Variations de l'expression , , ; ,, T ,. Si Ton veut

déterminer les variations que subit une fraction du second degré, quand x croît de — <» à + oo, on commence par calculer, d'après la méthode précédente, le maximum et le minimum dont elle est susceptible , et les valeurs correspondantes de x. Puis on égale successivement à zéro le numérateur et le dénominateur de l'expression, pour trouver les valeurs de x qui la rendent nulle ou infinie. Enfin on détermine les valeurs particulières de la fraction, correspondantes à x=zh c», et àa; = 0. On fait un tableau des valeurs de la variable ainsi obtenues, en les rangeant par ordre de grandeur, et Ton place en regard les valeurs correspondantes de la fonction. 11 est facile d'en déduire les variations que l'on cherche. Prenons un exemple.

xî— 3a:+2

Soit la fraction :

Comme {b'^ — ka'c') est positif, on tombe dans le premier cas; en égalant la fraction à m, on trouve que les racines du trinôme sont :

m' est un maximum, m" est un minimum. Les valeurs correspondantes de x sont :

x'=l0 — 6yj2, x"=l0-{-6)j2.

Les valeure de x, qui annulent la fraction , sont les racines de l'équation : x^-3x + 2=0;

elles sont 1 et 2. Les valeurs, qui la rendent infinie, sont les racines de Téq- ûtion :

Alg. B. l'"e Partie. 10

elles sont —2 et 4. Enfin, poura;=±oo, la fraction prend la valeur 1; et

pour x=:0, elle est égale à — -.

Ainsi la fraction proposée peut s'écrire :

{x-i)(x-2) y (a; + 2)(a;-4)* On forme donc le tableau suivant :

a;=— 00, —2, 0, l, 10— 6 V^S, 2, 4, 10 + 6 v^S, 4-oo;

, , . 1 ^ 3— 2v/2 „ 3 + 2v/2 , , y=+l, i»,--, 0, g-î^, 0,q=oo, ^, +1.

Quand x croît de — oo à —2, y, qui est positif, puisque ses quatre facteurs sont négatifs, croît depuis + 1 jusqu'à +co. Elle change alors de signe, car le facteur {x + 2) devient positif; elle passe brusquement de +oo à — oo : puis, ce continuant à croître depuis —2 jusqu'à 0, de 0 à 1, et de 1 jusqu'à

10— 6v'2, l'expression croît depuis —oo jusqu'à —-, de— -à 0, et de 0

jusqu'au maximum r^-* -A- partir de là, quand x augmente jusqu'à 2, et

depuis 2 jusqu'à 4, elle diminue du maximum à 0, et de 0 à — oo : puis elle

passe brusquement de — oo à + «» ; car ses quatre facteurs sont alors positifs ;

elle diminue ensuite jusqu'au minimum , quand x croît de 4 à 10 + 6 v'2 ;

et, quand enfin x croît de 10+ 6V^2 jusqu'à + oo, elle augmente depuis le minimum jusqu'à + 1.

510. Problème VII. Deux variables x et y étant liées ensemble

par une équation du second degré :

ay^-]-bxy-{-cx'^-{-dy-{-ex-{-f=0^ [1]

trouver les valeurs extrêmes que puisse prendre Vune d'elles, x par exemple.

Si l'on résout l'équalion par rapport à y, on aura :

— bx — d-±isJ{b'' — kac)x'-\-2{bd — ^ae)x^d-' — kaf

ou, en posant:

b^ — kac==m, bd — 2ae = n, d^ — kaf=p,

— bx — d±\/mx'^-\-'^nx-\-p

Pour que y soit réel, il faut que x soit choisi de manière que l'on ait :

mx^ 4- 2710; 4-p > 0 ; M

et l'on a vu (270) comment on peut, dans les différents cas, déduire de l'inégalité [4] les limites entre lesquelles la valeur de X doit être ou ne pas être comprise.

511. Règle générale. Les exemples, que nous venons de résoudre, suffisent pour montrer comment on procède, en algèbre élémentaire, à la recherche des maximums et des minimums de certaines fonctions du second degré, qui ne dépendent que d'une seule variable indépendante. On étudie d'abordy autant que possible, la marche de la fonction, pour reconnaître Vexistence du maximum ou du minimum. On choisit ensuite cerlaines variables fournies par la question, et Von exprime la fonction au moyen de ces variables. Puis on égale l'expression à m, et Von écrit les équations, que fournit Vénoncé, entre les diverses variables. Ces équations permettent de déterminer la variable indépendante en fonction de m; et la discussion des conditions de possibilité du problème fait connaître les limites qui fournissent, s'il y a lieu, le maximum et le minimum de l'expression,

512. Remarque. Cette méthode est, il faut l'avouer, fort restreinte; car elle ne s'applique qu'aux fonctions du second degré. D'un autre côté, elle ne semble pas naturelle; car, au lieu de conduire à la découverte du maximum et du minimum d'une fonction par des raisonnements basés sur la définition générale (500), elle donne, en quelque sorte, accidentellement les résultats, puisqu'elle les déduit des conditions de possibilité d'un problème, qui n'est pas le problème proposé.

