DISCUSSION DES FORMULES GÉNÉRALES

§ I. Discussion de la formule générale de résolution d'une équation du premier degré à une inconnue.

212. Formule générale. Une équation du premier degré à une inconnue ne peut renfermer que deux sortes de termes, savoir : des termes qui contiennent l'inconnue et des termes qui ne la contiennent pas. Si donc on réduit, dans chaque membre, les termes semblables, la forme la plus générale de l'équation sera :

ax + b=^a'x + b', [1]

On en tire : {a~a')x = b'—bj

et divisant par (a — a'), on a la formule :

Mais cette formule n'est équivalente à l'équation [1], que dans le cas où (a — a') n'est pas nul (124).

215. Discussion de la formule. Lorsque a' n'est pas égal à a, la formule [2] représente un nombre positif, nul ou négatif, qui, substitué dans l'équation [1] , et traité d'après les règles convenues, rendra le premier membre égal au second. Le seul cas que l'on doive examiner à part est donc celui où {a — a') = 0. Mais alors deux hypothèses se présentent :

1° (a— il') est nulj sans que (b'— b) le soit. La formule [2] donne :

ce qui ne signifie rien. Si l'on remonte à l'équation pour interpréter ce résultat, on voit que, a' étant égal à a, il vient :

ax-\-b = ax + b'j ce qui ne peut avoir lieu, puisque b' n'est pas égal à 6.

Donc Vêquation est impossible ; et V impossibilité se manifeste, dans la formule^ par la forme, x = — .

2° (a — a") est nul, en même temps que (b' — b). La formule devient, dans ce cas : ^~ ô '

ce qui ne signifie rien. Si l'on remonte à l'équation, on voit qu'elle devient : ax+b = ax-\-b.

Donc Vêquation est satisfaite, quel que soit x ; et C indétermination

se manifeste jmr la forme , ^ = y

Ainsi, une équalion du premier degré à une inconnue admet une solution unique et déterminée, ou elle n'en admet aucune, ou elle en admet une inlinité.

§11. Discussion complète des formules générales de résolution d'un système de deux équations à deux inconnues.

214. Formules générales. On sait (1^5) qu'un système de deux équations à deux inconnues x, y, peut toujours se ramener à la forme :

ax+ bij = c, a'x-\-b'\j=d

Appliquons à ce système l'une des méthodes connues ; par exemple, la méthode par addition et soustraction. Pour cela, multiplions la première équation par b', et la seconde par 6, et retranchons le second résultat du premier; nous aurons :

{ab' — ba')x = cb'-bc'; d'où x = ^^'~[^',. ' ab'—ba'

Multiplions, au contraire, la première équation par a' et la seconde par b\ et retranchons le premier résultat du second,* nous aurons :

{ab' — ba')y = ac'-ca'; d'où y=^

ac — ca

ab' — ba'

Ainsi, le système [1] a pour solution le système :

cb' — bc' ad — col ^^.

ab'—ba! ^ ab—ba' '- -■

Les formules [2] sont les formules générales de la solution. iîlles ne sont légitimes qu'autant que {ab' — ba') n'est pas égal à zéro. On vérifie aisément qu'elles satisfont aux équations dans ce cas.

213. RÈGLE POUR COMPOSER LES FORMULES. On obtient facilement ces formules à l'aide des remarques suivantes :

l** Pour former le dénominateur commun {ab' — 6a'), on écrit, l'une à la suite de l'autre, les deux permutations ab et ba des deux lettres a et 6, en les séparant par le signe —, et en accentuant la dernière lettre de chaque terme.

2° Pour former le numérateur de la valeur de chaque inconnue, on remplace, dans l'expression {ab' ~ ba')j les coefficients qui, dans les équations, multiplient celte inconnue, par le terme tout coûnu de l'équation correspondante. Ainsi, pour la valeur de X, on remplace a el a' par c et c' : et, pour la valeur de y, on remplace b et b' par c et c'.

216. Marche a suivre pour la discussion des formules. Lorsque le binôme {ab' — ba') n'est pas nul, les formules [2j ne donnent lieu à aucune dilticulté; elles fournissent pour x et pour y des valeurs déterminées. Le système [I] a une solution et une seule. Il n'y a donc à examiner que le cas où ab' — 6a' = 0.

