eacore dioislr arbitrairementy entre 1 et l, un nombre déterminé A; et le rap{K)rt, se rapprochant indéfiniment de l, finira par devenir constamment plus grand que &, qui est supérieur î Tunité. La série est donc divergente.
Sil=lfilya doute; et le théorème I est insuffisant, pour permettre de prononcer sur la convergence ou la divergence de la
série. Cependant, si le rapport — ^ finit par être toujours au-
Un
dessus de sa limite l, la série est d%f}ergente; car alors les termes finissent par aHer toujours en croîssaiit ; et, comme ils sont tous positifs, leur somme peut devenir plus grande que toute quantité donnée.
10. Lnms de l'ejrreok coiaasE. La démonstratioB du théorème I laii connaître une limke de Terreur que Ton commet, lorsque Ton s'arrête, dans la sonmiation d'une série convergente, à un terme d'un certain ordre. Supposons, en effet, qu'à partir du terme Uf, le rapport d'un terme au précédent soit consomment plus petit qu'un nombre k inférieur à l'uaité; les termes t/in* ^us, uu,^,... seront (S) respectivement moiiidres que kui, khAt, hhtt, ... ; et par suite, la somme des termes que l'on néglige, quand on s'arrête à v<.t, sera moindre que Ui-^hui
-j-l^-f-.Sif -}-..., ou que r^t* Ainsi, en désignant par «
l'erreur commise, on a :
il. Exemples. 1* Soit la série :
[2] 1+1+0+172:3+1.2.3.4+-- +1.2.3....fi+--
Le rapport du (n-|- 1)"* terme au ps^cédent est -; sa limite est 2éro, quand n croit indéfiniment. La série est donc conver-
Si Vou s Vrête au terme t-^-t :, le rapport de Tun quel-
conque des termes qui le suivent au précédent est toujours infé-' rieur à t-^; on peut donc prendre *=r-r-^ ; et l'on trouve, (K>ur Terreur commise :
%• Si Yon €onsidèro la série harmonique [1] (n* 6), le rapport
dD n~ terme au précédent esl^^^^, ou n— -j.il est toujours
plus petit que 1; mais sa limite est 1, quand n croit indéfini^ ment. U y a dbute; mais on a démontré (5)^ par un procédé particulier, que la série est divergente.
3** Soit encore la série :
le rapport du n"* terme au précédent est ^, , ®" (^ ""îi) '
et sa limite est encore l'unité. Le théorème I ne nous apprend donc rien. Mais, que Ton groupe les termes de la manière suivante:
c'est-à-dire^de telle sorte qfie chaque groupe commence par un terme dont le dénominateur est une puissance de 2 ; la valeur
du premier groupe sera plus petite que 2 fojsr; ou que - ; celle
du second sera moindre que 4 fois-,» ou que -r; celle du troisième sera inférieure à 8 fois r^, ou à -; et ainsi de suite. La somme des termies de la série est donc moindre que celle des
termes de la progression décroissante l+x+r + ô+'—I^
série est donc convergente.
12. Cas ou la série est ordonnée par rapport aux puissances d'une varuble. II arrive souvent qu'une série est ordonnée par rapport aux puissances entières et croissantes d'une variable x. Si le terme général u» est égal à k^off"^ le rapport
-2i^sera égal k~^x; et, si l'on désigne par Ma limite vers la-
quelle tend le rapport des coefScienfs-^» quand n croit indé-
finlmenti le rapport des deux termes aura lui-même pour limite Ix. La série sera donc convergentCi si l'on a (0) :
te<l, ou a?<T-
Ainsi la série sera convergente, tant que x sera plus petit que p et divergente» quand â? sera>r.Il y aura doute, si l'on donne
à â? la valeur j.
Exemples, l"" La série
iîî fit 5"^ Of***
a pour coefficients les termes de la série [S] ; le rapport des coefficients -f^* est donc égal à -, et sa limite { = 0. La série
est donc convergente pour toute valeur de x inférieure àr, c'est-à-dire quel que soit x.
2* La série
• t^] T+T+7+r+--+ïï+
a pour coefficients les termes de la série harmonique [i] ; le
rapport des coefficients est donc fl — V et sa limite est 1. La
série est donc convergente pour toute valeur de x plus petite que ly et divergente pour toute valeur de x plus grande que 1. Il y aurait doute, pour â;=: 1 : mais nous savons (S), qu*aIorsla série est divergente.
15. Théorème II. Une sirief à termes positifs, dont le terme gé^
néral est u», est convergente^ lorsque ^ Un est, pour une certaine valeur de n y et povr toutes les valeurs plv>s grandes ^ plus petit qu'un
nombre fixe k, inférieur à runité. Elle est divergente^ lorsque ^û^ est constamment plus grand que l'unité,
P Si, à partir d'une certaine valeur de n, on a constamment îu^<1^t on en déduit les inégalités suivantes :
en sorte que les termes de la série proposée, à partir de u», sont moindres que ceux de la progression géométrique décroissante
On en conclut comme au n* 8, que la série est convergente.
S*" Si, au contraire, h partir d'une certaine valeur de n, ^û^ est constamment supérieur à l'unité, il en est de même de Un ; par suite les termes vont en augmentant : et leur somme peut dépasser toute grandeur donnée.
Remarque. La démonstration est en défaut, si ft=l. Dans ce cas, il y a doute ; et l'on ne peut affirmer, en général, si la série est convergente ou divergente.
