PREMIÈRE PARTIE

1 . DÉFINITION DE l'algèbre. — L'algèbre a pour objet d'abréger, de simplifier et surtout de généraliser la résolution des questions que l'on peut se proposer sur les nombres.

Pour atteindre ce but, l'algèbre emploie les lettres et les signes.

2 . Emploi des lettres. — Les lettres représentent les nombres. Au lieu de raisonner et d'opérer, comme en arithmétique, sur des nombres particuliers désignés d'avance, on raisonne et on opère, en algèbre, sur des lettres a, 6, c,... x, y,... Par suite, les démonstrations que Ton donne et les règles auxquelles on arrive, s'appliquant à tous les nombres indistinctement, sont générales.

5. Signes algébriques. — Les nombres devant rester indéterminés, on ne peut pas effectuer les opérations, et il faut se borner à les indiquer à l'aide de certains signes abréviatifs.

Les signes usités en algèbre sont les suivants :

+ est le signe de l'addition ; il se prononce plus: 7 + 5 indique la somme des deux nombres 7 et 5.

— est le signe de la soustraction; il se T^rououce rrioins: 7 — 5 indique la différence entre l^s deux nombres 7 et 5.

Alg. B. l'-e Partie 1

X est le signe de la multiplication; il se prononce multiplié par; 4X5 indique le produit des deux nombres 4 et 5. On indique aussi la multiplication par un point; ainsi l'on écrit 4.5. On supprime souvent ces signes, lorsque les nombres sont représentés par des lettres; et l'on se borne à indiquer la multiplication, en écrivant les facteurs l'un après l'autre, ab au lieu deaX^, ou de a.b. Cette simplification ne peut être adoptée pour les facteurs numériques; car elle conduirait, par exemple, ^Tt^présén^èl-^J^ la même manière le nombre 54 et le produit

,; : ;: 'èl%:TiiXie:(?iuiH;ftar;;5 : 7 indique le quotient de la division '' du nombre 5 parle nombre 7. On indique aussi les divisions en

écrivant le diviseur au-dessous du dividende, et en séparant les

deux termes par une barre horizontale; - indique le quotient

de la division de 5 par 7.

Lorsque les divers facteurs d'un produit sont égaux entre eux, on se borne à écrire l'un deux, en plaçant à droite et au-dessus de lui l'indication du nombre des facteurs égaux que l'on doit multiplier ; ainsi a« représente aXa, ou le carré de a; a^ représente a XctX a, ou le cube de a; a" représente le produit de m facteurs égaux à a, ou la puissance m"" de a. Le nombre des facteurs égaux reçoit le nom d'exposant.

y/" indique la racine carrée; /T'indique la racine carrée du nombre 7. On indique les racines cubique, quatrième.... de a, par y a, v^ô^.. En désignant par m un nombre entier quelconque, t/â indique la racine m"' de a, c'est-à-dire le nombre qui multiplié (m — 1) fois par lui-même, reproduit a.

= exprime l'égalité des expressions placées à droite et à gauche de ce signe ; a = b exprime l'égalité des deux nombres représentés par a et b.

> s'énonce plus grand que; a'^b exprime que le nombre désigné par a est plus grand que le nombre désigné par b,

< s'énonce plus petit que; a<b exprime que le nombre désigné par a est plus petit que le nombre désigné par b.

Lorsqu'on place une expression entre deux parenthèses, il faut regarder conmie effectuées les opérations qui y sont indiquées, et la parenthèse comme exprimant le nombre qui en résulte. Ainsi l'ex pression! 9 — (4 + 2— 1) indique l'excès de 19 sur

le nambre (4+2 — 1), c'est-à-dire sur 5. De même Texpression (a-{-b) (c — f/) indique le produit de la somme des nombres représentés par a et 6 et de la dififérence des nombres représentés par cet d.

Lorsque, dans une question, certaines quantités ont été représentées par des lettres, on représente souvent des quantités analogues par les mêmes lettres, en leur donnant un ou plusieurs acce?U5, ou en lesafTectant de certains indices numériques.

Ainsi on écrit a^ a\a", a'\..,

et l'on énonce a^ a prime j a seconde, a tierce..,.;

ou bien l'on écrit a, cf,, a^, Oj,....

et l'on énonce, a, a indice l, a indice 2, a indice 3....

Montrons maintenant, par quelques exemples, commentremploi des lettres et des signes abrège et généralise les solutions.

4. Emploi des signes comme moyen d'abréviation. — On propose de partager 540' entre trois personnes, de telle sorte que la part de la première surpasse la part de la seconde de 48*", et que la part de la seconde surpasse la part de la troisième de 75^

Le problème serait résolu, si l'on connaissait la troisième part. Or la seconde vaut la troisième augmentée de 75^

La première, valant la seconde augmentée de 48^ vaut, par suite, la troisième augmentée de 75' et de 48', c'est-à-dire de 123'.

Les trois parts valent donc, en somme, trois fois la troisième, plus 75' 61123', c'est-à-dire plus 198'.

Comme la somme à partager est 540', en relrancbant 198' de 540', ce qui donne 342', on obtient trois fois la troisième part.

La troisième part est donc le tiers de 342', ou 114'.

Par suite, la seconde, qui vaut 75' de plus, est égale à 189'.

Et la première, qui vaut 48' de plus que la seconde, est égale à 237'.

Comme vérification, on remarque que la somme des trois nombres 237, 189 et 1 14 est bien égale à 540.

Employons maintenant les signes, et représentons par une

k NOTIONS PRÉLIMINAIRES.

lettre x la part de la troisième personne : nous formerons le tableau suivant :

Part de la troisième personne x

Part de la^'seconde a; + 75

Part de la première a; -f 75 + 48, ou a; + 1 23

Somme des trois parts.. 07 + 07+75+^+123, ou 3a; +198

On a donc 3a; + 198 = 540.

Si de ces deux quantités égales on retranche 198, les restes sont égaux, et l'on a

3a;=540— 198, ou3a; = 342e

Parsuite x=—;^, ou a;=114.

On voit aisément comment l'emploi des signes et de la lettre a:;, pour représenter l'inconnue, abrège et facilite la solution du problème.

5. Emploi des lettres comme moyen de généralisation. — La méthode que nous venons de donner ne nous fournit qu'un résultat isolé. Rien, dans ce résultat, ne nous indique les opérations à faire pour déduire des données la solution demandée :et si nous voulions résoudre le même problème, en changeant ces données, il nous faudrait recommencer le raisonnement et le calcul pour obtenir la solution nouvelle. Mais si l'on représente les données par des lettres, les calculs ne peuvent plus s'effectuer; et le résultat obtenu fournit la marche à suivre pour résoudre numériquement tous les problèmes de même espèce.

Reprenons, en effet, le problème précédent; et désignons par n le nombre à partager, par dx l'excès de la première partie sur la seconde, et par d^ l'excès de la seconde sur la troisième. En rép(^tant sur ces lettres les raisonnements du n° 4, nous formerons le tableau suivant :