Nous supposerons d'abord que cette égalité ail lieu, sans qu'aucun des coefficients a, 6, a', b', soit nul; elle est alors équivalente à la suivante :

laquelle exprime que les coefficients des deux inconnues^ dans les deux équations^ sont respectivement proportionnels,

N<*us examinerons ce que deviennent, dans cette hypothèse, les formules [2] ; et nous chercherons à interpréter les résultats en remontant aux équations [1].

217. Théorème I. Dans le cas où ah' — ba';=0, les numérateurs des valeurs [2] dex et de y sont nuls tous deii^ à la fois, ou ne sont nuls ni l'un ni l'autre.

Pour le prouver, remarquons que la condition ah' — ha' = 0, donne :

donc, si l'on désigne par N^, et N^ les numérateurs de x et de y, on a, en remplaçant, dans N;c, h' par sa valeur :

QTj {ca'—ac') est égal au numérateur de t/, changé de signe; donc :

Comme & et a ne sont nuls ni l'un ni l'autre, on conclut de là que si Nj, est nul, N^; l'est aussi ; mais que, si N^ n'est pas nul, Nx ne peut l'être non plus. C'est ce qu'il follait démontrer. Il résulte de là, que les valeurs de x et de y se présentent à la

fols sous la forme -^ ou à la fo's sous la forme — .

218. Théorème II. Dans le cas où ab' — ba' = 0, les deux équations [I] sont incompatibles, ou elles rentrent Vune dans Vautre.

Pour le prouver, substituons à h' sa valeur dans la seconde des équations [1] ; elle devient :

a'x-\ y = c'j ou aa'x-{-ba'y = ac'.

Mais, en multipliant la première des équations [1] par a\ on a :

aa'x -f ba'y =: ca'.

Ainsi, dans ce cas, les équations [1] sont équivalentes à deux autres équations qui ont le môme premier membre, et dont les seconds membres sont ac' et ca\ Si donc ac' et ca' ne sont pas égaux, les deux équations sont incompatibles; mais si ac' = ca\ elles sont identiques. C'est ce qu'il fallait démontrer.

219. Conséquences. 1** Lorsque ac' n'est pas égal à ca', N^ n'est pas nul; et, par suite (217), N, ne l'est pas non plus. Donc, lorsque les deux équations [l] sont incompatibles, les formules [2] se

présentent toutes deux sous la forme — . Cette forme est donc le sym-

bole de V impossibilité .

2" Lorsque ac' = ca'^^^ est nul, ainsi que Ny (217). Donc, lorsque les équations [1] rentrent l'une dans Vautre, les formules [2] se

présentent toutes deux sous la forme -• Cette forme est donc le symbole de V indétermination.

Un système de deux équations à deux inconnues admet donc une solution unique et déterminée, ou bien il n'en admet aucune, ou bien il en admet une infinité. Mais nous avons supposé, dans cette discussion, au'aucun des coefficients des inconnues n'est égal à zéro; il nous reste à examiner mainlenant les cas particuliers où quelques-uns d'entre eux seraient nuls, en même temps que {àb'—ba').

220. Cas où l'un des coefficients est nul en même temps que {ab' ~ba'). Supposons qu'on ait, à la fois,

ab'-~ba'=:0^ 5' = 0;

il en résulte que ba' =zO\ donc : ou a' = 0, ou & = 0. 1» a' = 0, les formules [2] deviennent ;

— bc' ad

m Donc, si c' n'est pas nul, elles prennent toutes deux la forme — :

et, si c' = 0, elles prennent toutes deux la forme -. Or les équations deviennent alors :

ax -\-by = c, 0 = c'

elles sont donc incompatibles, dans le premier cas, puisque la seconde est absurde; et il n'en existe plus qu'une dans le second cas , puisque la seconde est identique. Donc, les formes

— eï -, que prennent ici les formules j sont encore le symbole, l une de l'impossibilité, Vautre de V indétermination. 2° Si 6 = 0, les formules deviennent :

0 ac' — co!

donc, si cd n'est pas égal à ad ^ y se présente sou? la forme —,

tandis que a? prend la forme -. C'est une exceptior au théorème

(217). Or, dans ce cas, les équations deviennent :

ax = Cj a'x=c'\

elles ne contiennent que Tinconnue x, et elles donnent :

mais -n'est pas égal à-, puisque ca' n'est pas égal à ac'; donc

les équations sont incompatibles ; et l' impossibilité se manifeste ici par les formes simultanées -tt^I -k*

Mais, si ac'=ca', les deux formules prennent la forme-; et les deux équations se réduisent à une seule :

Celle équation détermine la valeur de x, mais la valeur de y reste indéterminée. Il y a donc ici une indétermination partielle, qui se

manifeste par la forme-. Ou doit remarquer que cette forme affecte les deux formules, bien que la valeur de x soit parfaitement déterminée.