Dès lors, il n'est peut-être pas sans intérêt de montrer, que les résultats qu'elle fournit satisfont à la définition générale. Reprenons, dans ce but, le problème YI (508); et considérons, pour fixer les idées, le cas où {b'^ — kac') est posifif. On sait qu'alors, si les racines du trinôme du second degré en m sont réelles et inégales, la fraction ne peut recevoir aucune valeur comprise entre elles : la plus petite m' est un maximum , et la plus grande m" est un minimum de la fraction. Désignons d'ailleurs par x' et par x" les valeurs correspondantes de x.

Ce qui caractérise (500) le maximum M d'une fonction, c'est que, si l'on appelle a la valeur de x qui correspond à ce maximum, la substitution de (a — h) et de {a-^h) à x fournit des valeurs de la fonction inférieures à M, pourvu que h soit suffisam-

ment petit. De plus, ces valeurs diffèrent de M, à cause de la continuité, de quantités aussi petites que l'on veut. Or x' et m! remplissent ces conditions. En effet , quand x varie par degrés insensibles, la fraction m varie aussi d'une manière continue. De plus, pour x — x', m prend la valeur m'. Enfin, quand on pose : x=x' — h, iti x^=^x' \-h, h étant suffisamment petit, les valeurs de m ne peuvent être qu'inférieures à m'-^ car elles doivent en différer très-peu, et elles ne pourraient lui être supérieures sans être au moins égales à m", puisque m ne peut recevoir aucune valeur comprise entre m' et m".

On montrerait, par des raisonnements analogues, que x" et m" satisfont aux conditions imposées par la définiUon au minimum d'une fonction; et que, dans les autres cas où la fraction du second degré est susceptible d'un maximum et d'un minimum, la méthode élémentaire fournit des résultats qui vérifient aussi la définition générale.

5 II. Maximum ou minimum de quelques fonctions d'un degré supérieur au second.

515. Problème VIII. Partager un nombre donné a en n parties dont le "produit soit le plus grand possible.

Chacune des parties étant moindre que a, leur produit ne peut pas atteindre a" : il est donc susceptible d'un maximum. Décomposons le nombre a en n parties positives quelconques, X, y, z,^., ^u,t, de telle sorte que l'on ait :

Leur produit est : xyz .... ut. [2]

Or, supposons que deux facteurs xeiyne soient pas égaux, et remplaçons-les, l'un et l'autre, dans le produit, par leur demi-

/y» I ni

somme — 5-^> nous aurons le nouveau produit :

. — —^ z. . . ut.

Gomme la somme des deux premiers fadeurs n'a pas été allé-

rée, ce produit satisfait encore à la condition [l]. Mais, comme ces facteurs sont devenus égaux, on a (501) :

et, par suite,

Le produit [2] n*est donc pas maximum. Ainsi, un produit de facteurs positifs variables dont la somme est constante, ne peut pas être maximum, quand ces facteurs ne sont pas égaux. Gomme le maximum existe, on doit en conclure que le produit

est maximum, quand tous les facteurs sont égaux à

514. Remarques. Nous supposons, dans le raisonnement précédent, que tous les facteurs soient positifs. S'il n'en était pas ainsi, le produit n'aurait pas de maximum; car la somme des facteurs restant la même, leur valeur absolue pourrait augmen^ ter indéfiniment; et, si le nombre des facteurs négatifs était pair, le produit serait positif et aussi grand qu'on le voudrait.

Notre raisonnement suppose, en outre, qu'il est possible de rendre égaux tous les facteurs. On doit toujours vérifier cette condition , lorsqu'on veut appliquer le théorème.

51o. Problème IX. Partager un nombre a en deux parties x, y, telles que le produit x^yi soit maximum, p et q étant des nombres entiers donnés.

