Corollaire. On tire de l'égalité [4] : loff'A ]o2:'B
logxV logB*
Ainsi, le rapport des logarithmes d'un même nombre, dans deux systèmes différents, est le même pour tous les nombres.
594. Module. Si, pour deux systèmes déterminés, on représente ce rapport constant par M, on a :
log'A=MlogA. [6]
Par conséquent, lorsqu'on connaît les logarithmes de tous les nombres dans un certain système, pour avoir les logarithmes dans un autre système, il faut multiplier les premiers par un nombre constant M. Ce nombre constant s'appelle le module du nouveau système par rapport au premier.
593. Base. Il résulte du théorème précédent, qu'une table de logarithmes étant construite, on pourra en construire une seconde, pourvu que l'on connaisse un seul des logarithmes du nouveau système. Car on tire de l'égalité [4] :
log'A = logAxlg|. [7]
Si donc on connaît log'B, pour avoir le nouveau logarithme de A, il suffira de multiplier log A par le rapport connu t-^t-..
Pour définir un système de logarithmes, on donne ordinairement le nombre qui a pour logarithme l'unité. Ce nombre se nomme la base du système.
La base du système vulgaire est 10.
59 î>. Calcul du logarithme d'un nombre dans un système QUELCONQUE. D'après ce qui précède, les tables de logarithmes vulgaires, calculées pour le cas où la base est 10, permettent de calculer le logarithme d'un nombre dans un système quelconque. Proposons-nous, par exemple, de calculer le logarithme de 7698, dans le système dont la hase est 12. On trouve, dans les tables de Callet, que, dans le système dont la base est 10,
log 7698 = 3,8863779, log 12 = 1,07918125.
PROGRESSIONS ET LOGARITflxMES. 307
Dans le système dont la base est 12 , on a :
log'76ô8 = a-, log'12 = l.
Donc (59S) : x = 3,8863779 X î;ô79T8Î25 '
ou 07 = 3,60122815.
597. Calcul de la base d'un système dans lequel on connaît LE LOGARITHME d'un NOMBRE. Proposons-nous, par exemple, de trouver la base du système, dans lequel le logarithme de 25 est 0,78321. On a, dans ce système, en désignant la base para;:
log'a;=l, log' 25 = 0,78321.
Mais, dans le système vulgaire, on a :
log 25 = 1,39794001,
Donc(39o): log a;=i^|^^ = 1,7848853,
et, par suite, x — 60,93759.
EXERCICES
I. Quelle est la raison q d'une progression par quotient de 11 termes, dont le premier terme est 10, et dont le dernier est 100? Quelle est la somme S de cette progression?
On trouve : 5 = 1,258925, 3=447,5910.
II. Quelle est la base x d'un système de logarithmes dans lequel 6 est le logarithme de 729 ?
On trouve : x =3.
III. Quelles sont les bases commensurables , telles que le logarithme de 20 soit commensurable ?
On trouve que la base est égale à 20'', p étant entier.
IV. Quelle est la base x du système dans lequel un nombre entier donné a est égal à son logarithme ? __
On trouve : ar= ya.
