DÉFINITION DE l'expression IMAGINAIRE. Ou désigUC, CU

général, sous le nom à'expression imaginaire, la racine carrée d'un nombre négatif. Il ne faut attacher à cette locution aucune

idée relative à la mesure des grandeurs. Une expression imaginaire, semblable en cela à un nombre négatif, ne représente aucune grandeur. Mais, de même que les opérations faites sur les nombres négatifs, les opérations relatives aux expressions imaginaires reçoiventconventionnellement un sens, et deviennent un moyen précieux de généralisation.

La première de ces conventions consiste, en cequele carré de r expressions/— A est — A.

Pour définir les autres opérations, on convient d'appliquer aux expressions imaginaires toutes les-règles démontrées généralement pour les quantités réelles. (On donne le nom de réels aux nombres positifs et négatifs).

242. Forme des racines imaginaires de l'équation du second DEGRÉ. Les racines imaginaires de l'équation du second degré sont, d'après ce qui précède, des expressions de la forme A-j-y/ — B, B représentant un nombre positif. Si l'on désigne par b la racine carrée de ce nombre, de telle sorte que Ton ait, B = b^, l'expression imaginaire, qui représente la racine, devient A + \/^^^^^^ ou A + v/S^"><(^^^^^T)r Puisque l'on convient d'appliquer aux opérations relatives aux expressions imaginaires toutes les règles démontrées généralement pour les nombres réels, on fera sortir le facteur b^ hors du radical, comme s'il s'agissait de la racine carrée d'un produit positif; et l'on écrira l'expression ainsi :

A+fc^—T.

D'après cela, \/ — 1 sera le seul facteur imaginaire, qui entrera dans une expression imaginaire. On le définira, en disant qu'il a pour carré — 1.

En général, comme nous Tavons dit, les règles démontrées pour les nombres réels serviront de définition, dans ce cas nouveau, aux opérations qui, sans cela, n'auraient aucun sens.

243, RÈGLE. La formule [2] fournil, dans tous les cas, les racines de l'équation [1]. Elle montre que, joowr les obtenir, on prend le coefficient de x, après avoir changé son signe; on lui ajoute et Von en retranche séparément la racine carrée du nombre formé, en soustrayant du carré de ce coefficient le qup-druple produit du coef-

ficient de x' par le terme indépendant; puis on divise le résultatpar le double du coefficient de x*.

244. Simplification. Il arrive quelquefois, que cette formule et la règle qu'elle exprime se simplifient légèrement.

P Souvent le coefficient de x^ est égal à l'unité ; on peut toujours, d'ailleurs, amener cette circonstance, en divisant les deux membres par a. L'équation prend alors la forme :

a^+px-\-q—0, [3]

On peut résoudre directement cette équation, en faisant passer q

dans le second membre, puis en ajoutant^ aux deux membres,

et en extrayant les racines des résultats, comme on l'a fait au n*» 259. Mais il est plus simple de déduire la nouvelle formule de la formule [2], en y faisant a=l, &=p, c=q\ elle devient :

ou, en effectuant la division du radical par 2,

li faut savoir par cœur la formule, sous cette dernière forme, et l'employer toutes les fois que a=\. Elle montre que, pour résoudre V équation [3], il faut prendre la moitié du coefficient de x changé de signe, puis ajouter et retrancher successivement la racine carrée du nombre qu'on obtient en soustrayant du carré de cette moitié le terme tout connu.

2** Il peut arriver que le coefficient 6 de a? soit pair. Si Ton met le facteur 2 en évidence, en posante = 2A;, l'équation [1] prend la forme :

ax'+'^kx + c = 0. [5]

On pourrait encore résoudre directement cette équation par la méthode (239). Toutefois on multiplierait seulement les deux membres par a, et l'on formerait dans le premier le carré de {ax-\-li). Mais il est plus simple de faire Tliypothèse 5= 2/i; dans la formule [2] ; elle devient :

■'ik±.\lkli'- — kac^ 20 '

OU, en divisant les deux termes par 2,

Ainsi, pour trouver les racines dans ce cas, il faut prendre la moitié du coefficient de x changé de signe^ ajouter et retrancher la racine carrée du nombre qu'on obtient en retranchant du carré de cette moitié le produit du coefficient de x^ par le terme indépendant, et diviser le résultat par le coefficient de x^. Il ne faut jamais se dispenser de faire cette simplification, quand elle se présente.

