lOX, -loX,=0, {2>i + 3X
En résolvant ces deux équations, on trouve- Xi = 1, Xj = — -. On substitue ces
valeurs dans l'équation [2] ; elle devient :
/^3 + 7-|) x=9 + 18-2i d'où x=3.
Pour obtenir y, on annule les coefficients de x et de 5; on a ainsi :
En résolvant ces deux équations, on trouve Xi=: — —■, X2 = — . On substitue
ces valeurs dans l'équation [2], qui devient :
Enfin, pour obtenir x, on écrit les deux équations
qui, résolues, donnent Xi =—, X2=-- -r. L'équation [2] devient, pour ces
valeurs :
lo7. Cas où les coefficients des inconnues sont de grands NOMBRES. Lorsqu'on a à résoudre un système dans lequel les inconnues ont de grands coefficients, il est ordinairement avantageux d'employer la méthode de substitution. Résolvons, comme exemple, le système suivant :
l,2345x + l,3579y + 8,642jï —9,765744 = 0, [1]
La première de ces équations donne, pour valeur de x,
Cette valeur, substituée dans l'équation [2], donne :
OjUiZ
En multipliant tous les termes par le dénominateur 8,642, on obtient :
ou 72jl7877a;4-o3,75810î/-67;15884=0. [4]
L§,même valeur de a, substituée dans l'équation [3], donnera :
l,5380. + 4,4444, + 5,6789xi^^^^^^±if^^
d'où 13,291396a; + 38,408505y — 55,458684+ 7,010602a; + 7,711378?/ + 10,371351=0,
c'est-à-dire 20,30200 a;+ 46,1 1988j/- 45,08733=0. [5J
La question est maintenant ramenée à la résolution de deux équations à deux inconnues [4] et [5]. On tire de l'équation [5]
En substituant cette valeur de y dans l'équation [4], on obtient
20,30'>r — h^ 087'n 72,17877a;- 53,7581 X '"'"^^^^ nlts ~ 6^> ^^^84 = 0.
La multiplication par le dénominateur 46,11988 doime
ou 2237, 480,r — 673,549=0.
673 549 ■'""'^ ^ = 5-23tâû = °-30'«30
Pour trouver la valeur de y, on a d'abord
donc 45,08733— 20, 302a; =38, 97582,
Si, maintenant, dans réquaiion
nous substitaiODS kxetky leurs valeurs numériques, nous aurons l,2345x = 0;3716215, l,3579y ==1,1475586;
donc 9,765744— l,2345x- l,3579|/ = 8,246564,
Les trois inconnues sont donc
Vérification,
§ IV. Simplifications et remarques diverses.
158. Cas où toutes les inconnues n'entrent pas a la fois DANS TOUTES LES ÉQUATIONS. Il peut an'ivcr que chacune des équations ne contienne pas toutes les inconnues. Celte circonstance abrège le calcul; car on peut considérer comme éliminée d'une équation une inconnue que cette équation ne renferme pas. Il faut alors commencer l'opération par Télimination de l'inconnue qui entre dans le plus petit nombre d'équations.
Considérons, par exemple, le système
7z— 5u=ll. [5]
On voit que t n'entre que dans deux équations; on tire donc de [2J :
et l'on substitue cette valeur dans [4] , qui devient :
En joignant cette équation [6] aux équations [1], [3] et [5], on forme un système de quatre équations à quatre inconnues x, y, %, u. Ov X n'entre que dans les équations [l] et [3]. On tire donc de [3j :
et l'on substitue cette valeur dans [1], qui devient :
En joignant cette équation [7] aux équations [5] et [6] , on obtient un système de trois équations à trois inconnues y,z,u. Comme y n'entre que dans les équations [6], [7] , on tire de [7] :
et Ton substitue cette valeur dans [6], qui devient :
lU+18w=69. [8]
Cette équation et l'équation [5] forment un système de deux équations à deux inconnues,
On tire de [51 : .. ,
et, substituant cette valeur dans l'équation [8] , on a :
équation aune inconnue, d'où l'on tire : z=iZ. Par suite, l'équation [5] donne : u = 2;
ensuite l'équation [7] donne : y = ^',
puis l'équation [3] donne : x = bj
et enfin l'équation [2] donne : e = 1 .
