GÉNÉRALISATION DE LA RÈGLE DES EXPOSANTS POUR L'EX

TRACTioN DES RACINES. On a VU (lOo) quc, pour des valeurs entières et positives de m et n, on a la formule

formule démontrée quand n est divisible par m, formule de convention quand la division n'est pas possible. Cette formule est vraie, quand m o\in, ou tous les deux, sont fractionnaires*

Supposons d'abord m entier, et n= -; nous aurons :

or, d'après nos conventions), 7^^ s'écrit

a"'^ ou a'^ ;

Supposons, en second lieu, m =^, n restant entier. La racine, d'indice^, de la quantité a'», est le nombre dont la puissance ? est égale à a~. Désignons ce nombre par x, de telle q

sorte que

x^=ar, ou sj'x^—u"".

Si l'on élève les deux membres à la puissance cf% puis si l'on extrait des résultats la racine p'"" , on aura successivement :

donc œ=:'!^a^=^a'' 'i^a"'.

p Supposons enfin m =?, 72='-; y/a^ est la quantité x, dont

la puissance ^ est égale à a^ on a donc :

x^=Jf ou l/xP=\/a\

Élevant les deux membres à la puissance ç^, puis extrayant des résultats la racine p"'% nous aurons successivement :

xP=^Qr^, x=''{/'cF^=(^'=o}''^;

donc a?=vâ^=:a'"^=a^

110. Généralisation dans le cas ou les exposants fractionnaires SONT NÉGATIFS. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les nombres m et n sont positifs. Les diverses formules, que nous avons généralisées sont encore vraies, lorsqu'on donne aux exposants fractionnaires des valeurs négatives, pourvu que

l'on convieime de représenter pan le symbole a. « 1 expression "p (89), ou, ce qui est la même chose, L'expression -= (lOo).

En effet, si, pour toutes les valeurs positives, entières ou tractiomiaires de m, on a toujours la formule

les raisonnements qui nous ont servi, dans le chapitre précédent (89 à 92), à étendre les formules aux cas où les exposants sont entiers et négatifs, s'appliquent, sans modifications, aux cas où ces exposants sont fractionnaires et négatifs.

Remarquons que la formule [2] (107) n'est vraie, quand on a m<:n, qu'autant qu'on adopte la nouvelle convention que nous venons de faire.

Une seule généralisation reste à faire, dans le cas de l'extraction des racines. On a (109), pour toutes les valeurs positives de met de n, entières ou fractionnaires, la formule

Cette formule est encore vraie, quand m ou n, ou tous les deux, sont négatifs.

Supposons d'abord n négatif et égal à— n', m positif, on a :

or, d'après nos conventions, cette dernière expression s'écrit : a "*, ou a-"'-'*";

donc y/ a" =«-"'••"= a"*.

Supposons ensuite m négatif et égal k -~m\ n restant positif; "^ô^ est une quantité x, dont la puissance {—m') est égale a a". Ainsi

ar*"'=a", ou — ,= a% ou ic"*'= — ==a-",

et, par suite, a;='v/a-''=a"''=c'*'--*"'=a"'.

Supposons en lin m = — m', n= — n' ; Va-"' est la quantité x qui, élevée à la puissance (— w'), reproduit a-""'. Ainsi, l'on a :

d'où x""' = a" a"" '

,mf ^n/ »

On tire de là : x ="v/a'*' = a-' = a—' = a".

En résumé, toutes nos formules pour la multiplication, la division, l'élévation aux puissances et l'extraction des racines, sont générales : elles s'étendent à toutes les valeurs positives ou négatives, entières ou fractionnaires, des exposants et des indices.

§ IV. Applications,

111. Rendre rationnel le dénominateur dune fraction. Lorsque le dénominateur d'une fraction contient un ou plusieurs radicaux, il est souvent utile, principalement au point de vue des approximations numériques, de le débarrasser de ces radicaux, de le rendre rationnel. Nous en donnerons quelques exemples.

1° Soit -^ : on multiplie les deux termes par y/ a , et l'on a :

2» Soit - ^ -■; on multiplie les deux termes pary/a — y^è; \Ja + \/b

ie dénominateur devient la différence de deux carrés, et l'on a :

771 m {\fa — yjT) m {\Ja — \Jb)

yj'a + sjb~ {s/lY—{s/bf~~ â'^

3° De même : -^ = = — ^^ ^/ • .

4* De même encore :

^adz^^b"' a^ — à

5» Soit -= = : on multiplie les deux termes par

v/â — V^ — \Jc ; alors , en considérant sja — \Jh comme une seule quantité , on voit que le dénominateur est encore le produit d'une somme par une différence ; et l'on a :

m m\sja — \Jb — sjc) mysJcT—yJh — \Jc) ^

y/â — y/^ + v'c (v/a — sj'bY' — c a-\-h — c — 2>^ab^

et le dénominateur ne contenant plus qu'un seul radical, on est ramené au quatrième cas.

evSoit -^^ -= p.; on considère le dénominateur

\Ja — \^b-\-c — yjd

comme composé de deux termes {\Ja — ^b) et (c— \Jd), et l'on multiplie par leur différence. On a ainsi :

m m{sja — yjb — c-\-\Jd)

^2 — \ll)~\-:c — -y/d (i-\-b — 2)/âb — c^ — d-{-2c\/d

m (v/a — \fb-\-\/d — c)

'^ {a+b — c^ — d) — 2\/'âb+2c)/cl'

et le dénominateur ne contenant plus que .trois termes, la solution est ramenée au cinquième cas.

7« Soit maintenant -3-r 3^. On sait que

sJa-\- 'sjb

(« + P)(«^-ap + R = «'+P'.

On multiplie donc les deux termes par ^a^— v^â6+ v/6% et l'on a : __

m m(gV — ^fl^-j-y/^

l2-\~yb~~ «4-^

8*^ De môme :

mi^'a^ + Vab + yb')

EXERCICES

Simplifier l'expression

n^ — 3?i-f (?i^ — l)Vn^^^ — 2 n3 - 3n + (n- - 1 ) /n^ -44-2'

On trouve

DU CALCUL ALGÉBRIQU^^ 73

IL Vérifier que la valeur

annule l'expression x^ + 3px + 2g,

quels que soient p et q.

m. Vérifier l'égalité

ra + (fl2— b)2y ra- (g^-b)^-?^ = (a + 6^)^.

Il suffît d'élever au carré les idfîuxjnfimhres, pour obtenir une identité. IV. Réduire l'expression

x+ y/j^— 1 X - v^x^— 1 X— yJx- — \ x-{- v'a;2 — 1

On trouve 4x v'^^—T