Cotte partie de la discussion comprend le cas où les coefficients des deux inconnues sont nuls dans une même équation, et celui où les coefficients d'une même inconnue sont nuls dans les deux équations. Nous n'avons plus à examiner que le cas suivant.

221. Cas où, en même '..^emps que ab' — ba'=0, le coefficient DE X DANS l'une DES ÉQUATIONS ET CELUI DE y DANS L'AUTRE

SONT ÉGAUX À ZÉRO. Supposous par exemple :

ab'—ba' = 0, a=0, b' = o.

lien résulte, que ba' = 0, c'est-à-dlrc que -e second coc{ficie!i!

de l'une des inconnues est nul aussi. Soit b=0; alors les formules deviennent :

0 —ca'

^=0-' ^ = -0-' et les équations, 0=c, a'x=c'.

Si donc ni c ni a' ne sont nuls, la première équation est absurde; et il y a impossibililé, laquelle se manifeste par les formes

. 0 m simultanées - et-r-.

SI c est nul, la première équation est identique; la seconde détermine a?; il y a une indétermination partielle, laquelle se manifeste par la forme-.

Si a' est nul, il y a i7npossibilitè, bien que les formules se présentent toutes deux sous la forme -.

222. Tableau DE la discussion, On peut résumer la discussion précédente dans le tableau suivant :

.' 1 If 7 /-^r» • ch'—hù' ac' — ca' , ,. .., . ,

^; 1. alr — oa::^(i '.x=—-; — :—.,«——- — j—, ; une solution déterminée.

ç < \ac' — ca'^0,x=: — ,y= — - — ; impossibilité.

'ai IL ah' — W = 0 l n n

Q : je — ca = 0,x= , 1/ = -; indétermination.

, ~v^ „ —hc' ac' . .,.,.,

c' :=^0,x-. — — , y T=r— - ; impossibilité.

c' = 0,x= , ^ ^^n' indétermination.

, -v^ ^ 0 ac'—ca' . ., .,. ,

ac—ca':^\j,x=:-, y=z — — — ; impossibilité.

g Jah'-ha'^O I ^^^] , , ^ c 0 . ,,, ,.

h'—(\ \ / ^"^ — ca' .=^ 0,x =-, t/ ^; indeterm""' partielle.

I c ^0,a' ^0,c=:-, y z=: — ; impossibilité.

^=ol ^ c' 0 .,,,,„„.. ,,

c = 0, a; = -7, î/=-: indcterni' ""partielle.

I a'= 0, x~-, y= -, impossibi-ite.

225. Cas où c et c' sont nuls a la fois. En dehors des cas que nous \cnons d'éludier, on discute encore celui ou les ternies

tout connus, c et c', sont nuls à la fois. Les formules se présentent sous la forme :

^~ ab' — ba" ^^~ ab' — ba''

Par conséquent, si ab' — ba' n'est pas nul, on a: aj = 0, î/ = 0.

Mais, siab' — ba' = Oy les formules deviennent : a; = --, y = 7:'

Pour interpréter ces résultats, remontons encore aux équations. Elles sont, dans ce cas :

( ax+ bij = Oj {a'x+b'y = 0;

et elles peuvent s'écrire :

Donc, SI - n'est point égal à — , c'est-à-dire, si (ab' — ba') n'est pas a a

nul, ces équations n'ont cfautre solution quex = 0, y^o. Mais

si - — - > c'est-à-dire, si ab' — ba' = 0, les deux équations rentrent il a

l'une dans Vautre; il y a indétermination, laquelle se manifeste par la forme -. Il faut remarquer que, dans ce dernier cas, le rapport des inconnues est déterminé; car on a :

§ III. Discussion sommaire des formules générales de résolution d'un système de trois équations à trois inconnues.

