Problèmes. Ces formules servent à résoudre quelques

3i0 LIVRE IV.

problèmes, pour lesquels l'emploi des logarithmes est indispensable.

1° Que devient une somme donnée C, placée à un taux donné lOOr, 'pendant un temps donné? On emploie la formule [1] ou la formule [2], selon que le temps donné se compose d'un nombre exact n d'années, ou qu'il renferme, en outre, un nombre k de jours.

2"^ Quelle somme faut-il placer aujourd'hui, à un taux donné lOOr, pour obtenir une somme déterminée A, après un temps donné? On emploie encore l'une des formules [1] et [2] ; et l'on a, suivant les cas :

[3] ^=TTTW'' o« G= L.-—. [4]

^^ ' (l+r)»(l+ii)

3® Un capital donné G a été placé aujourd'hui; il a produit une somme donnée A, après un temps donné. Quel est le taux de V intérêt? Si le temps est un nombre entier d'années, on tire de la formule [1] :

Mais, si le temps se compose de n années et de A; jours, il faut employer l'équation [2], qui est du(n+ 1)*"" degré par rapport à r, et dont la résolution appartient à l'algèbre supérieure. On peut, cependant, par quelques tâtonnements convenablement dirigés, obtenir promptement une valeur approchée du taux. On remarque, en effet, que, d'après la formule.

le capital A augmente avec le taux r, et diminue avec lui. Si donc on donne à r une première valeur arbitraire r', et qu'on calcule, par logarithmes, la valeur du second membre, on trouvera une valeur A', plus grande que A, si r' est trop grand, et plus petite que A, si r' est trop petit. En comparant la valeur trouvée A' avec la valeur donnée A, on saura donc, si r' est plus grand ou plus petit que le taxix inconnu. On choisira, d'après cela, une autre valeur pour r, laquelle donnera lieu à un nouveau calcul et à une nouvelle comparaison; et, à l'aide de quel-

ques essais, on resserrera aisément r entre denx limites, qui en fourniront promptement une valeur approchée.

4° Pendant combien de temps faut-il placer un capital donné G, pour qu'il produise une somme déterminée À, à un taux donné lOOr? Comme on ne sait pas si le temps inconnu est ou n'est pas composé d'un nombre entier d'années, on n'a pas le droit d'employer la formule [1], qui a été construite pour le cas où n est entier. Cependant, si l'on en fait usage, on a :

d'où l'on tire, en prenant les logarithmes des deux membres, et en divisant ensuite par log (1 + r) :

lo,irA--lo2^G r^,

n=-7 — TT-i—T-. [6]

log(l-l-r)

Si le quotient de (logA — logC) par log (1 +r) est un nombre entier, il est évidemment le nombre d'années cherché; car la formule [6] entraîne la formule [1]. Si le quotient n'est pas entier, il faut en conclure que le temps inconnu n'est pas un nombre entier d'années. Cependant on peut prouver que, dans ce cas, la partie entière du quotient est la partie entière du temps inconnu. Car désignons parp et (p+ 1) les deux nombres entiers consécutifs qui comprennent la fraction [6]; nous aurons :

^lop:A — IostG ^ , , ^<log(l+r)<^+'' d'où l'on lire :

plog(l + r)<logA~logG<(p+l)log(l+r),

ou log(l+rr<log^<log(l + r)''-^'.

De là, revenant aux nombres, on conclut :

{^ + rY<^<{^ + rr\ ou C(l+r)''<A<G(l+r)''^ [7]

inégalités qui prouvent le théorème énoncé.

Si Ton veut maintenant connaître le nombre h de jours qui complètent le temps cherché, on remarquera que la formule [2]^

que l'on aurait dû appliquer dans ce cas, donne, en y remplaçant n par p :

logA=logG+plog(l+r)+log(l + ^) :

^°^* logd+r) -P-^ log(l + r) •

Ovp est le plus grand nombre entier contenu dans ,^ xT.^^v «

Si donc on désigne par R le reste de cette division, l'égalité précédente pourra s'écrire :

^■^log(l+r)-^^ log(i + r) '

donc Iog(^l + ^Wa. [8]

On connaîtra doncle logarithme de (i + -t")> et il sera facile

d'en tirer fl + — j , et, par suite, k. Donnons maintenant quelques applications numériques.

4:02. Applications numériques. Exemple I. Calculer ce que devient un capital de 8000 francs, au bout de 39 ans. au taux de 4 - powr 100 par an.

Formule [1] : log A = log G + n log (1 +r).

log C=Iog 8000 = = 3;9030900

log (H-r)= log (1,045) = 0,0191162904 nlog (H-r)=39log (1,045) = =0,7455353

log A= =4,6486253;

d'où A=44527S19.

Exemple II. Si Von avait placé 1 centime à 5 pour 100, au commencement de l'ère chrétienne, que serait-il devenu, au commencement de Vannée 1863, c'està-dire pendant \8G2 ans?

Formule [1] : log A =log C+ n log (1 +r).

log G = log (0,01) = =2

log (l + r) rr:log (1,05) = 0,02118929907 nlog (l+r)= 1862 log (1,05) = • = 39,3234475

log A = =37 ,3234475 ;

d'où: A = 21059472 X 10=" francs (approximativement),

nombre de 38 chiffres.

Afin de représenter cette somme énorme sous une forme plus appréciable,

calculons les dimensions d'une sphère en or, qui équivaut à la somme indiquée.

31000 La densité de Tor est 19,5, et le prix du kilogramme d'or est '—-r — de franc.

Désignons, pour cela, par x le rayon de la sphère en mètres ; son volume sera

4 Tt x^ 4 't x^

— -—; son poids sera donc —r— X 19500 kilogrammes; et, par suite, sa va-