Variations, maximum et minimum d'une fonction. Lors

qu'on fait croître la valeur attribuée à x, par degrés insensibles, la valeur de la fonction varie : mais elle peut être tantôt croissante et tantôt décroissante. Lorsque la fonction cesse de croître pour commencer à décroître, on dit qu'elle passe par un maximum : lorsqu'elle cesse de décroître pour commencer à croître, on dit qu'elle passe par un minimum.

Nous n'avons pas à exposer ici les méthodes générales qu'on emploie pour déterminer les maximums et les minimums des fonctions ; ces méthodes trouveront leur place dans la seconde partie. Notre but est seulement de montrer comment la discussion de certains problèmes du second degré fait connaître des limites que les fonctions ne peuvent pas franchir. Lorsqu'on cherche, en effet, à rendre une fonction égale à une quantité donnée, le problème n'est ordinairement possible que sous certaines conditions. Il faut, dans la plupart des cas, que la quantité donnée soit comprise entre certaines limites que la discussion détermine, et qui indiquent la plus grande et la plus petite valeur que puisse prendre la fonction. Nous avons déjà rencontré quelques-uns de ces problèmes dans le chapitre précédent (201, 295, 29o). Nous en donnerons ici quelques autres, exemples.

§ 1. Maximum ou minimum d'une fonction d'une seule variable indépendante.

501. Problème L Partager un nombre donné 2a en deux par* lies dont le produit soit maximum.

Chacune des parties étant plus petite que 2a, le produit ne peut atteindre le carré de 2a; il y a donc un maximum.

Désignons par a; l'une des parties; l'autre sera {2a— x), et le produit sera a; (2a — x). Cherchons à rendre ce produit égal à une quantité donnée m, en posant ;

X (2a — x) = my

ou a;^ — 2aa; + m = 0. [1]

Il faudra, pour cela, que l'on prenne :

x=adz\^a- — m. [2]

Or, pour que le problème soit possible, il faudra que les va-

leurs de x soient réelles, c'est-à-dire que m ne soit pas supérieur à a}. Si donc on peut prendre a^ pour valeur de m, ce sera Je maximum du produit. Or, si l'on suppose m=^a}, la formule [2] donne, a? = a; et par suite, 2a — x=a. Ces solutions sont acceptables ; donc, pour partager un nombre en deux parties dont le produit soit maximum, il faut le partager en deux parties égales.

Il n'y a pas de minimum; car on peut donnera m une valeur quelconque inférieure à a^; il y aura toujours une solution.

On peut démontrer directement ce théorème. Représentons l'une des parties par (a — js), l'autre est (a + <z); et Surproduit {a—z) {a-\-z), ou (a^ — ^^), toujours inférieur à a%est d'autant plus grand que 2^ est plus petit. Le maximum correspond donc au minimum de z^, c'est-à-dire au cas où 2 =0, c'est-à-dire où chaque partie est égale à a.

On voit d'ailleurs aisément que le produit est nul, quand le premier facteur est nul; qu'il augmente avec ce facteur jusqu'au maximum, et qu'il diminue ensuite et redevient nul, quand ce facteur devient égal à 2a.

303. Ce problème fournit la soljution des questions suivantes :

1° Parmi tous les rectangles de même périmètre 2p, quel est celui dont la

surface est maximum?

La somme de la base et de la hauteur est constante et égale à p ; donc l'aire,

qui se mesure par leur produit, sera maximum lorsque les deux longueurs seront

égales. Le rectangle maximum est donc le carré dont le côté est -p.

2° Parmi les triangles de môme périmètre 2p, et de même base a, quel est celui dont la surface est maximum?

L'aire du triangle, dont les trois côtés sont a,b, c, est :

Sz=^p{p-a) (p-h)ip — c);

elle atteint son maximum en même temps que S^. Or les facteurs p et {p — a) étant constants, on peut les supprimer, et se borner à déterminer le maximum du produit (p — &) (p — c); car ce dernier produit augmente et diminue avec le premier. Or la somme des deux facteurs (p — b) et (p—c) est constante et égale à a; donc le produit sera maximum si les deux facteurs sont égaux, ou si b=c, c'est-à-dire si le triangle e^t isocèle.

