RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ A UNE SEULE INCONNUE
§ L Règle pour résoudre l'équation.
127. Exemples. Les principes, exposés dans le chapitre précédent, suffisent pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue. Donnons-en quelques exemples.
ExEMPLe I. Soit l'équation
3x-|-î=|+2^+13. tu
Oq chasse d'abord les dénominateurs (12î>), en multipliant les deux membres par 84, qui est leur plus petit multiple commun. L'équation
est équivalente à la première; car le multiplicateur est numérique (122).
On fait ensuite passer dans un membre les termes qui contiennent l'inconnue, et dans l'autre ceux qui ne la contiennent pas (120) : on obtient ainsi
252a; — 21a; - 20a;— ]68a;=: 1092 + 112, ou, en réduisant les termes dans chaque membre,
équation équivalente à l'équation [2J , d'après le principe (118).
Enfin on divise les 'deux membres par 43 (122), et l'on obtient l'équation équivalente
Or, cette dernière équation est vérifiée, quand on y remplace x par 28 : et elle n'a pas d'autre solution. Donc l'équation [1] admet la solution 28, et n'en admet pas d'autre.
On vérifie la solution en remplaçant x par 28 dans l'équation [1] ; les deux
membres deviennent égaux à 75 -•
/ Exemple II. Les coefficients peuvent être algébriques. Soit l'équation
On multiplie tous les termes par a{a -i-hy, plus petit multiple commun des dénominateurs : l'équation nouvelle
{2a + h)h^ia-\-h) x + a'h^ [2]
r=2ac {a + h)^x + h {a + lfx—3a^hc {a-{-hy
est équivalente à la première, pourvu que l'on ne fasse pas ultérieurement l'hy-
pothèsefl=0, ou l'hypothèse b = — a, dont chacune annule le multiplicateur (124).
On fait passer les termes inconnus dans un membre et les termes connus dans l'autre. L'équation
= 3ac {a + hfx + b (a + hy X— i2a + h) b^Ca + b) x [3]
est équivalente à la seconde.
Puis on met x en facteur commun dans le second membre, ce qui donne :
tt'52 + 3aîbc (a + 6)2= {3ac (a+&)3 + 5(a + 5)3-(2a + b)&' {a-{-h)]x,
et l'on divise les deux membres par le coefficient de x. On a ainsi une nouvelle équation :
^~-iac{a + b)^+b{a + by—{-2a + b)b'{a-]-b)* '^^
qui sera équivalente aux autres, si quelque hypothèse n'annule pas le dénominateur.
Or, le numérateur est égal à a^b [ab + 3c {a + by ) . Les deux derniers termes du dénominateur peuvent s'écrire
b{a + b){{a + hr-^b{2a-\-b)}, ou , en réduisant, b (a-{-b) a-.
Donc le dénominateur s'écrira :
3ac{a+by + a-b(a-\-b)y ou, en mettant a (a + b) en facteur commun,
a{a-\-b) {ab-\-3c{a + by].
Donc enfin la valeur de x peut s'écrire :
^~a{a-\-b)iab-\-'ic{a-{-br]* •- '
ou , en supprimant les facteurs communs ,
Comme le dénominateur de la formule [5] devient nul, soit pour a— 0, soit pour 5 = — a, soit pour c = — . ^a > ^^ faudra s'abstenir, dans les appii-
à \(li ~\~ 0}
cations, de ces trois hypothèses.
On vérifie aisément que la solution trouvée satisfait à l'équation [1].
128. RÈGLE GÉNÉRALE. On coDclut dc CCS raisonnemeiits la règle suivante : Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue: 1° on chasse les dénominateurs ; 2° on transpose dans un membre les termes qui renferment Vinconnue, et dans Vautre ceux qui ne la contiennent pas; 3° on réduit dans chaque membre les termes semblables; 4" on divise le terme indépendant de l'inconîiuô
par le coefficient de cette inconnue. Le quotient est la valeur de l'inconnue, sous la réseï ve des restrictions que nous avons énoncées. On vérifie d'ailleurs cette valeur, en la substituant dans l'équation proposée,, qui doit se transformer en identité.
§ II. Équations qui se ramènent au premier degré^
Une équation, qui n'est pas du premier degré, peut, dans certains cas, y être ramenée, à l'aide de quelques transformations. Nous en donnerons quelques exemples.
