Équation. On distingue plus spécialement, sous le nom

à' équation^ une égalité qui n'a lieu que pour certaines valeurs particulières des lettres qu'elle renferme, et qui peut, par suite, servir à la détermination de ces valeurs. Ainsi

est une équation : elle n'a lieu que pour la valeur particulière ir = 7. ^

Une équation a deux membres; ce sont les deux expressions séparées par le signe =. Le premier membre est à gauche, le second est à droite du signe.

Les lettres, dont certaines valeurs particulières transforment l'équation en identité, se nomment les inconnues de l'équatiouj Alg. B. pe Partie. ^ 6

82 liyrl: ...

et ces valeurs parliculières sont les solutions ou les racines de l'équation. On représente ordinairement les inconnues par les dernières lettres de Falpliabet, x, y, z..,.

Résoudre une équation, c'est déterminer ses racines. On dit que les racines d'une équation vérifient cette équation, satisfont à cette équation, parce qu'elles la transforment en identité.

La résolution des équations est la partie la plus importante, et, d'après quelques auteurs, le but véritable de l'algèbre.

113. Équations équivaleîîtes. On dit que deux équations, qui renferment les mêmes inconnues, sont équivalentes, lorsqu'elles admettent les mêmes solutions. On peut toujours mibsti tuer à une équation urue équation équivalente.

116. ÉQUATION A UNE OU PLUSIEURS INCONNUES. On distingue les équations d'après le nombre des inconnues qu'elles renferment : ainsi on a des équations à une inconnue x, à deux inconnues X eiy, k trois inconnues x, y, z, et ainsi de suite.

117. Degré d'une équation. Lorsque les deux membres d'une équation sont des expressions rationnelles et entières par rapport aux inconnues qu'elle renferme, le degré de Véquaiion est la somme des exposants des inconnues dans le terme où cette som^me est lapins grande.

Exemples. 3a; — 7 = 8 — 2a;

est une équation du premier clegré^ à une inconnue x.

kxy— 3a;=2 — 5j/ est une équation du second degré, à deux inconnues x, y,

§ II. Principes.

118. Théorème I. On peut ajouter une même quantité aux deux membres d'une équation, sans altérer les conditions qu'elle impose aux inconnues: en d'autres termes, on forme, par cette addition y une équation équivalente à la première. ^

En effet, soient A et B les deux membres de cette équation,

ajoutons aux deux membres la quantité r/? ,• nous aurons :

Toute solution de Téquation [1] donne, par hypothèse, à A et à B, des valeurs numériques égales : donc si l'on ajoute à ces valeurs la valeur numérique correspondante de m, on obtient des nombres égaux. Or ces nombres sont les valeurs numériques des deux membres de l'équation [2]. Donc toute solution de l'équation [1] vérifie l'équation [2].

Réciproquement, toute solution de l'équation [2] donne à (A + m) et à (B + în) des valeurs numériques égales : donc si Ton retranche de ces valeurs la valeur numérique correspondante de m, les restes sont égaux : or ces restes sont les valeurs numériques de A et de B. Donc toute solution de l'équation [2] vérifie l'équation [1].

Les deux équations sont donc équivalentes.

119. Remarque, m désignant un nombre quelconque qui peut être positif ou négatif, on n'ajoute rien à la généralité de l'énoncé précédent, en disant : on peut, sans altérer la signification d'une équation, augmenter ou diminuer les deux membres d'un même nombre.

120. Corollaire I. Transposition des termes. On peut toujours faire passer un terme quelconque d'une équation d'un membre dans Vautrey pourvu que Von change son signe.

En effet, si le nombre m est égal et de signe contraire à l'un des termes de l'équation, il le détruira ; et ce terme disparaîtra du membre où il se trouvait, pour reparaître dans l'autre avec un signe difTérent. Par exemple, soit l'équation

en ajoutant {—x) aii:x deux membres, on obtient :

le terme x est passée comme on voit, d'un membre ians l'autre, en cbanîafit de signe.