224. Formules générales. Une équation du premier degré à trois inconnues x, y , z, ne peut renfermer que quatre espèces de termes, savoir : des termes en x, des termes en y, des termes en z, et des termes tout connus. Le système des trois équations pourra donc toujours se ramener à la forme ;

ax-^by -}-cz=k, \

Employons, pour le résoudre, la méthode de Bezout (1S4); multiplions la première équation par X, la deuxième par X', et ajoutons membre à membre les produits et la troisième :

{al + a'I' + a") a; + (6X + b'\' + b") y+{c'K + c'V + d')z

Posons ensuite :

= kl +

cX + c'X'

d'où nous tirons :

cb'-

-b'c" -bc''

""- cb'

— cb' -bc"

et, substituons ces valeurs dans l'équation [1], nous trouvons, tous calculs faits :

Wc" - kc'b" + ckb" — hk'c" + bc'k" — cb'Jf ^~ ab'o" — acb" + ca'b" — ba'd'+ bc'o!'—cb'o!''

On trouverait, par un procédé analogue, les valeurs de y et (le z. Mais il vaut mieux remarquer que si, dans la première équation, on change a; en î/, ^ en ^ et ^r en a?, puis a en 5, ô en c et c en û5, cette équation devient : by -{- cz -\- ax ■=^k , c'està dire qu'elle ne change pas. La môme observation s'applique aux deux autres. Par conséquent , on aura y en faisant ces permutations dans la formule qui donne x^ et l'on aura z en les ''pérant ensuite dans la valeur de y. On reconnaît ainsi que le dénominateur ne change pas, et l'on trouve le système de solutions :

kh'c" - kc'b" + ck'b" — bk'c" + bcV — cb'k"

^ — ab'c"—ao'b" + ca'b" — ba'c" + bc'oJ' — cb'a" ' __ ak'c"— oc'k' 4- ca'k' — ka'c" + kc'o!' — ck'ci!'

ab c"~ ac'b' -\-ca'b" ^ba'c' -\- bc'a" -^cb'a"' ^ ^^'^ ab'k'^ ak'b" + ka'b"- ba'k"+ bk'a'— kb'o!'

^ ~ ab'c"—ac'b"-\-ca!b"— ba'd'+bda"— cb'a"'

Ces formules ne sont légitimes que si le dénominateur commun n'est pas nul. On vérifie d'ailleurs aisément que, dans ce cas, elles satit^font aux équations [1].

22b. Règle pour composer les for^iules. Pour former le dénominateur commun, on considère les deux pcrmulalions ab et

ba ; on place dans chacune la lettre c successivement, à aroite, au milieu et à gauche ; ce qui donne :

abCj acbf cab, et bac, bca, cba.

Puis on affecte la seconde lettre d'un accent, et la troisième de deux accents. Enfin on donne alternativement les signes + et — aux différents termes. On a ainsi :

D = ab'd' — ac'b" + caV — ba'c" + bc'a" —cb'a".

On peut encore former le dénominateur commun d'une autre manière. On remarque, en effet, qu'on peut l'écrire :

li=:a{b'd'—c'b") + b(c'a'—aY) + c{aV-'b'a'');

il est donc la somme des produits que l'on obtient, en multipliant respectivement les coefficients a, b, c de la première équation par les différences {b'c" — c'b'), (c'a' — a'cf'), {aV—b'a"). On forme d'ailleurs ces différences, en multipliant en croix les coefficients des deux autres équations qui ne correspondent pas à la même inconnue que celui qu'on a choisi dans la première. Ainsi, les coefficients étant disposés comme il suit :

on prend pour multiplicateur de a, {b' c' -^ c'b") , x ; on prend

ensuite pour multiplicateur de b, {c' a!' — a! c") y X ; on prend

enfin pour multiplicateur de c, {a'b" — Va"), x . On doit remarquer avec soin, que la croix, formée par les lignes qui réuniraient les facteurs que l'on multiplie, doit être composée alternativement dans des sens opposés, comme l'indiquent les figures. Lorsque le dénominateur commun est formé, on obtient le numérateur de chaque inconnue, en remplaçant, dans ce dénominateur, le coefficient de l'inconnue par le terme tout connu de l'équation correspondante, c'est-à-dire en substituant /c, k', k'\ à a, a', a", s'il s'agit de a? ; à 6, b', b'\ s'il s'agit de y^ et à c, c\ c", s'il s'agit de «.

