VII. Même question pour les équations

ax -{-hij +CS =k ,

Ces deux exercices n'offrent que de simples vérifications de calcul.

CnAPITilE I.

25G. Forme générale d'une équa.tion à une inconnue. Une équation à une inconnue x est du second degré, lorsque ses deux membres, étant entiers en x, contiennent le carré de l'inconnue, et n'en contiennent pas une puissance supérieure. Celte équation ne peut donc renfermer aue trois sortes de termes : savoir, des termes qui contiennent le carré de x, des termes qui contiennent sa première puissance, et des termes indépendants. Par conséquent, si l'on fait passer tous les termes dans le premier membre, et que l'on réunisse en un seul tous les termes en rc*, en un seul tous les termes en a?, et en un seul tous les termes connus, l'équation prend la forme générale, ax'^-\-bx-\-c=^Q\

a, h, c étant des nombres donnés qui peuvent être positifs ou négatifs. Par exemple, l'équation,

se transforme successivement en les équations suivantes :

Les solutions de l'équation du second degré se nomment ses racines.

Le coefficient a ne peut pas être nul; car l'équiition cesserait d'être du second degré; mais les coefficients 6 et c peuvent être égaux à zéro. L'équation prend alors l'une des formes :

On dit, dans ce cas, qu'elle est incomplète.

§ I. Résolution de l'équation du second degré.

257. Cas ou l'équation est de la forme ax^-{-c=^0. Lorsque l'équation du second degré se présente sous la forme,

ax'+c=^0, [1]

on peut la considérer comme une équatioa du premier degré dont l'inconnue serait x^ ; et l'on en tire :

Si donc est un nombre positif j ce nombre est le carré de

l'inconnue. La valeur de x est donc la racine carrée de — -;

et, comme celte racine (96) a deux valeurs égales et de signes contraire?, on a deux solutions r

Si, au contraire,. est négatif, il n'y a pas de nombre positif

ou négafif, dont ce nombre soit le carré (96). L'équation [1] n'a donc pas de solution. Cependant on dit alors, qu'elle a deux racines imaginaires, représentées parlés formules [2].

2ë8. Cas ou l'équation est de la forme ax^ + ^^= 0. Lorsque le terme indépendant de x est nul, l'équation se nrésente

sous la forme :

ax^+bx=0; [1]

on peut alors mettre x en facteur, et écrira :

x{ax-\-b) = 0.

Or, pour qu'un produit de deux facteurs soit nul, il faut et il

suffit que Tun des deux focteurs soit nul. On aura donc toutes les solutions de l'équation, en posant :

07 = 0, ax-\-b=Oy équations du premier degré, dont les solutions sont :

Ainsi, Vèquation a deux racines^ dont Vune est toujours nulle.

259. RÉSOLUTION DE l'équation COMPLÈTE. Considérous maintenant l'équation complète,

ax^+hx+c=0. [1]

Pour la résoudre, on cherche à la ramener à la forme [1] du n" 257, dans laquelle le premier membre est un carré contenant l'inconnue, et le second est tout connu. A cet effet, on multiplie les deux membres par 4a (ce qui est permis (122), puisque a n'est pas nul); puis on fait passer kac dans le second membre, etl'on obtient l'équation équivalente :

ka'^x'^ + kabx =■ — 4ac.

On reconnaît alors sans peine, que le premier membre se compose des deux premiers termes du carré de (2aa;+6), et qu'il ne manque que 6^ pour compléter ce carré. Si donc on ajoute h^ aux deux membres, l'équation devient ;

ka^x'^-\-kahx+h'^=h''-' kac, ou (2aa? + 6)«= 6*— 4ac.

Elle a ainsi la forme cherchée : (6^ — kac) est le carré de {'^ax-\-h). Si donc (b'^ — kac) est positif, la valeur de (2ax-}-b) sera la racine carrée de ce nombre; et comme cette racine a deux valeurs égales et de signes contraires, on aura indifféremment :

2ax-\-b=-{-^b'^ — kac, 2ax-\-b = — \/b^ — kac; équations du premier degré, d'où l'on tirera :

b~\-\/b^- kaCy „ — b — \/b'^ — kac

L* équation a donc deux solutions . On indique, en général, cette double valeur, en écrivant de la manière suivante :

— bàzJb'^ — kac r.^^

onsous-entend, que -j- y/^^ — 4ac représente la valeur positive du radical, eXque—\/b' — 4ac représente sa valeur négative.

Si, au contraire, la quantité (b* — 4ac) est négative, sjb'^ — kac ne représente, d'après nos conventions, aucun nombre positif ou négatif; et Véquation proposée n'admet aucune solution. Cependant on dit alors, qu'elle a deuxracines imaginaires, re^réserdées par la formule [2] .

Il pourrait arriver que (b* — 4ac) fût égal à zéro; dans ce cas, les deux valeurs de v^6^ — 4ac se réduisent à zéro; l'équation devient : {2ax-\-by = 0, et les racines' deviennent, Tune et l'autre:

x = — —.Véquation n'admet donc qu'une solution. On dit cependant encore, qu'e//e a deux racines, mais qu'elles sont égales.

240. Une équation du deuxième degré a toujours deux RACINES. En résumé, on voit qu'une équation du second degré admet quelquefois deux solutions, quelquefois une seule; et quelquefois enfin, elle n'en admet aucune. On dit cependant, qu'elle en admet toujours deux, qui peuvent être réelles et différentes, réelles et égales, ou Imaginaires. Il peut sembler puéril, au premier abord, de choisir ainsi une forme détournée, pour affirmer, dans tous les cas, l'existence de deux racines, qui n'en existent pas pour cela davantage. Ces locutions et l'introduction dans les calculs des nombres imaginaires sont cependant une conséquence de l'esprit de généralisation qui règne en algèbre. Il serait impossible, en effet, d'opérer sur des expressions littérales, si la forme des résultats changeait avec la valeur numérique des lettres. Il faudrait, à chaque instant, diviser et subdiviser les questions, pour obtenir les formules correspondantes à telle ou telle hypothèse. L'adoption des nombres négatifs et imaginaires a pour but d'éviter cet inconvénient. Dans une question particulière, l'introduction de ces nombres n'aurait aucune utilité; mais dans l'élude générale d'une classe de questions, ils permettent d'exprimer et de démontrer, en une fois, des règles et des résultats qui exigeraient, sans cela, des démonstrations et des formules distinctes.