159. Artifices particuliers. Il arrive quelquefois que les équations présentent une certaine symétrie par rapport aux inconnues; on peut alors ordinairement employer des procédés plus expéditifs que les méthodes générales. Nous ne saurions donner de règle à cet égard; mais nous allons indiquer, à l'aide de quelques exemples, les artifices les plus usités.
Exemple I. Soit le système
x + y + z + t=za, fl]
Si l'on ajoute ces cinq équations membre à membre, on remarque que chaque inconnue entre quatre fois dans la somme; de sorte que, si l'on désigne par s la somme des seconds membres, (a-\-h-\-c + d-\-e), on a l'équation
ou x-{-y+z + t-\-v = ^. [6]
Ainsi la somme des cinq inconnues est déterminée. Et, puisque chacune des équations proposées contient quatre de ces inconnues, il suffira de les retrancher successivement de l'équation [6] pour obtenir cha ]ue inconnue. On aura ainsi :
Exemple IL Calculer les longueurs des trois côtés d'un triangle, connaissant les longueurs des droites qui joignent chaque sommet au milieu du côté opposé.
Désignons par a, h, c, les longueurs inconnues des trois côtés, et par a, ^, ^ les longueurs des médianes correspondantes. La géométrie fournit immédiatement les trois équations :
[3] Si l'on ajoute ces trois équations membre à membre, on a :
d'où Ton tire aisément :
Ainsi l'on connaît la somme des carrés des trois côtés. Si Ton retranche maintenant l'équation [1] de l'équation [4], &' et c= disparaissent; et l'on a :
d'où l'on déduit
ÀLG. B. l'e Partie.
lU LIVKE II.
On obtiendrait de môme b^ et c% en retrancliant successivement les équations [2] et [3] de l'équation [4]. Mais il est plus simple de remarquer qu'on passe lie l'équation [Ij à l'équation [2], en changeant 6^ en c^, c^ en a^, a^ en b^ , o:-enp2; on obtiendra donc la valeur de b^ en appliquant cette permutation de lettres à la formule qui donne d^ ; et l'on aura :
On trouvera de même
Les carrés o% b', c^ étantconnus, les côtés eux-mêmes, a, b, c sont, par là môme, déterminés.
Exemple III. Résoudre le système
a b c c/' mx-\-ny-{-p3 -\-qv = lc.
On a démontré (93) que l'on a :
X y s V m.r + ny + ps -h qv
a~b c d~ ma + nb-]-pc+ qd^
or Je numérateur du dernier rapport est k ; donc on a:
ak
ma -[- nb -i- pc -\- qd'
bk
via-\- iib-{- pc-\-qd'
ck
On a de mémo y =
ma-\-nb -{-pc + qd'
dk
ma-\- ■nb-\- pc-}- qd'
§ V. Des cas où e nombre des inconnues n'est pas égal au nombre des équations.
4 GO. Cas où le nombre des équations surpasse celui des INCONNUES. Soit, par exemple, un système de trois équations entre deux inconnues r» et y. En résolvant deux de ces trois équations par l'une des méthodes connues, on obtiendra les valeurs de xei de y, qui seules peuvent vérifier le système. Mais, pour qu'il en soit ainsi, il faudra que ces valeurs satisfassent à la troisième équation. Si cette condition n'est pas remplie, le système est impossible.
Par exemple, le système: lax — 2y = l, \2x+ y = 12, est impossible, puisqu'en résolvant les deux premières équations, on trouve x=\, y --2: et que ces valeurs, substituées dans la dernière, conduisent à l'impossibilité, 10 = 12.
En général, si l'on donne {m-\-p) équations entre m inconnues, on pourra résoudre m de ces équations, et obtenir ainsi les valeurs qui seules peuvent vérifier le système ; mais il faudra que ces valeurs, substituées dans les p équations restantes, les vérifient : sinon, le système sera impossible.
Si les coefficients des inconnues, ou quelques-uns d'entre eux, sont des lettres dont la valeur n'est pas déterminée , les valeurs obtenues pour ces inconnues seront des formules dépendant de ces lettres; et la substitution de ces formules dans les p équations restantes fournira p relations, qui exprimeront les conditions nécessaires et suffisantes que devront remplir les coefficients littéraux, pour que le système soit possible. On donne à ces relations le nom d'équations de condition.