Les conditions du maximum ne sont pas changées, si l'on

substitue au produit x'^g'^ la fraction -—-, qui n'est autre que

ce produit divisé par un nombre constant p^^^. Or cette fraction peut s'écrire :

elle est donc un produit de (p+q) facteurs, dont la somme (x+y) est constante et égale à a. Si ces facteurs étaient indépendants entre eux, et n'étaient assujettis qu'à la condition d'avoir une somme constante, si l'on considérait, par exemple,

le produit ^^=x^X2. . . x^y^y^. . . yq, on obtiendrait (515) le maximum de Pi en posant :

■X2 = z=x^=y, = y.^= =yq:

f a \P"^'ï et ce maximum serait: ( — r— ) . Mais certains facteurs de P

devant rester égaux, le raisonnement du n*» 515 n'est plus applicable. Toutefois, les valeurs daP sont évidemment toutes comprises parmi les valeurs de Pi; le maximum de P ne peut donc surpasser celui de Pj. D'ailleurs il lui est égal, si l'on pose

- = -= — j — . Donc le produit a;V est maximum lorsque lesdeux

parties x et ?/ de a sont proportionnelles aux exposants p et q.

On prouvera de même que, pour partager a en n parties x,y,z^,...Uj t, telles que le produit x'^yhK , . . uff^ soit maximum , il faut satisfaire aux conditions,

a p Y ****cp ^*

' 516. Problème X. Décomposer un nombre p en n facteurs positifs, dont la somme soit la plus petite possible»

Je dis que la somme sera minimum, quand tous les nombres seront égaux à \lp\ car on vient de démontrer (515) que, si la somme de n nombres estégaleàny^p, leur produit ne peut surpasser {sIpY ou p, c'est-à-dire la puissance n*"^ de la n*"* partie de la somme. Donc, si cette somme est moindre que n\lp, le produit ne pourra pas atteindre p. Par conséquent, pour que le produit puisse être égal à p, il faut que la somme soit au moins égale à n\lp- Donc n \Jp est le minimum de la somme ; et, dans ce cas, toutes les parties sont égales à \/p .

517. Problème XL On donne le produit xpji = P. Trouver le minimum de la somme x + y.

/p qj

Je dis que ce minimum correspondra au cas où- = -. ^ P Q

En effet, désignons par a et p deux nombres satisfaisant au deux conditions :

On vient de démontrer (ôlo) que, parmi tous les nombres x eiy qui ont pour somme (a + p), les nombres a et p sont ceux qui donnent au produit x^y"^ sa plus grande valeur. Si donc deux nombres a; et y ont une somme moindre que (a+p), le produit x^y'^ sera, à fortiori y moindre que a^p^, c'est-à-dire que P. Par suite, pour que le produit x^y'^ soit égal à P, il faut que {x -\- y) soit au moins égal à (a -}- 3), qui est, par conséquent, sa valeur minimum.

518. Remarque. Les trois problèmes (305), (516), (517), sont, en quelque sorte, réciproques de ceux que nous avons résolus n°* 501, 513, 51o. Cette réciprocité, entre certains problèmes de maximum et de minimum, peut être formulée, comme il suit , d'une manière générale.

Si une quantité Y étant donnée, une autre quantité X est maximum dans certaines circonstances; X étant dennée à son tour, Y sera minimum dans les mêmes circonstances, pourvu que le maximum de X diminue, quand la valeur donnée de Y diminue ellemême.

En effet, soient B la valeur donnée de Y, et A la plus grande valeur de X qui puisse se concilier avec B. Si l'on donne à Y une valeur b moindre que B, la valeur maximum correspondante de X sera, par hypothèse, moindre que A. Donc, pour que la valeur de X puisse être égale à A , il faut que celle de Y soit au moins égale à B. Par suite, B est la moindre valeur de Y qui puisse correspondre à la valeur X = A, c'est-à-dire la valeur minimum de Y correspondant à la valeur A de X.

Exemple. On démontre, en géométrie, que la circonférence de cercle est la courbe qui, sous une longueur donnée, renferme la plus grande surface. Il en résulte qu'elle est la courbe qui, avec une aire donnée, a le plus petit périmètre.

319. Problème XII. Inscrire, da)is une sphère de rayon donné R, itn cylindre dont le volume soit maximum.

Lorsque le rayon de base du cylindre est très-petit, le volume a une trèspetite valeur. Cette valeur augmente à mesure que le rayon croît. Mais cet accroissement a une limite; car, lorsque le rayon devient à peu près égal à R , la hauteur devient très-petite, et par suite le volume est presque nul.