345. Applications. 1° Soit l'équation : x^ — 7x-}-10=0; on aura :

Î,7 3__ ~2 2~ 2° Soit l'équation : 3a;2+ 14x— 440=0; on trouve :

— 7±v/49 + 3.440 — 7dzv/r369--.7±37 "^ 3 - 3 -~3 '

3° Soit r équation : 7a;2 — 13rr + 3 = 0;

on a:

4° Soit l'équation : a;^ — 6x + 9 = 0 ;

on a (racines égales) : a; = 3±V'9 — 9 = 3; j r/Ho'

5° Soit l'équation : 2x'— lla; + 20 = 0; on a (racines imaginaires) :

__ll±v/l-2[— 4.2.20 ll=hv/I^ ) 4

6» Soit l'équation littérale : iil^ + i±5 = ? -|- !i X — a X — b h a

On chasse d'abord les dénominateurs ; puis on transpose, et l'on réduit les termes semblables ; et l'on trouve :

.(a— &)V— (a^+b') (a-fb)a;+ab(a + &)^=0.

« IV (a' + ^^) (a + ?>) ± v^(a^+by(a + ^')' — 4ab(a-f b)2(a — b)2J ^^' * = 2{a-by '

§ n. Discussion des formules.

246. Cas où les racines sont réelles et inégales. On a vu que, lorsque (6* — kac) est positif, l'équation [1] a deux racines réelles et dijBTérentes :

On peut admettre que a est positif; car s'il ne l'était pas, on changerait les signes de tous les termes, et on le rendrait ainsi plus grand que zéro. Le dénominateur des deux racines est donc positif; et ces racines ont le signe de leur numérateur.

Or c peut être positif, nul ou négatif. Si c est positif ^ (6* — 4ac) est plus petit que 5^; et par suite y/ô' — kac est plus petit que la valeur absolue de b: donc c'est le terme — b qui donne son signe aux numérateurs : donc, dans ce cas, les deux racines ont le même signe, qui est celui de — b. Si c est négatif j (b^ — kac) est plus grand que 6'; le radical est donc plus grand que la valeur absolue de la quantité qui le précède, et il donne son signe aux numérateurs : les deux racines sont donc de signes contraires; et la plus grande, en valeur absolue, est x', si b est positif, et x'\ si b est négatif. Dans le cas particulier où c = 0, \Jb^—kac est égal

à la valeur absolue de b : par suite, x'= — , et x"=0, si b est

positif; x'=Oj x"=^ , si h est négatif.

247. Cas où les racines sont réelles et égales. Lorsque (Ij''— 4ac) = 0,on sait que les deux racines sont égales, l'une et

l'autre, à — — : elles ont donc un signe contraire à celui de b.

Alg. b. pe Partie. 12

On peut remarquer que, dans ce cas, Téquation géaéraie [1] peut s'écrire :

ax'+bx + -j^^ = 0, ou «(^+2"^) =0. Son premier membre est un carré parfait, multiplié par a.

248. Cas où LES RACINES SONT IMAGINAIRES. Lorsque {b^ — 4ric) est négatif j on sait que les racines sont imaginaires; et, en posant, — 77- = a, et ^-^-- =3, elles deviennent:

2a ' 'la ' '

Le premier membre de l'équation peut, dans ce cas, se mettre sous une forme particulière, très-utile à connaître. En effet, on a évidemment :

Or les trois premiers termes, dans la parenthèse, composent le carié de (a;4--— ) ; et les deux derniers se réduisent à — ^ — . Donc l'équation peut s'écrire :

kac — &'^

ka'

Mais — — ^— est un nombre positif, que l'on peut regarder comme le carré de sa racine carrée. Donc on peut écrire j / , bW [y\ac~ 6A') ^ .

Ainsi le premier membre est le produit par a d''^ ^a somme des carrés de deux expressions réelles.

Cette Convie montre l)ien pourquoi l'équation, dans ce cas, n'admet aucune solution : car il n'est pas de nombre positif ou négatif, qui, substitué à x dans le premier membre, puisse Fannu 1er.

249. Tableau de la discussion. La discussion précédente est résumée dans le tableau suivant :

! p<0, deux racines positives,

( Z> > 0, deux racines négatives, c = 0 [ une racine nulle, une racine = - ^. K a

c<0 jdeux racines de signes différents.

52 — 4ac = 0. (

) , „ h (le premier membre est

2racmesreelleset^r =..=--: | u^ carré parfait, égales. \

h 4a(;<0. [x' = (i — Sy/— 1 . (le premier membre est 2rac. imaginaires. (a;"= a -I- Pv/^ * j la somme de 2 carrés.

2q0. Remarque. 1° Lorsque a et c sont de signes différents, les racines sont toujours réelles: car {h'^^kac) est alors une somme, toujours positive.

2° Pour que les racines soient égales et de signes contraires, il faut et il suffit que l'on ait : 6==0. En effet, si a et —a sont les deux racines, on doit avoir à la fois :

faa2 + 6a + c=0,

d'où l'on tire par soustraction :

Ihct = G, ou , puisque a n'est pas nul ,

La condition, d'ailleurs, est évidemment suffisante.