Les deux premières équations donnent x=a-\-h, y=a — b; et ces valeurs, substituées dans les deux dernières, fournissent les équations de condition,
j5a — & = a + 2&, ( la—h=2a + Zb — V, desquelles on tire : a=3, & = 4.
Si Ton admet ces valeurs de a et de h, le système est possible, et la solution est :
101. Cas où le nombre des inconnues surpasse celui des ÉQUATIONS. Soit, par exemple, un système de deux équations entre trois inconnues Xj y, z. Si l'on regarde une des inconnues, z par exemple , comme connue, la résolution du système fournira, comme valeurs de a? et de y , deux formules qui contiendront z. On peut donc donner à z des valeurs arbitraires; et pour cbacune d'elles, les formules fourniront pour x et pour y des valeurs correspondantes. Le système admettra donc un nombre infini de solutions. On voit alors qu'il est indéterminé.
Ainsi, soit le système :
En général, si l'on donne m équations entre (m-f P) inconnues, on pourra considérer comme connues p de ces inconnues, et résoudre les m équations par rapport aux m autres; on obtiendra, pour valeurs de ces m inconnues, m formules contenant les p premières. On pourra donc donner à ces p inconnues telles valeurs que l'on voudra ; et les formules fourniront les valeurs corres|)ondantes des autres. Le système est donc indéterminé.
Exemple. Soit le système :
2x + dy — ^^—Ztz=6, x—2y-^3z-2t=2.
On résout par rapport à a; et à y, en faisant passer dans les seconds membres les termes en z et en t. On trouve ainsi les deux formules :
2 + lOs — f
Si l'on pose arUtrairement, z=z2, t = l, on trouve x^k, î/=3.
§ YI. Des cas d'impossibilité et d'indétermination.
1G2. Cas d'impossibilité. Lorsque le nombre des inconnues est égal au nombre des équations, il arrive quelquefois que les méthodes de résolution conduisent à des résultats contradictoires.
Soit le système :
9ji;-12y"6, 21a; — 28y = 15.
Appliquons la méthode d'addition et de soustraction (14.G) : pour éliminer y, multiplions la première équation par 7, et la seconde par 3j il vient:
équations évidemment incompatibles, puisque^ en les soustrayant l'une de l'autre on aurait :
Le système proposé est donc impossible ; et l'impossibilité se manifeste pî cette circonstance, que l'élimination d'une inconnue fait disparaître l'autre, sorte qu'il ne reste plus qu'une égalité entre deux nombres inégaux.
2' Soit le système :
2x — 2ij+ ;2 = 8,
lia;— 9y+7:;=30.
En éliminant %, d'abord entre les deux premières équations, puis entre les deux dernières, on obtient les deux équations,
1 lOx — 5yr=26, qui sont évidemment incompatibles. Le système est donc impossible; et l'impossibilité se manifeste par cette circonstance, qu'en éliminant %, on obtient deux équations, dont la différence conduit encore à l'égalité absurde : 0 = 1.
1C5. Cas d'indétermination. Il arrive aussi parfois, qu'en résolvant un système d'équations, on rencontre des égalités qui ont lieu, quelles que soient les valeurs des inconnues.
1° Soit le système : \ ^^ , ,.;, .-^
'' 1 6oa; + 4oy = lûo.
Si l'on cherche à éliminer y, en multipliant la première équation par 5 et la seconde par 7, on trouve :
j45ôa; + 315!/=: 1085,
équations identiques. Ainsi les deux équatins proposées rentrent Vune dans Vautre. On n'a donc, à proprement parler, qu'une seule équation à deux inconnues : et le nombre des solutions est infini (161). On voit que l'indétermination se manifeste par cette circonstance, que Télimination de l'une des inconnues fait disparaître l'autre, et qu'il reste une identité : 0=0.
2° Soit le système : 3x — 2;/+ z~ 8,
llx— 9î/ + 7r=31.
L'élimination de a entre les deux premières équations, puis entre les deux dernières, conduit aux deux équations,
lOx— oy=25, lOx— oy = 25,
qui sont encore identiques. Comme ces deux équations, combinées avec Tune des trois premières, forment un système équivalent au système proposé, on voit qu'on n'a, en réalité, que deux équations à trois inconnues. Le système est donc indéterminé ; et l'indétermination se manifeste encore par cette circonstance, que rélimination de deux des trois inconnues conduit à une identité.
EXERCICES