Désignons par x le rayon de base, et par -^y la hauteur d'un des cylindres inscrits; son volume V aura pour expression 27r.r-|/. D'ailleurs la géométrie donne, entre x et y, la relation :

X'-j-y'=RK [11

On en conclut, en éliminant «,

V=27ry(R2-y2). [2]

Or le maximum de cette expression correspond à la même valeur de y, que celui de y{R^ — y^). Mais ce produit n'est pas du second degré; et il n'est pas possible d'appliquer la méthode ordinaire (3 1 1) à la recherche de son maximum. On ne peut pas non plus décomposer l'expression en facteurs^ et l'écrire : y(R + î/) (R — y), ou en la doublant, y(R + y) (2R — 2y) ; car, bien que les trois facteurs aient alors une somme constante et égale à 3 R , il n'est pas possible de les rendre égaux entre eux. Mais, si l'on élève le produit au carré, ce qui donne y''{B? — y^y, on remarque que l'on peut considérer y"^ comme la variable , et que la somme des deux facteurs y^ et (R^— y') est constante et égale à R^. Par suite, en vertu du théorème (315), si l'on peut choisir pour y une valeur satisfaisant à la proportion :

cette valeur correspondra au maximum cherché. Or de réquation [3] on tire :

et, par suite, a;^^-— ,

Ces valeurs de a; et de y sont admissibles; car elles sont réelles et inférieures

47cR3 au rayon R. Le volume maximum du cylindre a donc pour valeur : Y = =.

520. Il a quelquefois avantage à ramener la recherche du minimum d'une fonction à la recherche du maximum de la fonction inverse.

Problême XIII. Circonscrire à une sphère, de rayon R, un cône dont la hase repose sur un plan diamétral, et dont le volume soit minimum.

Désignons par x et par y le rayon de base et la hauteur d'un des cônes circonscrits. Son volume V est égal h-Tzx^ y. D'ailleurs la géométrie donne aisément la relation :

y2 — Rî* >• J

L'expression du volume est donc :

V— -7cR^ ^' . (21

Comme le facteur \ %l\^ est constant, il suffit de déterminer le minimum de la

fraction ^ ^,. Or ce minimum correspond évidemment au maximum de la

DES ÉQUATIONS DU SECOxND DEGRÉ. 249

fraction renversée - — z — , ou au maximum de son carre i^ — - — -. Et, comme

on a identiquement :

y« -t/V y' )~yA y^-j ~ W yA W '

on voit que, abstraction faite du facteur constant — , la somme des deux fac-

teurs — et (1 -^ J est constante ; si donc on peut choisir pour y la valeur

Iburnie par la relation (315) :

cette valeur correspondra au maximum de ^ — ^ — , c'est-à-dire au minimum de ;^D2- Or on tire de l'équation [3], î/'=3R2 : et, par suite l'équation [1]

donne : x"^ = — -. Ces valeurs de x et de y, étant plus grandes que 'R, sont

admissibles; et, par conséquent, le volume minimum du cône circonscrit a pour valeur : ^

521. Extension de la méthode fournie par le théorème (515). Pour rendre maximum un produit de facteurs variables, on cherche à rendre constante la somme de ces facteurs , puis à les égaler entre eux. On peut, si cela est nécessaire, multiplier d'abord ces facteurs par certains nombres constants, convenablement choisis; car cette multiplication n'altère pas les conditions du maximum. Mais il n'est pas toujours facile de découvrir, a priori y les nombres que l'on doit employer. On désigne alors ces nombres par des lettres; et, les considérant comme des inconnues, on cherche à les déterminer, de manière à satisfaire aux deux conditions du maximum (515).

522. Problème XIV. On donne, dans un trapèze isocèle j la petite base a, et la longueur commune c des deux côtés non parallèles. On demande le maximum de Vaire du trapèze.

Désignons par x la demi-différence des deux bases du trapèze; la grande base sera (a + 2x) ; la hauteur sera y^c^— a?'; par suite, Taire du trapèze aura pour expression :

S = {a + x)>Jc^—x^',

et le maximum de cette aire aura lieu pour la même valeur de x que le maximum du carré,

S^ = ia + xy{c^ — x^),

expression que Ton peut écrire :

S^={a + x)ia + x){c + x){c — x). [1]

Il serait facile de rendre constante la somme des quatre facteurs; il suffirait de multiplier le dernier par 3 : mais on ne pourrait pas rendre ensuite ces facteurs égaux. Multiplions donc tous les facteurs distincts^ à l'exception d'un, par des nombres indéterminés a, p; et écrivons :

apS' ={a-{-X){a + x) (ac + ax) (fc — ^x) .

