Première partie a;+ t^a +^i

Somme des trois parties 3x-\-2d^-\-di.

Puisque, d'après l'énoncé, n est le nombre à partager,

3x + 2d2 + di=zn.

Soustrayant di et ^d^ des deux membres,

2>x = n — di — 26?2, " et divisant par 3,

Ce résultat nous apprend que, pour trouver la troisième part, il fautj du nombre à partager, soustraire successivement la première différence et deux fois la seconde, puis diviser le reste par 3.

On a ainsi une î^ègle générale pour résoudre tous les problèmes de cette espèce, c'est-à-dire tous ceux dont l'énoncé ne variera ' que par la valeur numérique du nombre à partager et par les diftérences successives de ses parties.

6. Formules algébriques. — Les expressions telles que [1] qui indiquent la série des opérations à effectuer pour résoudre une question, lorsque les nombres donnés sont représentés par des lettres, se nomment des formules.

On dit quelquefois que l'algèbre est la science des formules.

7. Utilité des formules. — L'avantage quMl y a à renfermer ainsi, dans une formule générale, un nombre infini de cas par- • ticuliers, est une chose évidente en elle-même. Il n'est pas inutile cependant de le faire ressortir, dès à présent, car quelques exemples.

En premier lieu, l'énoncé des théorèmes généraux se trouve considérablement abrégé, et, par là, plus facile à retenir. Ainsi, au lieu de dire : La somme de deux nombres est la même dans quelque ordre qu'on les ajoute; le produit de deux facteurs ne change ■pas quand 071 les intervertit ; pour multiplier deux puissances d'un même nombre, il suffit d'ajouter les exposants; on écrira : •

a-{-b=b-{-a, abz=ba, a"* X a" = a*"-^" ;

et pour quiconque connaît la langue algébrique, les théorèmes sont tout aussi bien énoncés par ces formules que par les trois phrases écrites plus haut.

En second heu, l'emploi des formules simplifie la démonstration des théorèmes. En voici un exemple :

Un mobile se meut d'un mouvement uniforme; sa vitesse^ c'est-à-

dire V espace qiiil parcourt dans Vuniié de temps, est v : quel sera V espace x parcouru dans un temps t ?

D'après la définition du mouvement uniforme, les espaces parcourus sont proportionnels aux temps ; on a donc :

D'où l'on conclut, en réduisant au même dénominateur,

x = vt\ [2]

c'est là la formule demandée.

On en déduit immédiatement les deux nouvelles formules ;

La formule [2] rend évidents les théorèmes suivants :

Dans un mouvement uniforme, l'espace parcouru pendant un temps donné est proportionnel à la vitesse; pour une vitesse donnée, il est proportionnel au temps; et, en général, il est égal au produit du temps par la vitesse.

De la formule [3] on déduit les théorèmes suivants ;

Dans un mouvement uniforme, la vitesse est proportionnelle à l'espace parcouru pendant un temps donné; elle est en raison inverse du temps employé à parcourir un espace donué ; et, en général, elle est égale au rapport de l'espace parcouru au temps employé à le parcourir.

Enfin on conclut de la formule [4] :

Le temps employé à parcourir un espace donné est inversement proportionnel à la vitesse; lorsque la vitesse est donnée, le temps est proportionnel à l'espace à parcourir; et, en général, le temps est égal au rapport de l'espace parcouru à la vitesse du mohile.

Chacun de ces théorèmes exigerait une démonstration spéciale plus ou moins développée, si on les abordait directement * ; les formules [2], [3], [4], les rendent évidents pour tous ceux qui connaissent la valeur des locutions, grandeurs proportionnelles et inversement proportionnelles. (Voir V Arithmétique.)

* Galilée, qui ne faisait pas usage de formules, y a consacré quatre pages. (Giornata ter m, deMotu œquahili.)

Citons un autre exemple. On démontre en géométrie les théorèmes suivants :

1° Deux circonférences sont entre elles comme leurs rayons :

en d'autres termes, il existe, entre une circonférence G et

son rayon R, un rapport constant 2tz ; on a, par conséquent, la

formule

C = 2uR. [5]

2° Deux cercles sont entre eux comme les carrés de leurs rayons.

s*' Un cercle a pour mesure le produit de sa circonférence par la moitié de son rayon ; en d'autres termes, sa surface S est

mesurée par le produit Cx- , et l'on a

S = Gx| = 27rRx|=7rR^ [6]

Or cette dernière formule rend évident le second des théorèmes énoncés, « la surface d'un cercle est proportionnelle au carré de son rayon. » On pourrait donc se dispenser d'en faire un théorème distinct des deux autres ; ef, surtout, on ne doit pas en donner une démonstration directe.

Si Ton se bornait à énoncer les théorèmes, sans en réduire les conséquences en formules, cette dépendance des propositions pourrait rester inaperçue.

8. Classification des formules. — On nomme expression ou quantité algébrique^ un ensemble de lettres et de nombres réunis par quelques-uns des signes des opérations. Les expressions algébriques peuvent comprendre Tindication des six opérations : addition, soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances, extraction des racines. Ainsi

lSa^b{2c-{-d)\/g' a — v/6 est une expression algébrique.

Une expression est rationnelle, quand aucune extraction de racine n'y est indiquée. Des deux expressions

la première est rationnelle, et la seconde irrationnelle.

