CHAPITRE IV

RÉSOLUTION ET DISCUSSION DES PROBLÈMES D'UN DEGRÉ SUPÉRIEUR AU PRE»UER.

§ I. Problèmes à une inconnue.

î'86. Problème I. Calculer la profondeur d'un puits, sachant qu'il s'est

écoulé un nombre 6 de secondes entre l'instant où Von a laissé tomber une pierre

et celui où le bruit qu'elle a fait, en frappant le fond, est revenu à l'oreille.

(On néglige la résistance de l'air.)

Pour résoudre ce problème, il faut se rappeler deux principes de physique :

1° L'espace parcouru par un corps pesant est proportionnel au carré du

temps t écoulé depuis le commencement delà chute ; et, si l'on désigne par g

Qt^ un coefficient constant, égal à 9"", 80896, il est représenté par Texpression ^ '

2° Le son se meut uniformément, et parcourt 333 mètres par seconde. Dans le calcul qui va suivre, nous représenterons sa vitesse par v j de sorte que, dans le temps t, il parcourt l'espace vt.

Soit X la profondeur du puits, évaluée eu mètres. En nommant tt le nombre de secondes que la pierre met à descendre , on a :

=f; .ca . = y/f. m

En nommant f: le temps que le son met à remonter, on a :

x = vt2\ d'où ^2 = -. [2J

Or ti + t2= e, d'après Ténoncé; donc l'é juation du problème est :

Pour résoudre cette équation, qui contient un radical, on la met sous la forme :

et, élevant les deux membres au carré, on a :

ou, en faisant passer tous les termes dans le premier membre, et ordonnant

On tire de là

8 1^ //ô iy ù'

Discussion. Les deux racines sont réelles; car la quantité placée sous le radical est évidemment positive.

Il est facile de voir, en outre, qu'elles sont toutes deux positives : car, d'après l'équation [6], leur produit 6V est positif, ainsi que leur somme

(29 2\ h -W. Le problème ne peut, cependant, avoir qu'une solution; car deux

puits de profondeurs différentes ne peuvent correspondre à une même valeur de 6. Pour expliquer cette singularité, et trouver quelle est celle des deux racines qui répond à la question , remarquons qu'en élevant au carré les deux membres de l'équation [4], nous formons une équation nouvelle, qui, il est vrai, ne peut manquer d'être satisfaite si la proposée l'est elle-même , mais qui peut l'être aussi sans que celle-ci le soit. Les deux membres auraient, en effet, même carré, s'ils étaient égaux et de signes contraires. L'équation [5] équivaut donc réellement (126) aux deux suivantes:

La première de ces équations est la seule qui corresponde au problème proposé; et sa solution est la solation du problème. Or cette solution est moindre

que v6, puisque, 0 étant positif, il en est de même de rô — x: au contraire, la solution de la seconde équation est plus grande que i;0, puisque

e — - est négatif; elle est, par conséquent, la plus grande racine de l'équation [5] : elle doit être rejetée comme solution étrangère. Ainsi, la solution cherchée est :

'^9 \/[v'^~gl V'

Remarquons que, dans l'équation [6] qui fournit cette solution, v représente la vitesse du son, égale à 333 environ ; le carré v^ est donc un nombre

assez considérable , et — , coefficient de x, est très-petit. D'ailleurs, la solution cherchée est la plus petite des deux racines. Il y a donc lieu d'appliquer à la recherche de sa valeur les formules de l'article 263 ; en adoptant la première, il viendra :

*=rf29- ■ - ta]

C'est la formule dont on devra se servir dans les applications. En effet, - vaut, à peu près, ; et comme l'unité de longueur est le mètre, on

peut, sans aucun inconvénient, négliger les quantités de l'ordre -7-

La formule [a] peut, du reste, se simplifier un peu, si l'on remarque que,

étant grand, — est petit ; e:

approximation, on peut écrire :

V étant grand, — est petit ; en sorte qu en le négligeant dans une première

c'est la formule qui conviendrait, en supposant la vitesse du son infinie. Pour obtenir un terme de correction, posons :

Nous aurons, pour déterminer a, l'équation :

d'où l'on tire, en chassant le dénominateur du premier membre,

Négligeant — , qui est, à la fois, très-petit, à cause du facteur a et du

facteur -, on en déduit :