§ III. Propriétés des racines.

2ol. Théorèmk L La somme des racines de r équation du second degré est égale au quotient, changé de signe, du coefficient de x divisé par le coefficient de x^

En effet, si l'on additionne les formules [2] du n° 259, on a :

232. Théorème IL Le produit des racines est égal au quotient du terme connu, divisé par le coefficient de x^

En effet, multipliant les formules [2] Tune par Tautre, on a :

, ,(—b — \/b''^kac'^{—b-{-\/b^ — kac)___b^—(b^—iiac)

ou x'x"=-. [2]

2o5. Remarque. Ces deux théorèmes peuvent se démontrer à priori. Car, dire que x' et x" sont les racines de l'équation

ax"^ -{- bx -\- c = 0,

c'est dire qu'on a les identités :

ax"^ + bx' -{-c = 0, ax"'+bx" + c = 0',

or, on en tire par soustraction :

a{x'^— x"') + b (x'— x") = 0 ; et, en divisant par {x' — œ"),

donc: x'-\-x" = —~. [1]

Si l'on remplace b par —a{x'-{-x") dans la première des identités précédentes, il vient :

ax'^—a(x' + x")x'+c = 0; d'où x'x"=-. [2]

Ces deux propositions sont fort importantes; leurs applications sont nombreuses. Nous en indiquerons quelques-unes.

2o4. DÉCOMPOSITION DU PREMIER MEMBRE DE L'ÉQUATION DuI SECOND DEGRÉ EN FACTEURS DU PREMIER DEGRÉ. Si 0?' Ct Oj" dési-j

gnent les racines de l'équation

ax^-]-bx-{-c = 0, [l]

on a (235) :

x'-\-x"=^ Si l'on divise les deux membres de l'équation [l] par a, et que'

' tl ^

xx"=-

b c Ton remplace - et - par les valeurs précédentes, son premier "

membre devient :

OU , comme il est facile de le vérifier,

Ainsi, le premier membre d'une équation du second degré, mise sous la forme

est le 2^roduit de deux binômes du premier degré, égaux à l'excès

de X sur chacune des racines.

Si Téquation proposée est de la forme :

ax^ -\-bx-\-c = 0,

c'est seulement après l'avoir divisée par a, que l'on peut lui appliquer le résultat précédent; et, par suite, avant cette division,

le 2^remier membre est égal à

2oo. Décomposition d'un trinôme du second degré en facteurs DU premier degré. Le théorème qui précède s'applique immédiatement à la décomposition du trinôme du second degré: mais il peut se démontrer directement d'une autre manière.

Considérons, en effet, le trinôme

ax^-^bx-{-c; on a identiquement :

(c b'^\ —2) par l'expression identiquement

égale,

V V ka' a)

et, par cette substitution, l'expression [1] devient le produit de a par la différence de deux carrés, savoir :

182 LIVRE lîl.

Or, on sait que la différence de deux carrés est égale au produit de la somme des racines par leur différence; et, par suite, l'expression précédente, équivalente à ax^ + bx-\-c, peut s'écrire :

4a2 ou, ce qui revient au même,

2tt y \" 2a

et l'on reconnaît l'expression trouvée plus haut,

Cette formiiie, quelle que soit la manière dont on l'établisse, s'applique évidemment au cas où x' ei x" sont imaginaires (241) ; mais, dans ce cas, les deux facteurs {x — x'), {x — x"), n'ont aucune valeur arithmétique, et nous n'aurons pas occasion d'en faire usage.

On nomme ordinairement racines d'un trinôme ax'^-\- bx + c, les nombres qui, substitués à x, le réduisent à zéro, c'est-à-dire les racines de l'équation

ax-+bx + c = 0.

Par conséquent, pour décomposer le trinôme en facteurs du premier degré, on détermine ses racines, on retranche chacune d'elles de X, et Von multiplie par a le produit des différences.

2SG. Problème. Les propriétés du n° 255 fournissent immédiatement l'équation du second degré, qui permet de résoudre le problème suivant: Trouver deux nombres, connaissant leur somme et leur produit.

Soient, en effet, S la somme de deux nombres, et P leur produit; ces deux nombres sont les racines de l'équation

x^^Sx-{-^==0',

car la somme de ces racines est S, et leur produit est P.

Il «;st facile, d'ailleurs, de donner à l'équation une forme qui montre, à priori, la raison de ce fait ; on peut, en effet, l'écrire ainsi

P=:Sa;-a;S ou V = x{S>^x);

Di:S ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. i83

et Ton voit que, résoudre cette équation, c'est trouver deux nombres x et S — x, dont le produit soit P, et dont la somme ir + S— a; soit égale à S.