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et l'on a enfin, comme valeur approchée de « :
-r-^^' 9"^' FM
C'est, du reste, la formule à laquelle on serait arrivé, en effectuant la divi-
/2 26\ sion de 6- par ( -H — j, et en s'arrêtant après avoir trouvé les deux premiers
termes du quotient.
287. Problème II. Partager une droite AB en deux parties telles, que la plus grande AX soit moyenne proportionnelle entre la plus petite et la ligne entière.
Soit a la longueur de AB; désignons AX par x, et, par suite, BX par [a — x) ; nous aurons, d'après l'énoncé, la proportion :
On en tire l'équation ;
ou
x^-{-ax—a^-=0.
De là
^ -ad=V5^ a(-l±V5)
Discussion. Les deux racines sont évidemment réelles. Comme v^5'est comprise entre 2 et 3, la première racine est positive et plus petite que a ; elle est donc la solution demandée. Mais la seconde est négative, et sa valeur absolue est plus grande que a; elle doit donc être rejetée.
Cependant on peut interpréter cette solution négative. En effet, désignons-la par ( — a) : comme elle vérifie l'équation [2], on doit avoir :
{ — a)'=aCa — ( — a)], ou a2=a(a-fa).
Ainsi a est une moyenne proportionnelle entre a et (a+a), et répond évidemment à la question suivante :
Trouver, sur la ligne AB prolongée, un point X' tel, que sa distance % au, point A soit moyenne proportionnelle entre sa distance (a + a) au point B et la ligne AB=a.
Les deux solutions, que nous venons de rencontrer, résolvent d'une manière générale le problème suivant :
Trouver, sur une droite indéfinie, sur laquelle sont pris deux points A et B,
un point X tel, que la distance AX soit moyenne proportionnelle entre BX etKB.
Et il arrive que, comme dans la plupart des problèmes du premier degré, la solution négative doit.être portée sur la droite AB, en sens opposé à la solution positive.
On aurait pu, d'ailleurs, éviter la solution négative, en comptant les distances à partir du point B. Car, en désignant par x la distance BX (l"^* fig.), et, par suite, par (a — x) la distance AX, on aurait eu la proportion :
d'où l'on eût tiré l'équation
x^^2ax-{-a^=zQ', [4]
a(3±\/5) et, par suite x= —^ — . [5]
Ces deux solutions sont positives : la première , qui est plus grande que a, donne le point X'; et la seconde, qui est plus petite que a, donne le point X. Construction des solutions. Les formules [3], qui peuvent s'écrire:
conduisent immédiatement à la construction qu'on indique dans les Éléments de géométrie. Car \/t- +ct^ est l'hypoténuse du triangle rectangle, qui a pour
côtés de l'angle droit AB et -^; et, pour avoir x', il faut retrancher— — de
cette hypoténuse, tandis que, pour avoir la valeur absolue de x", il faut ajouter les deux longueurs. On porte d'ailleurs x' de A vers B, et a;" en sens contraire. Remarquons encore que l'équation [2j peut s'écrire :
par conséquent, le problème proposé revient à celui-ci : Trouver deux lignes X et x-\-Si, dont la différence est a, et dont la moyenne proportionnelle est a. On apprend, en géométrie, à résoudre cette question, et l'on retrouve la construction précédente.
288. Problème III. Trouver, sur une ligne PQ, un point X également éclairé par deux lumières A et B , dont les intensités sont i et ï. On donne AP = a, BQ = b, et PQ = d; AP et BQ étant les perpendiculaires aliaissées des points A et B sur la ligne PQ.
Pour résoudre ce problème, on doit se rappeler que l'intensité de la lumière est en raison inverse du carré de la distance du point éclairé au point lumineux; de sorte
qu*une lumiè-a, d'intensité i, éclaire, à la distance x, avec une intensité -.
DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ, On doit avoir, par conséquent :
ouj en désignant PX par x, et, par conséquent, QX par {d — x) :
ou, en chassant les dénominateurs :
[&2 + (d - xy] i= (a* + a;') i'.
Discussion. Sans entrer dans les détails de la solution de cette équation du deuxième degré, et des conditions de possibilité du problème, cherchons à interpréter les solutions négatives qu'elle peut avoir. Si l'on désigne par ( — «) une solution négative, cette solution doit vérifier Téquation [1] ; on doit donc avoir :
C'est là précisément Téquation que l'on aurait dû écrire si, cherchant le point X à gauche de P, on avait désigné par a sa distance inconnue au point?. Les solutions négatives fournissent donc des solutions du problème proposé, pourvu que l'on porte la longueur qu'elles représentent à gauche du point P, c'est-à-dire dans un sens opposé à celui qui correspond aux solutions positives.
289. Problème IV. Étant donnés un cercle dont le centre est 0, un de ses
diamètres AB, et une corde CD ^^^^^ "*^^^^ perpendiculaire à AB ; on de-
X \^ mande de tracer un cercle tan-
gent, à la fois , au cercle 0, au diamètre et à la corde
Soient OA=:R, 01= a. Supposons qu'on veuille construire le cercle G inscrit dans le segment Aie. Prenons pour inconnue son rayon, et posons GT=IT=rc. La droite OG, qui joint les centres, va passer par le point de contact H des deux cercles; elle coupe d'ailleurs le cercle inconnu en S. Or la tangente OT est moyenne proportionnelle entre la sécante entière OH et sa partie extérieure OS. On a donc :
ÔT^ = OHXOS, ou (a-fa;)» = R(R— 2x), ou, en développant et en ordonnant,
On en tire: x = -{R + a)±\J {R + a)'-\-[lV-a^;
ou, réduisant : __^___