226. Discussion. Lorsque D n'est pas nul, le système a une solution unique et déterminée, fournie par les formules [3]. On Alg. B. l'e Partie 11

n'a donc à examiner que le cas où D = 0, Or, l'équation [2], appliquée successivement à la détermination des valeurs de Xj de y et de z, donne :

Bx = m, Dy = n, Dz=p.

Si donc 'D = Oj et qu'une au moins des quantités m, n, p ne soit pas nulle, Vèquation correspondante est impossible. Le système est

donc impossible; et V impossibilité se manifeste par la forme — ,

qu- affecte au moins Vune des inconnues.

Siy au contraire, on a à la fois, 0 = 0, m = 0, n=0, p = o, les équations sont satisfaites, quels que soient Xj y, z; le système

est indéterminé, et V indétermination se manifeste par la forme -, commune aux trois inconnues.

227. Cas où les seconds membres des équations [1] sont nuls. Examinons enfin le cas où les équations proposées ne contiennent aucun terme indépendant des inconnues : on peut les considé}'er alors comme ayant lieu entre les rapports des inconnues ; et il suffit, pour déterminer ces rapports, d'avoir une équation de moins qu'il n'y a d'inconnues. En effet, si nous considérons les deux premières équations :

( ax -\-by -]-cz =0j [ a'x+b'y + c'z=0,

elles peuvent s'écrire de la manière suivante :

et l'on en déduit

ab'-

-ba"

' ab'-

-ba''

Si, maintenant, on complète le système par la troisième équation, et qu'on y substitue k x eiy leurs valeurs en z, tirées des

rapports -, -, on trouve :

DES ÉQUATIONS DU PTîEMlER DEGRÉ. 163

Donc, 51 Dnest pas nul, il faut que Von ait : z=0\ et par suite X = 0, y = 0. C'est la solution dans ce cas-

Si D = 0, la dernière équation est vérifiée, quel que soit z; elle est une conséquence des deux premières : il y a donc indétermination; et cette indétermination se manifeste par la forme -

que présentent les formules générales ; mais les rapports des inconnues restent déterminés.

§ IV. Discussion du problème des courriers.

228. Problème. Nous terminerons ce chapitre par la résouiion d'un problème dont la discussion résumera tout ce qui a été dit plus haut ; nous- y trouverons une application remarquable de la théorie des quantités négatives, el nous y rencontrerons aussi les difTérents cas d'impossibilité et d'indétermination dont nous avons parlé.

Deux courriers M et M' parcourent une droite indéfinie XX', dans le sens XX', avec des vitesses v et \' ; le courrier M passe en un point A de cette ligne j h heures avant que le courrier W ne passe en un autre point A'. La dislance A A' = d. On demande le point de rencontre des deux courriers.

Le point de rencontre cherché peut être, soit en R à droite de A', soit en R' entre A et A', soit en R'' à gauche de A ; sa position dépend des nombres u, v', d, h. Il est donc indispensable de distinguer plusieurs cas.

229. 1" Cas. On suppose w'^V, et d^vh. Comme le cour-^ rier M parcourt v kilomètres à l'heure, il parcourra vh kilo- 'mètres en h heures ; par suite, lorsque M' sera en A', M sera à une distance vh du point A. Ainsi la condition d^vh signifie qu'à ce moment, M ne sera pas encore arrivé en A'; il sera donc en arrière de M'; or il va phis vite que lui, puisqu'on a r >•?;'; donc il le rejoindra à droite de A'.

Gela posé, soit R ie point de rencontre : prenons pour inconnue la distance ATv = a^. Le courrier M parcourt la distance

d4-x AK=zd+x, dans un temps • ; le courrier M' parcourt la

distance A'R = a?, dans le temps -,. Or, d'après l'énoncé,

M part de X, h heures avant le moment où M' part de A'; donc M met h heures de plus que M' pour parvenir au point R. Donc on a l'équation :

En résolvant cette équation (on a soin de- faire passer les termes inconnus dans le second membre, pour n'avoir pas à considérer des nombres négatifs), on trouve la formule :

v'id—vh)