121. Corollaire II. On peut changer simultanément les signes life tous les termes d'une équation. Car cela revient à transposer

lous les termes du premier membre dans le second, et tous les termes du second dans le premier. Par exemple, soit l'équation

transposons tous les termes ; nous aurons ;

2a; — 15=x — 3; ou, ce qui est la même chose,

a— 3=2x--15; et tous les termes ont, comme on voit, changé de signe.

122. Théorème IL On peut multiplier les deux membres d'une équation par une même quantité, sans altérer les conditions qu'elle impose aux inconnues, pourvu que la valeur numérique du multiplicateur ne soit pas nulle. On forme, par cette multiplication, une équation équivalente à la première.

Pour le prouver, soit l'équation proposée :

multiplions les deux membres par m; nous aurons :

Am=:Bm. . [2]

Or toute solution de Téquation [1] donne à A et à B des valeurs numériques égales : donc si l'on multiplie ces valeurs par la va- ; leur numérique correspondante de m, qui n'est pas nulle, les produits seront égaux. Or, ces produits sont les valeurs corres- ; pondantes des deux membres de l'équation [2] : donc toute solution de réquation [IJ est solution de l'équation [2].

Réciproquement, toute solution de l'équation [2] donne deS; valeurs égales à km et à Bm; donc, si l'on divise ces deux nombres par la valeur correspondante de m, qui n'est pas nulle, les quotients sont égaux; et comme ces quotients sont les valeurs numériques de A et B, toute solution de l'équation [2] est solution de l'équation [1].

Ainsi, les deux équations sont équivalentes.

125. Puisque l'on peut multiplier les deux membres d'une équation par un nombre quelconque, on peut aussi les diviser par un nombre quelconque; car diviser par w, revient à multiplierpar

— . Il faut seulement que le nombre m par lequel on divise, ne

soit jamais nul.

124. Remarque importante. Le principe précédent suppose essentiellement, que le multiplicateur m est différent de zéro : les équations [1] et [2] ne sont équivalentes qu'à cette condition.

Et en efifet, la seconde peut, si l'on transpose tous les termes dans le premier membre, se mettre sous la forme :

On voit que toute solution de l'équation [1], rendant A égal à B, ou A — B égal à zéro, vérifie encore l'équation [2]. Mais la réciproque n'est plus vraie, si m peut être nul ; car alors l'équation [2] pourra être vérifiée, sans que A devienne égal à B.

Exemple. Soit l'équation

[ultiplions ses deux membres par {x — l)] nous obtiendrons la nouvelle équaion

{3-x){x-l)=:{lb-2x) (x-1). [2]

La solution a; =12, qui vérifie la première, vérifie évidemment la seconde. Mais la valeur x = \ , qui annule le multiplicateur (x — 1), satisfait à la seconde, puisqu'elle rend nuls ses deux membre ; et cependant elle ne vérifie pas la première.

Ainsi la multiplication des deux membres de Véquation par un facteur^ contenant les inconnues^ peut introduire des solutions étrangères. Ces solutions introduites sont celles de Véquation qu'on obtiendrait, en égalant à zéro le multiplicateur, comme on le voit dans l'exemple précédent. Par conséquent, lorsqu'on aura été obligé de multiplier les deux membres par un pareil facteur, on devra, après avoir résolu l'équation résultante, étudier les solutions obtenues, et rejeter comme étrangères celles qui annuleraient le facteur sans vérifier l'équation proposée.

Il résulte de là, qu'en divisant les deux membres par une expression contenant les inconnues, on s'expose à supprimer une ou plusieurs solutions : mais les solutions ainsi supprimées sont celles de lêquation qu'on obtiendrait en égalant à zéro le diviseur. Par conséquent, lorsqu'on aura été obligé de diviser les deux membres par une pareille expression, on devra résoudre non-seulement l'équation résultante, mais encore l'équation auxiliaire obtenue en égalant le diviseur à zéro, et étudier les solutions de cette dernière pour les rétablir, si elles ont été réellement supprimées.