Une expression rationnelle, qui ne contient l'indication d'aucune division est dite entière. Des deux expressions

la première est entière et la seconde est fractionnaire.

Une expression, qui ne contient aucune indication d'addition

ou de soustraction, se nomme monôme. Par exemple, les expres-

sions 13a^6V, - xhj, sont des monômes.

On distingue dans un monôme le coefficient, les lettres et leurs exposants. Le coefficient est le facteur numérique qui précède l'expression : il porte sur la quantité tout entière. Dans les

exemples cités, 13 et -sont des coefficients ; ils indiquent que

les quantités a^è*c, et x^y doivent être respectivement multipliées

par 13 et par -. L'exposant n'affecte que la lettre au-dessus de

laquelle il se trouve. Ainsi l'expression Ida^b'^c est l'indication abrégée du produit

aXaXaXbXbXhXbXcXlS.

Quand un monôme n'a pas de coefficient, quand une lettre n'a pas d'exposant, on doit les considérer comme ayant le coefficient 1 ou l'exposant 1.

Lorsque plusieurs monômes sont réunis par les signes + ou — , l'expression est un polynôme, dont ils sont les termes. On considère ordinairement, comme faisant partie d'un terme, le signe qui le précède. Ainsi, dans le polynôme

Sa^—bax^ + ea^x — 4a',

les termes sont Sx^y — bax^, -^Qa^x, —4a'.

Un terme qui n'a pas de signe est considéré comme ayant le signe +. Les termes affectés du signe + sont dits positifs; les termes précédés du signe — sont dits négatifs.

Un polynôme se nomme binôme, quand il a deux termes ; trinome, quand il en a trois, et ainsi de suite.

On nomme degré d'un monôme entier, la somme des exposants des lettres qui y entrent. Ainsi l'expression 7a*^*c est un monôme du 6* degré.

On dit qu'un polynôme entier est homogène^ lorsque tous ses termes sont du même degré : ce degré est le degré d'homogénéité du polynôme. Ainsi l'expression 5a;* — dabx^-{-kac*x-^2a^bc est un polynôme homogène du 4* degré.

9. La valeur numérique d'une expression algébrique est le nombre que l'on obtient, quand on remplace les lettres qui y entrent par les valeurs qui leur sont attribuées, et qu'on effectue les opérations indiquées par les signes. Réduire une expression algébrique en nombre^ c'est trouver sa valeur numérique.

Il suit de la définition précédente, que l'on peut regarder la valeur numérique d'un polynôme comme étant la différence entre la somme des valeurs numériques des termes qui sont précédés du signe + » et la somme des valeurs numériques des termes qui sont précédés du signe — .

S'il arrivait que la seconde somme l'emportât sur la première, le polynôme n'aurait pas de signification. On verra bientôt comment on doit considérer de pareils résultats.

iO. Termes semblables : leur réduction. — On dit que des termes sont semblables dans un polynôme, lorsqu'ils sont composés des mêmes lettres, et que ces lettres sont affectées des mêmes exposants. Par exemple, -f Iba'è^c, — la^b^c. Deux termes semblables ne peuvent différer que par le coefficient et par le signe.

On peut toujours réduire des termes semblables en un seul. En effet, si l'on rencontre dans un polynôme deux termes semblables positifs, par exemple, +7a'6 + 9a^5, on peut les remplacer par le terme unique + IQa^b. Si les deux termes sont négatifs, comme — la^b — 9a*è, on peut leur substituer le terme — IQa'^b, S'ils sont de signes contraires, comme + 9a^b — 7a^b, celte différence équivaut à -|- 2a^b. S'il s'agit de l'expression -{-la^b — 9a*b, il est évident qu'on peut la remplacer par le terme — Sa^ô.

Ainsi, pour réduire plusieurs termes semblables en un seul, on fait la somme des coefficients des termes précédés du signe +, puis la somme des coefficients des termes précédés du signe — ; on retranche ensuite la plus petite somme de la plus grande, et Von met devant le reste le signe de cette dernière somme. Enfin on

fait suivre ce coefficient de la partie littérale commune à tous les termes.

Par exemple le polynôme

ha^b"" + 12a362 — ea^ô^— a»5«— 4a6»-.7a&3+2a&8 se réduit à lOa't^^g^^.^

11. Expressions équivalentes. On dit que deux expressions algébriques soui équivalentes, lorsqu'en y remplaçant chacune des lettres qu'elles renferment par une valeur parliculière, choisie arbitrairement, elles prennent des valeurs numériques toujours égales entre elles. Ainsi les deux expressions (a +6)' et a^-\-2ab-\-b^ sont équivalentes.

12. Opérations algébriques. Puisque toute quantité algébrique doit être considérée comme un nombre, on définit les opérations algébriques de la même manière que celles qui portent le même nom en arithmétique. Mais les opérations algébriques se faisant sur des lettres, il est impossible de les exécuter jusqu'au bout, et l'on doit se borner à les indiquer.

Aussi le calcul algébrique œnsiste-t-il seulement à transformer une formule en une autre plus simple^ mais équivalente.

Par exemple, quand on substitue a^ au produit «^X^S ou a -1-6 à l'expression \Ja^-]-2ab-\-b-j on fait une opération algébrique : et l'on dit quelquefois que l'on effectue le produit de fl^ par a', ou l'extraclion de la racine carrée de l'expression a:'+2ab+b\