230. 2" Cas. On suppose v<v', d<vh. Dans ce cas, au moment où le courrier M' est en A'^ le courrier M a dépassé ce point, puisque l'on a vh^^d; il est donc alors en avant de M'; et comme il va moins vite que M', puisque v<^v'j il sera rejoint par lui à droite de A'. Le point de rencontre est donc dans la même région A'X' que dans le cas précédent. L'équation du problème est donc la même [1]. Mais, pour éviter l'emploi des nombres négatifs, on résoudra celte équation en faisant passer les termes connus dans le second membre ; et l'on trouvera :

v'(vh — d) ^ ^

251. 3* Cas. On supfose v>>v', d<< vh. Dans ce cas, le courrier M, au moment où M' est en A', a dépassé ce point, puisque v/i>rf; mais il va plus vite que M' ; donc la rencontre ne peut pas avoir lieu à droite de A'. On comprend , d'ailleurs, qu'elle ai c!ù avoir lieu à gauche, avant l'époque considérée, puisque les-' vitesses sont inégales et la route indéfinie. Mais alors deux caj. se présentent : le point de rencontre est-il en R' entre A et A' ou en R" à gauche de x\ ?

Supposons-le d'abord en R', et représentons par x la distant A'R' : la dislance AR' sera égale k{d^x). Pour trouver, dans c<

cas, l'équation du problème, on peut considérer le courrier M comme partant du point A à un certain instant, et parcourant

la distance AR' dans un temps ; au bout de ce temps, il

rencontre le courrier M', qui, partant alors de R', parcourt la

distance R'A' dans un nouveau temps — . Ainsi, lorsque ce der-

nier arrive en A', il s'est écoulé un temps 1--,, depuis

que M est parti de A ; et l'équation est :

Supposons maintenant le point de rencontre en R". Désignons par X la distance A'R" ; la distance AR"sera {x — d). On peut supposer ici que les deux courriers partent ensemble du point R";

le courrier M arrive en A après un temps , elle courrier M'

parvient en A' après un temps -. Et comme, d'après l'énoncé, M" a employé h heures de plus que M, l'équation est :

Or on voit aisément que les équations [2] et [3], quoique

obtenues par des raisonnements différents , sont identiques ;

d X car, en séparant les termes - et - , elles deviennent toutes

deux :

Ainsi, quand le point de rencontre est à gauche de A', sa position, quelle qu'elle soit, est fournie par l'équation [2J. Si l'on résout cette équation, en ayant soin de laisser les termes iconnus dans le premier membre, on trouve :

252. 4« Cas. On suppose v<;v', d>vh. Dans ce cas, le courrier M n'est pas encore en A', quand le courrier M' s'y trouve,

puisque u/i<d. Ainsi M est alors en arrière de M' ; et comme il va moins vite que lui, il ne le rejoindra pas à droite de A'. Mais, puisque les vitesses sont inégales, la rencontre a dû avoir lieu à gauche. L'équation du problème est donc encore l'équation [2]. Seulement, pour la résoudre, on fera passer les termes inconnus dans le second membre, et l'on trouvera la formule :

255. Discussion. L'équation [1] et les formules [a] et [p] conviennent aux cas où le point de rencontre se trouve à droite du point A'. Or les deux formules [a] et [p] ne diffèrent pas l'une de l'autn", si l'on conlinue à admettre les conventions (41) ; car leurs numérateurs sont égaux et de signes contraires, ainsi que leurs dénominateurs. On peut donc supprimer la formule [[î] et ne considérer, pour les deux premiers cas, que la formule [a].

L'équation [2] et les formules [y] et [S] s'appliquent aux cas où le point de rencontre est à gauche du point A'. Or ces deux formules sont aussi identiques, en vertu des conventions [41]. Donc on peut se contenter de la formule [y] pour les deux derniers cas.

D'un autre côté, l'équation [2] ne diffère de l'équation [1] que par le changement du Sgnede x; et les formules [a] et [y], ayant des dénominateurs égaux, et des numérateurs égaux et de signes contraires, donnent pour x, en vertu des conventions (41), des valeurs égales et de signes contraires.

Donc V équation [1] et la formule [a], qui la résout, s'appliqueront aux quatre cas, pourvu que l'on convienne de porter à gauche de A' la longueur mesurée par la valeur de x , lorsque celle-ci sera négative.

254. Cas particuliers. Nous avons supposé jusqu'ici, que l'on a î; ^ u', rf ^ vh. Examinons maintenant les cas où ces inégar lités se transforment en égalités.

