V^94+WS5 = V^94 + v/882C) = i/^^^+W^i

3° On démontre, en géométrie, qu'en désignant par C le côté d'un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon R, et par x le côté du polygone régulier

inscrit d'un nombre de côtés double, on a la formule : ir=v/2R' — Rv/4R='— C^. Ici, a=2RS &=:4R* — C2R2; d'où a^ — bz=zC-R\ On a donc :

4° Condition nécessaire et suffisante, pour que les racines de l'équation bicarrée o^+prc^ 4-^ = 0, s'expriment par la somme de deux radicaux simples.

On a: !,=±sj-l± \/t-q.

Dans ce cas, a = — |, b = ^ — q; donc a'— & = g.

Ainsi , il faut et il suffit que q soit un carré.

§ II. De quelques équations binômes.

277. Forme de l'équation binôme. Une équation binôme est une équation à deux termes, de la forme :

Si A est positif, en désignant par a la racine m™« de A, on aura : A = a'". Si A est négatif, on désignera par a la racine ^me (jg — A, et l'on aura : A=— a*". L'équation [1] prendra alors la forme,

x^dza'^=0, [2]

Et, si Ton pose, x=ayy l'équation [2] deviendra ;

ou y"»zhl = 0. [3]

Telle est la forme à laquelle on peut ramener toute équation binôme. Quand on a trouvé les valeurs de y, on les multiplie par a, pour avoir les valeurs de x,

278. Résolution de quelques équations binômes. 1° L'équation [1] x^—]=:0,

a pour racines, x=zhl.

L'équation [2] a;2|i o,

a pour racines, x=±\/— 1.

2° L'équation [3] a?'— 1=0,

peut s'écrire : (x — l){x^-\-x-{-l)=0;

elle est donc décomposable en deux équations, 07—1=0, et x^+xi-l=0;

et ses racines sont :

— ld=v/-3 07=1, et x = .

L'équation [4] a;3+l = 0,

devient identique à la précédente, quand on y change x en — x : ses racines sont donc celles de [3], changées de signe, c'est-àdire :

07= — 1, et œ= ^ .

DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRE. i99

3° L'équation [5] a;* — 1=0,

peut s'écrire : (a?^— 1) (o;^ + 1) =0.

Elle est donc équivalente aux deux équations [1] et [2] ; et, par suite, ses racines sont celles de ces équations, c'est-à-dire :

L'équation [6] a;*+ I =0,

est identique à a?* + Src^ + 1 =2x^,

ou à {x^+iy— 2x^ = 0:

elle peut donc s'écrire :

(x^+l+xs/ï) {x^+ l — X}/2)=0;

et par suite , elle est décomposable en deux équations du deuxième degré,

x^+X)/2 + l=0, et a;* — a?v/2+l=0.

Ces deux équations ne diffèrent que par le signe de x : elles ont pour racines,

Ce sont donc là les quatre racines de l'équation [6].

4° L'équation [7] a;« — I = 0,

est décomposable en deux autres,

Ses solutions sont donc les six racines des équations [3] et [4], c'est-à-dire :

x=±l, et x=^l^^.

L'équation [8] a;^ + 1 =0,

devient identique à la précédente, quand on y remplace x par x\/ — 1 ; car on a :

{x^^^^y=xi)/^^y=i^af.

Ses racines sont donc données par les équations :

et, pour les obtenir, il suffit de multiplier les deux membres par v^ — 1 ; car alors les premiers membres deviennent égaux à XX { — 1), ou à — a?. On a donc :

a; = ±:v/— 1, et x^-^ — -^ .

5« L'équation [9] a;«— 1=^0, est décomposable en deux autres,

a;*— 1=0, et a?*+l = 0.

Ses racines sont donc les huit racines des équations [5] et [6], c'est-à-dire :

a?=±l, x=±:sJ-'\, X — — ^- — -^

L'équation [10] x^+\ = 0,

peut s'écrire : x^-\- 2a;* + 1 = 2a;*,

ou (a;*4- 1)* — 2a;*=0:

elle se décompose donc en deux autres,

a;*+l-}-irV2=0, et a;*-f 1— a;V2 = 0,

équations bicarrées que l'on sait résoudre, et qui donnent :

6° Enfin les racines de l'équation,

sont celles des équations [7] et [8].

Nous ne pousserons pas plus loin l'étude de ces transformations ; car notre but était seulement de montrer, par quelques exemples, comment certaines équations, de degré supérieur au second, peuvent se ramener à celles du second degré. Mais la méthode générale de résolution des équations binômes appar- *ient à la seconde partie de l'algèbre.

§ III. Des équations trinômes.

279. Résolution de l'équation trinôme. Une équation trinôme est une équation à trois termes, de la forme,

ax^''+bx'' + c=0. [1]

Si l'on prend a?* peur inconnue, en posant :

a;"==z, d'où x^''=z\ [2]

cette équation devient du second degré,

az^ + bz+c=0. [3]

On peut donc obtenir les deux valeurs de z; et, en les substituant successivement dans l'équation [2], on est ramené, pour avoir les racines de l'équation [1], à résoudre deux équations binômes du degré n.

EXERCICES