505. Problème II. Décomposer U7i nombre p* en deux facteurs positifs dont la somme soit minimum.

Je dis que la somme sera minimum, quand les deux nombres seront égaux à p. Car on vient de démontrer (501) que, si la

somme de deux nombres est égale à 2j?, leur produit ne peut surpasser p-, c'est-à-dire le carré de la demi-somme. Donc, si cette somme est moindre que 2p, le produit ne peut atteindre p^. Par conséquent, pour que le produit soit égal àp^, il fautque la somme soit au moins égale à 2p, Donc Sp est le minimum de la somme de deux nombres dont le produit est p'. De là ce théorème : Pour décomposer un nombre en deux facteurs dont la somme soit minimum^ il faut le décomposer en deux facteurs égaux.

On peut appliquer à la résolution de ce problème la méthode du n° 501. Désignons, en effet, l'un des facteurs par x; l'autre

sera—, et leur somme sera (x -|-^ )• Cherchons à rendre cette

somme égale à une quantité donnée wî, en posant :

x-\-~^m, ou x- — mx-^2f'=zO, [1]

Il faudra, pour cela, quel'on prenne :

Or, pour que le problème soit possible, il faudra que les valeurs

de X soient réelles, c'est-à-dire que ?n' soit au moins égal à kp'^.

Si donc on peut prendre m*=kp^, ou??i = 2p (car il s'agit de

nombres positifs), 2p sera le minimum de la somme. Or, si

Tn Ton pose ?7î = 2p, la formule [2] donne x = —, ou x=p. Cette

solution acceptable conduit au théorème énoncé plus haut.

Il n'y a pas de maximum : car quelque grande que soit la valeur attribuée à m, dès qu'elle surpasse 2j9, le problème est toujours possible.

Ainsi la somme des deux facteurs, d'abord très-grande quand X est très-petit, diminue quand x augmente, jusqu'au minimum 2p; puis elle augmente indéfiniment, quand a? croît indéfiniment.

304:. Ce problème fournit la solution de la question suivante -. Parmi tous les rectangles de même surfaces"^, quel est celui dont le périmètre est minimum? On trouvera aisément que c'est le carré dont le côté est s.

305. Problème III. Inscrire dans un triangle, dont la hase est h et la hauteur h, un rectangle dont la surface soit maximum.

Pour inscrire un rectangle dans un triangle, on mène une parallèle quelconque à la base, et par les points où elle coupe les deux autres côtés, on abaisse des perpendiculaires sur la base. Or on comprend que, si la parallèle est menée dans le voisinage du sommet, la surface du rectangle est très-petite; que cette aire augmente jusqu'à une certaine limite, à mesure que la parallèle s'éloigne du sommet; mais qu'elle diminue ensuite jusqu'à zéro, lorsque la parallèle se rapproche indéfiniment de la base. La surface a donc un maximum.

Désignons par x la hauteur et par y la base du rectangle (parallèles respectivement à la hauteur et à la base du triangle) ; et cherchons à rendre la surface égale à une quantité donnée m, en posant :

xy = m. " [1]

La géométrie fournit aisément, entre les deux variables x et y, la relation :

y -in^ roi

qui permet d'éliminer y de l'équation [1]. On a ainsi:

hx {h—x)

Au lieu de résoudre cette équation, et de discuter les conditions que doit remplir m, pour que x soit réel, on peut remarquer que le maximum de l'expression [3] a lieu en même temps que celui du produit x{h—x), qui n'en

diffère que parle facteur constant r. Or les deux facteurs x et [h — x] ont une

somme constante h : donc, s'il est possible de les rendre égaux, on obtiendra ainsi le maximum cherché. Or, pour rendre ces facteurs égaux, il faut poser

x=z - , et par suite, y =t. Ces valeurs sont acceptables. Donc, pour inscrire

dans le triangle un rectangle maximum, il faut mener la parallèle à la hase par le milieu de la hauteur. D'ailleurs la surface de ce rectangle est :

xy=z —. Elle est la moitié de celle du triangle.

306. Problème IV. Circonscrire à une sphère donnée, de rayon "R, un cône dont le volume soit minimum.

Pour circonscrire un cône quelconque à une sphère, on considère un grand cercle; on trace un de ses diamètres, puis la tangente à l'une des extrémités de ce diamètre, et une tangente quelconque que l'on prolonge jusqu'à la première d'une part, et jusqu'au diamètre, de l'autre. Puis on fait tourner autour du diamètre la demi -circonférence et le triangle formé par ces trois droites; ce triangle engendre le cône.