1» Si d =vh, sans que v soit égal à v', la formule [a] donne : x = 0; c'est-à-dire ([ue la distance du point de rencontre nu point A' est nulle, ou que les deux courriers sont ensemble en A'. On voit, à priori^ qu'il doit en ôlre ainsi : car, puisque vli^d, M arrive en A' en; même temps que M'; el, puisque les vitesses sont inégales, ils ne sont ensemble qu'en, ce point.

DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. l«,ï

2» 5i V r= v', sans que d soit égal à \h, la formule [a] donne :

x=^ — ^. Cette forme est (215) le symbole de l'iinpossibi-

lilé. On doit donc affirmer que, dans ce cos^ les courriers ne se rencontreront jamais. C'est ce dont il est facile de se convaincre à priori; car, puisque d n'est pas égal à u/i, les courriers ne sont pas ensemble au point A'; et, puisqu'ils ont la même vitesse, la distance qui les sépare est toujours la même.

3» Si l'on a, à la fois: v == v', d= vb, la formule [a] donne :x = -.

Cette forme est ordinairement le symbole de l'indétermination. On peut donc penser que, dans ce cas, les deux courriers sont toujours ensemble. Mais il faut le vérifier à priorij et cela est facile; car, puisque d = vh, ils sont ensemble au point A'; et, puisque leur vitesse est la même, ils ne se sépareront jamais.

Ainsi, même dans les cas particuliers où l'équation e^ la formule cessent d'exister, on peut donner aux symboles que Ton rencontre une interprétation qui fournit la solution véritable.

255. Nous ne pousserons pas plus loin la discussion de ce problème; nous en avons dit assez pour indiquer la marche à suivre. Nous engageons le lecteur à faire d'autres hypothèses : par exemple, à supposer que le courrier W marche de X'vers X, ou que le courrier M passe en A, h heures après que le courrier M' est passé en A'. En construisant directement, pour chacune de ces hypothèses, l'équation et la formule qui la résout, il trouvera toujours que l'équation [1] et la formule [a] sont appUcables, pourvu qn'il regarde comme négatives les grandeurs dont il aura changé le sens.

EXERCICES

I. Quelle relation faut-il supposer entre A, B, A', B', pour que l'expression,

Aar + B

A'x 4- B^' ^^^ ^^^ valeur indépendante de a; ?

A B Il faut que l'on ait :-,:=:- ou bien B=0, B'=0. A B'

II. Quelles relations faut-il supposer entre A, B, C, A', B', G', pour que l'ex-

Aa; + By + C pression, ^,^ ^, ^, , ait une valeur indépendante à la fois de a; et de v

11 faut que l'on ait: — — —■ = — .

On demande encore, si l'expression peut être indépendante de «, sans lêtre de y. Non.

in. Trouver une progression par différence, dans laquelle il existe un rapport constant entre la somme des x premiers termes , et la somme des kx termes suivants; k étant donné, et x pouvant prendre toutes les valeurs entières.

Il y a une infinité de progressions qui répondent à la question. Ce sont celles dont la raison est double du premier terme.

IV. Discuter les formules de résolution de trois équations à trois inconnues. On distinguera les cas suivants :

1° Les deux premières équations peuvent être incompatibles, quelle que soit la troisième.

On trouvera, pour cela, les conditions : —= — =-,, et hkf — kb'^O. ^ ' a' b' c" ^^

2° Les deux premières peuvent être incompatibles avec la troisième. Il faudra, pour cela, que le dénominateur commun soit nul, et que le numérateur d'une des inconnues ne le soit pas. 3" Les deux premières équations peuvent rentrer l'une dans l'autre.

Ti r j 1 ,, .^ a b c k

Il faudra, pour cela, que Ion ait : -j=— = - = y;.

CL 0 C It

4" La troisième peut rentrer dans les autres

Il faut, pour cela, que le dénominateur commun soit nul, ainsi que le numérateur d'une des inconnues.

V. Déterminer les conditions nécessaires et suffisantes, pour que le problème du n° 190, relatif à des réservoirs qui sont remplis par des robinets et par la pluie, devienne impossible ou indéterminé. On rendra compte, à priori, de l'impossibilité ou de l'indétermination.

On trouve que la condition d'impossibilité est —==-•, et que si, en outre, on a : vs't'=v'st, le problème est indéterminé.