Nous pourrons exiger d'abord, que la somme des facteurs soit constante, en égalant à zéro le coefficient de a?; ce qui donnera:

Puis nous pourrons égaler les divers facteurs; ce qui donnera:

a-\' X=rxC-\-OiXy [3]

Ces trois équations [2], [3], [4], suffiront pour déterminer les coefficients a et p, et la valeur cherchée de x. Mais il n'est pas nécessaire de connaître a et p; il suffit de les éhminer, à l'aide des trois équations, pour obtenir a?. On a ainsi, d'après les équations [3] et [4] :

et, substituant ces valeurs dans l'équation [2], on a:

' c+o? c — X ou, en simplifiant:

2x^+ax — c^ = 0. [5]

La racine positive, qui seule convient ici , est :

C'est la valeur de a?, qui correspond au maximum. '

On peut remarquer que réquation [5], mise sous la forme

prouve que le côté c est moyenne proportionnelle entre x et la grande base ; et que, par conséquent, la grande base est Thypoténuse d'un triangle rectangle, qui aurait pour côtés de Tangle droit le côté c et la diagonale du trapèze.

Si Ton a : c = a, on en conclut : a; = - ; et la grande base est égale

à 2fl. Le trapèze maximum devient un demi-hexagone régulier.

523. Il faut remarquer que, si l'expression renferme n facteurs distincts, on emploie (n — l) indéterminées, qui, avec a?, forment n inconnues. Or, en exigeant que la somme des facteurs soit constante, on obtient une première équation : et en égalant les n facteurs, on forme {n — 1) équations. La méthode fournit donc autant d'équations que d'inconnues : elle est générale.

§ III. Maximum ou minimum de quelques fonctions de plusieurs variables.

524. Problème XV. Trouver entre quelles limites peut varier lô

polynôme :

Ay^+Bxy + Cx' + Dy + Ex + ¥, [1]

lorsque les variables x et y jjrennent toutes les valeurs possibles.

Cherchons à rendre ce polynôme égal à une quantité donnée ?n, en posant :

Ay^ + Bxy + Cx' +mj + Ex + F = m.

Si Ton considère y comme inconnue, on tire de cette équation:

— (Ba; + D)±v/(B-' — 4AC;j' + 2(BD — 2AE).r+(D^— 4AF; + 4Am

Or, pour qu'une valeur, assignée à m, soit compatible avec des valeurs réelles de x et de y, il faut que, pour cette valeur de m, on puisse avoir, en choisissant x convenablement :

(B*— 4AG)a;*+2(BD — 2AE> + D'— 4AF+4Am>0. [3]

Distinguons trois cas :

1° (B^— 4AG) est uositif. Dans ce cas. guel aue soit m, Fine-

galité [3] est toujours possible ; car on peut toujours choisir pour X une infinité de valeurs telles, que le trinôme, qui forme le premier membre de Tinégalité, prenne le signe de son premier terme (269).

2° (B*— 4AG) est négatif. Dans ce cas, l'inégalité [3] est possible, si les racines du tnnome sont réelles; car en donnant à x des valeurs comprises entre ces racines, on rendra le Irinome de signe contraire à soif premier terme. Mais elle n'est possible qu'à cette condition : car, si les racines étaient imaginaires, le trinôme conserverait, pour toute valeur attribuée à x, le signe de son premier terme; il serait constamment négatif (2G8). Ainsi on doit, dans ce cas, choisir m de telle manière que les racines du trinôme soient réelles. Or, cette condition est exprimée (24G) par l'inégalité

(BD — 2AE)=^— (B«— 4AC)(D^— 4AF+4Am)>0. [4]

Comme cette inégalité est du premier degré en m, on en déduira (210) la limite de cette quantité : il y aura, par suite, un maximum ou un minimum , si cette limite est admissible.

Or, cette valeur limite de m annule le premier membre de l'inégalité [4] ; elle rend donc égales les racines du irinome [3]. Ce trinôme peut, en conséquence^ s'écrire : (B^ — 4AG)(a;— a;')^, en désignant par s^ la Tdletîr de ia raciiio double. Il en résulte que la valeur [2] de y devient, dans cette hypothôse,

{Bx-{-T))±(x—x')^h'—kMj

et, comme (B^— •4AC) est négatif, y n'est réel que pour x=af. Il faut donc donner à x cette valeur ; ce qui exige que y reçoive la valeur correspondante

Ces valeurs de x et de y sont admissibles : ce sont donc celles qui fournissent le maximum ou le minimum de m.

30 (B^— 4AG) = 0. Dans ce cas, l'inégalité [3] est du premier degré en x : quelle que soit la valeur attribuée à m, il est toujours possible de vérifier cette inégalité, en choisissant x convenablement. Il n'y a, par suite, ni maximum ni minimum.

Si, cependant, (BD — 2AE) était nul en même temps que (B'^— 4AG), l'inégalité [3] se réduirait à

D'-4AF4-4Am>0;

et l'on en déduirait une limite de m, savoir :