Or on voit aisément que, lorsque la seconde tangente est à peu près parallèle à l'axe, le volume du cône, dont la hauteur est très-grande, est lui-même extrêmement grand; qu'à mesure que la tangente s'incline, le volume diminue jusqu'à une certaine limite; et qu'il croît ensuite indéfiniment, lorsque la tangente mobile tend à devenir parallèle à la tangente fixe, parce qu'alors la base croît indéfiniment. Le volume a donc un minimum.

Pour le déterminer, désignons par x la hauteur du cône, et par y le rayon

de sa base; et cherchons à rendre son volume égal à une quantité donnée m, en posant :

-irt/2a.=w. [1]

La géométrie fournit aisément, entre les variables rc et y, la relation :

qui permet d'éliminer y de Téquation [1]. On a ainsi :

On pourrait résoudre cette équation, et discuter les conditions de possibilité du problème *. on en déduirait le minimum de m. Mais il est plus simple de

remarquer que, le facteur -tïR^ étant constant, on peut le supprimer, et que

le minimum de l'expression [3] a lieu en même temps que celui de l'expression

-T-. Or le minimum de cette dernière correspond au maximum de l'expres-

sion renversée ç— .

D'ailleurs, on a identiquement :

et l'on voit, qu'abstraction faite du facteur constant—, le produit — (1 j

se compose de deux facteurs dont la somme est constante et égale à 1. Il sera

donc maximum quand les deux facteurs seront égaux à-, c'est-à-dire quand

on aura x — 4R. Cette valeur de x est acceptable : car x peut varier depuis 2R jusqu'à l'infini.

Ainsi le cône minimum, circonscrit à une sphère, a une hauteur double du diamètre de la sphère. Son volume, déduit de l'expression [3], est égal à

-TrR^; il est double de celui de la sphère. Sa base mf, tirée de l'équation [2],

est égale à 27iR-; elle est double de l'aire d'un grand cercle. Enfin, sa surface totale Tnf ^ï^~+^ -\-Tiy^, est égale àSîîR^; elle est double de la surface de la sphère.

507. Problème V. Trouver entre quelles limites peut varier le trinôme ax^ + ^x + c.

Cherchons d'abord à rendre ce trinôme égal à w, en posant :

ax^-\-bx-{-c=m. [1]

En résolvant cette équation, on trouve

— bzhJb^ — knc-\-kam "== 2a • t2]

Pour que le problème soit possible, il faut que Ton ait :

b* — 4ac+4am>>0, ou kam^kac—b^, [3]

Mais, pour tirer de cette inégalité la limite que m ne doit pas dépasser, il faut distinguer deux cas.

1° 5i a est positif, on peut diviser les deux membres par ka (210); et il vient:

^ kac—b^ -,

Ainsi, dans ce cas, le trinôme peut recevoir toute valeur plus

grande que — r— ; il peut même atteindre cette limite qui est sa

valeur minimum.

2° SI a est négatif, en divisant l'inégalité [3] par 4a, on change son sens (210); et il vient :

^kac—b^ .^,

Ainsi, dans ce cas, le trinôme peut recevoir toute valeur infé-

l^CLQ b^

rieure à — ; il peut même atteindre cette limite^ qui est sa valeur maximum.

Dans chaque cas, la valeur minimum ou maximum de m annule le radical : et la valeur correspondante de x est — — .

On peut maintenant étudier facilement les variations du trinome. On a vu, en effet (2o5), que le trinôme peut toujours être mis sous la forme :

r/ . by . kac—bn

Or, lorsquca; passe, par degrés continus, de — co à +00» 1<J terme fa;-f—j , toujours positif, part de+00, diminue, puis

B'annuîe pour a? = — — , puis croît jusqu'à + 00 : son minimum

est zéro. La quantité entre crochets, ne différant du terme considéré que par une quantité constante — 7—5 — , part aussi de

+ 00, diminue, attemt son mmmium — ■ — 5 — , quand a; = — — ;

puis croît indéfiniment avec x. Et, lorsqu'on la multiplie par a

pour former le trinôme, le produit subit des variations qui sont

dans le même sens, si a> 0, et en sens contraire, si a<0.