Si le multiplicateur ou le diviseur m, sans contenir les inconnues, est une expression littérale, la transformation est permise ; mais il faudra éviter, dans la suite des raisonnements, les hypothèses qui rendraient cette expression égale à zéro.

12S. Corollaire. Évanouissement des dénominateurs. Lorsqu'une équation renferme des termes fractionnaires, on la ramène j' à la forme entière, en multi2)liant tous les termes par le produit des dénominateurs, ou même par le plus petit multiple commun à tous ces dénominateurs : et l'on obtient ainsi, en général, une équation équivalente à la première. Cette règle est la conséquence évidente du Théorème II et des principes sur les fractions.

Exemple I. Soit l'équation

multiplions les deux membres parle produit a; (a;+ 1); nous aurons :

2x{x+l)=x+\ + {x — i) {x+\)x-\-Zx, ou 2x^ + 2x=x + l-]-x^—x-{-3x. [2j

Il faut remarquer, toutefois, que le facteur a; {x-\-l), égalé à zéro, donne pour solutions x = 0, 35=— 1. Ce sont les seules solutions que la multiplication ait pu introduire. Or, elles ne vérifient l'équation [2j ni l'une ni l'autre : donc les deux équations [1] et [2j sont équivalentes.

Exemple II. Soit l'équation

x—ax-\-ax^ — a^ "- '

On voit qu'il suffira de multiplier les deux membres par (a;^— a'); car ce dénominateur est divisible par les autres dénominateurs (x ^- a) et [x — a). On aainsi: x + a + x — a=l. [2]

Comme l'équation a;2 — a2 = 0 n'a pour solutions que a;=+oet x=—a, lesquelles ne vérifient l'équation [2] ni l'une ni l'autre, les équations [1] et [2] sont équivalentes.

Exemple III. Soit encore l'équation

si l'on multiplie les deux membres par x — 1, on a :

Cette dernière équation admet pour solutions 6 et 1 : mais le nombre 6' vérifie seul l'équation [1]; et la valeur x=zl, qui annule le multiplicateur (a; — 1), doit être rejetée.

12G. Théorème III. Lorsqu^on élève à une même puissance les deux membres d'une équation, on introduit^ en général, des solu^ lions étrangères. En effet, soit l'équation

Si Ton élève les deux membres au ca^ré, on a :

On voit que toute solution de la première est solution de la seconde. Mais cette dernière, pouvant s'écrire sous la forme

A^— B* = 0, ou (A — B) (A + B)=0,

renferme à la fois les solutions des deux équations,

Elle est donc plus générale que la première.

De même l'équation A*" = B"*

peut s'écrire A»" — B*" = 0,

ou (A — B) ( A»"-^ + BA'"-^ + B-^ A"^--3 + ....+ B»»-*) = 0.

Elle admet donc, outre les solutions de l'équation [1] qui annulent le premier facteur, celles de l'équation

A"'-^ + BA"»-*+ B^A"-^ + ....+ B— ^ = 0, qui annulent le second facteur.

Lors donc que l'on est obligé, pour résoudre une équation, d'élever ses deux membres à la môme puissance, il faut, après avoir résolu l'équation résultante, étudier les solutions obtenues, et rejeter comme étrangères celles qui ne vérifieraient pas V quation proposée. Par exemple, soit l'équation

Si, pour résoudre, on élève les deux membres au carré, on a:

9 — rr = a:2— 18x+8r. [2]

Or, on peut reconnaître que cette dernière équation est vériMe par a; := 9 et para;r=8. Mais, si la valeur j:=9 convient à l'équation proposée, la valeur a;=.8 ne con;?ient pas, et doit être rejetée.

On se rend compte de ce résultat, en remarquant que Téquation [2] n'est pas seulement le carré de l'équation [1] ; elle est aussi le carré de l'équation

— \/9 — x:=iv — 9 , laquelle admet pour solution x =8.