Exemple. Soit le système

a^ + 22/4-3s + 4r = 30, 2x — '5y + bz — 2v= 3, 3a; + 4t/— 2^— V—. 1,1 kx— y + Q:; — 2v= 8./

fil

La première équation, résolue par rapport à x, donne: x=20 — '2y-32—iiv; et, en substituant cette valeur dans les trois autres, on trouve :

2y-Ml;r-f I3i=: 89,1 • , [2]

%+ &X + 19v=zn2.\

De môme, la première des équations [2j, résolue par rapport à is, donne :

z=bl — ly~10v;

et, en substituant cette valeur dans les deux autres, ou a:

On tire de la dernière 230 — 41 1;

et substituant cette valeur dans la précédente, on a:

Ainsi le système équivalent au système proposé est formé par les équations :

'a;— 30— îy — 3- — 4t7, ij:î=r57 — 7j/ — lOu, 230— 41v

Or la dernière de ces équations donne v = 4. Cette valeur, substituée dans la précédente, donne y = 2. Ces deux valeurs, substituées dans la seconde, donnent 2=3. Et enfin ces trois valeurs, substituées dans la premièie, donnent x= 1. Ainsi la solution est x=zl, y =2, Z=3, v = i.

lo4. Méthode de Bezout- Ou résout aussi les équations du premier degré par une autre méthode, dite des coefficients indéterminés, dont remploi est souvent plus commode.

Soient n équations du premier degré à n inconnues,

ax -{-by -{- cz -{- , ,. = h, a,x+b,y+CiZ + .,. =K, ( ^^^

an^x+bn-^y + Cr^iZi-.

" Ajoutons ces équations, membre à membre, après les avoir multipliées respectivement, à l'exception de la première, par des nombres indéterminés Xi,X2v . • ^n-i; il viendra :

et cette nouvelle équation peut (159) remplacer une des proposées, quels que soient les nombres >i, >2, • . . ^-i-

Or nous pouvons déterminer ces nombres, de manière que les coeflicients des inconnues y, z,,,, soient nuls, c'est-à-dire que les équations,

b+b,\+.,,-i-br,X-,= 0,\

<J + ^i>i + ... + Cn-i>„-i-=0,^, [3]

soient satisfaites ; car il suffira, pour cela, de résoudre (n — 1) équations à (n — 1) inconnues.

On résoudra d^nc le sysLJme [3].

Si l'on substitue alors dans i'équation [2] les valeurs trouvées

pour Xi, >2, ... X„i, cette équation ne contiendra plus que la seule inconnue x; car elle se réduira à

x{a-Jr ai>i +. . . fln-i>n-i) = k+ h\ +. . . + K-.K-i : elle permettra donc d'en déterminer la valeur, qui sera :

X étant connu, le système ne contiendra plus que (n — 1) mconnues.

La méthode que nous venons d'indiquer permet, comme on voit, de résoudre n équations à n inconnues, pourvu que l'on sache résoudre un système contenant une inconnue de moins.

Gomme nous savons résoudre deux équations à deux inconnues, nous pouvons, d'après cela, résoudre un système de trois équations à trois inconnues; partant, un système de quatre équations à quatre inconnues, et ainsi de suite. On obtiendra ainsi, quel que soit le nombre des équations proposées, la valeur de chaque inconnue.

1S5. Modification a la méthode. La méthode des multiplicateurs permet, d'ailleurs, d'obtenir directement chaque inconnue, sans calculer aucune des autres. Il suffit, pour cela, de procéder pour chacune, comme on Ta fait pour x. Si l'on veut obtenir y, par exemple, on égalera à zéro les coefficients des (n — 1) autres inconnues ; on trouvera, en résolvant ces (n — 1) équations, de nouvelles valeurs pour les indéterminéesXi,Xj,..>n i; et, en substituant ces valeurs dans l'équation [2], on obtiendra une équation en y, qui permettra d'en déterminer la valeur.

Les valeurs que l'on obtient par ce procédé pour a;, y, z,.., ne peuvent différer de celles qu'a fournies le premier. En effet, l'équation [2] doit être vérifiée, quels que soient les nombres Xi, >î,...>n-i'j il est donc permis d'y faire les hypothèses qui annulent tous les coefficients moins un. Le second procédé fournit donc la solution demandée : et comme cette solution est unique, il faut qu'elle soit la même que celle qu'on a obtenue par le procédé primitif.

150. Exemple. Appliquons cette méthode à la résolution du système: 3x—ky+ hi= 9,

7a; + 2î/-10^=18, J [Il

Sx — 6v — 15lS= e.

On multiplie la deuxième équation par Xi, la troisième par >j, e' l'on ajoute les produits à la première ; on a ainsi :

Pour obtenir x, on égale à zéro les coefficients de y et de !s; ce qui donne ;

.4+ 2X,- 6X2=0, 4 X,-3Xj=2,