Donc, si a est positif, le trinôme part de +00, diminue jusqu'à

kac — 6- . . . ,, , ^. ^ , un certain minimum — , puis croit jusqu a -j-co. Si a- est ne-

gatif, il part de — », croit jusqu'à un certain maximum — 7 ,

puis décroît jusq uà — 00 .

308. Problème VI. — Trouver entre quelles limites peut varier

la fraction

ax'*- -]-bx -^ c a!x''-\-b'x-\-d'

Cherchons d'abord à rendre cette expression égale à m, et posons en conséquence :

ax--^hx-\- c j- ^

On en déduit :

{a — a' m) x^ 4" {b — b'm) x + (c — dm) = G: d'où:

— (b — b'm)±z\J(b — b'riif — 4 {a — a'm) {c — c'm)

OU, en ordonnant par rapport à m sous le radical : [2]

—[b—b'm)±.\J{b"^—ka'c'}m'-—'i{bb'—1ac'—2ca)m-\-(b''—kac)

Pour que le problème soit possible, il faut choisir la valeur attribuée à 7?i, de manière que la quantité placée sous le radical ne soit pas négative, c'est-à-dire que l'on ait :

(6'2— 4a'c')m'— 2:66'— 2ûrc'— 2ca')?7î+(6*— 4-c)^0 [3]

Distinguons trois cas.

10 (è't — ka'c') est positif. Dans ce cas, si les racines du trinôme, qui forme le premier membre de l'inégalité [3], sont réelles et inégales, le trinôme sera positif (266), c'est-à-dire de même signe que son premier terme, pour toutes les valeurs de m plus petites que la plus petite ou plus grandes que la plus grande : il sera négatif pour toutes les valeurs de m comprises entre ces racines. On ne pourra donc donner à m que deux séries de valeurs, l'une comprenant tous les nombres depuis — oo jusqu'à la plus petite racine qui sera un maximum, l'autre comprenant tous les nombres depuis la plus grande racine qui sera un minimum jusqu'à + oo.

Si, au contraire, les racines du trinôme sont réelles et égales, ou imaginaires, le trinôme conserve (267, 268), pour toute valeur de w, le signe de son. premier terme : il est donc toujours positif, et m peut recevoir toutes les valeurs sans exception. Il n'y a, dans ce cas, ni maximum ni minimum.

2» (6'* — ka'c') est négatif. Dans ce cas, les racines du trinôme ne sont jamais imaginaires : car, si elles pouvaient Têtre, le trinome serait négatif pour toute valeur attribuée à m. Par suite les valeurs correspondantes de m et de a? ne seraient jamais réelles à la fois. Or cette conclusion est inadmissible ; car, d'après la forme de l'équation [1], toute valeur réelle, attribuée à a;, fournit pour m une valeur réelle correspondante. Les racines sont donc réelles. Mais elles ne peuvent pas être égales ; car, si elles l'étaient, le trinôme serait négatif pour toute valeur de w, à l'exception d'une seule (267), qui l'annulerait : les valeurs correspondantes de m et de a? ne seraient donc à la fois réelles que dans un seul cas ; conclusion également inadmissible, d'après la forme de l'équation [1], toutes les fois que, comme on le suppose ici, la fraction [1] n'est pas indépendante de x. Les racines du trinôme sont donc réelles et inégales. Le trinôme est donc positif, c'est-à-dire de signe contraire à son premier terme, pour toute valeur de m comprise entre les racines : il esi négatif pour toute autre valeur. On ne peut donc attribuer à m, que des valeurs comprises entre la plus petite racine qui est un minimum, et la plus grande qui est un maximum.

30 (5'2 — 4^'^'j est nul. Dans ce cas, la quantité placée sous le radicales! du premier degré en m : on résout alors l'inégalité [3]

comme il a été dit (210). On sait qu'il y a un maximum ou un minimum, selon que le coefficient de m est négatif ou positif.

Ainsi, pour que V expression [1] ait un maximum et un minimumy il faut et il suffit que les racines du trinôme, qui forme le premier membre de Vinégalitè [3] , soient réelles et inégales : ces racines sont elles-mêmes le maximum et le minimum, et les valeurs correspondantes de x sont fournies par la formule,

2{a — a'm)' dans laquelle on remplace m par ces racines.