Il Y A UN NOMBRE INFINI DE SYSTÈMES DE LOGARITHMES

Oii peut choisir à volonté deux progressions, l'une par différence et commençant par zéro, l'autre par quotient et commençant par 1; elles fourniront un système de logarithmes, qui jouira de toutes les propriétés démontrées (n°» 56o et suiv.). Ces systèmes sont donc en nombre infini. Ils sont liés les uns aux autres par une loi très-simple, qui résulte du théorème suivant.

592. Théorème. Le rapport des logarithmes de deux nombres est le même dans tous les systèmes.

En effet, soient A et B deux nombres quelconques; et soit —

la fraction, à termes entiers, qui, dans un certain système, représente le rapport de leurs logarithmes. Nous aurons :

logA m ,, , , . , „ r,T

^ = -; dou nlogA=r?îlogB. [1]

log B n ^ ° *-

Or cette dernière égalité équivaut à :

log A* = log B"»; d'où A*=B"». [2]

Mais, si l'on considère un autre système de logarithmes, dans lequel les logarithmes soient indiqués par la notation log', on pourra prendre, dans ce système, les logarithmes des deux membres de TégaUté [2], et l'on aura:

nlog'A = mlog'B, d'où |^ = -. [3]

° ° ' log B n '- ^

n •* 'oo'A log A r,T

Par suite : , — tû = t^- W

log B JogB

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Remarque. La démonstration précédente suppose, que le rapport des deux logarithmes considérés est commensurable. S'il n'en était pas ainsi, on pourrait en considérer deux autres, aussi peu différents qu'on voudrait des premiers, et qui rempliraient cette condition: le théorème s'y appliquant, quelque rapprochés qu'ils soient des deux logarithmes proposés, nous regardons, comme évident, qu'il s'applique également à ceux-ci. Alg. b. I^e Partie. 20

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