rr
leur en francs sera -^ — X 19500 X — r — . On aura donc:
et, par suite : x^ =
4 TîX 19500X31000
log 27 = 1,43136376
log A =37,32344749
CMog4- 10 = ~1,39794C01
CMogT: — 10 = 1,50285013
C« log 1P500— 10 = 5,70996539
O log 31000 — 10 = F, 50863831
logx' = 28,87420509, log X = 9,6247350; d*où : «=4214392 X lœ mètres.
Ainsi le rayon de la sphère vaut à peu près 4214392 kilomètres ; et son volume serait, par conséquent/plus de 290 millions de fois le volume de la terre.
Exemple III. Quelle est la valeur actuelle d'une somme de 7220 fr. payable dans 33 ans^ l'intérêt étant à 5 pour 100 par an?
Formule [3] : log G = log A— n log (1 -}-r).
log A -^ log 7220 = = 3,85853720
log (l +r) = log (1,05) = 0,021189299 n log (1 + r) = 33 log (1,05) = = 0 ,69924687
logG= = 3,15929033;
d'où G = 1443^08.
Et cette somme deviendra, par accumulation des intérêts à 5 pour 100, et pendant 33 ans, 7220 fr.
Exemple IV. Une somme de 28895 fr. a été placée, ilya 73 ans : elle a produit 250000 fr. Quel était le taux de l'intérêt?
Formule [5] : log (1 + r) =^ logJ^-logC^
log A = log 2500G0 = 5 , 39794ô.ft log G = log 28895 = 4,4608227
log A— loge = 0,9371173;
log (1 + r) =0,01283722;
tfo-a : 1+r =1,03000.
Le taux de l'intérêt est donc 3 pour 100.
ExBMPLi: V. En combien de temps un capital de 7700 fr. devie7it-il 42850 fr., Cintérêt étant à 4 pour 100 par an ?
T- 1 rci lo^ A — lo? G
Formule [61 : n = — ^ — -—, — r—
^ ' log(l + r)
log A = log 42850 = 4,6319508 log G = log 7700 = 3,8864907
log A — loge =0,7454601, log (1 +r) = log (1,04) = 0,0170333.
Donc n est la partie entière du quotient . On trouve :
U,Ui (udoo
n=43ans, et R= 0,0130282.
Donc, formule [8] : log ^ + yW 0,0130282.
Par suite : 1 + Ç-= 1,030453.
Delà: 1 = 0,030453, et it = "~f ^"^ = 272.
Ainsi le temps cherché est 43 ans, 278 jours.
§ II. Des annuités..
403. DÉFINITION. Une personne emprunte aujourd'hui une somme C, pour n années, au taux r pour un franc : pour s'acquitter, elle paye, à la fin de chaque année, une somme déterminée a, calculée de manière qu'après n payements égaux à a, elle atout remboursé, capital et intérêts composés. La somme a, qu'elle donne ainsi annuellement, se nomme annuité,
405. Formule générale des annuités. Proposons-nous de trouver la formule qui lie le capital G, l'annuité a, le taux r et la durée n du prêt.
Premîère méthode. Si l'emprunteur attendait, pour opérer le remboursement de sa dette, la fin de la n" année, il devrait, à
celte époque (500), C (I -j-^)*- ^^is il paye, à la fin delà première année, une première somme a; en avançant ainsi de Çn — 1) années ce remboursement partiel, il se libère d'une somme dont la valeur, dans le comple final, doit être égale à a (1 +?')*-* ; car elle aurait porté intérêt, pendant (n— 1) années, entre ses mains, s'il l'avait gardée. De même la somme a, payée à la fln de la seconde année, équivaut à une somme a (1 +r)"-2, payée à la fin des n années. On verra, de la même manière, que la somme a, payée à la fin de l'avant-dernière année, doit être comptée pour une valeur égale à a (1 +r) ; et que la somme «, payée à la fin de la n" année, entre dans le compte final pour sa valeur a. On doit donc avoir l'équation :
Gomme le second membre, étant renversé, est la somme des n termes d'une progression géométrique croissante, dont le premier terme est a, et la raison (1 + »^), on appUque la formule [7] du n»547, et l'on a:
ou, en chassant le dénominateur ?%
«{(1 + 0"— M = Cr(l-|-r)\ [1]
Telle est la formule générale des annuités.
403. Deuxième MÉTHODE. On peut obtenir cette formule d'une autre manière. L'emprunteur, recevant aujourd'hui une somma C, doit, à la fin de la première année, G (1 +r); comme il rembourse alors une somme a, sa dette se réduit à G (1 +r) — a. \ la fin de la seconde année, cette dette s'est accrue des intérêts d'un ah; elle est donc devenue iC(l+r) — a] (1 + r), ou G(l+r)^ — c^('+Oi lïiciis alors il rembourse une nouvelle somme a; ce qui réduit la dette à G (1 + r)^ — a {l-\-r) — a. Il est évident, qu'à la fin de la troisième année, cette dette qui s'est augmentée des intérêts d'un an, mais qui s'est diminuée d'une nouvelle annuité a, est égale à G (1+?^)^— a(l-|-r)^~a(l-{-rj — a, Et> à la fin de la iv^" année, elle est égale à
Or, à celte époque, elle d^it être nulle; il faut donc que Texpres-
sion précédente soit égale à zéro ; et, par suite, que Ton ait l'équation :
comme dans la première méthode.
406, Remarque. On peut enfin arriver à la formule [1], sans avoir à sommer une progression par quotient. Supposons, en
effet, qu'un individu prête à un autre une somme -» pour n années. Le débiteur devra payer, chaque année, l'intérêt simple - X r ou a; et, à la fin, il devra encore la somme empruntée
-. Or, concevons que cet intérêt soit versé, au moment oii il est
du, entre les mains d'une personne tierce, chargée de le faire valoir, cette dernière recevra ainsi, par annuités, n sommes égales ha; ei elle aura entre les mains, après les n années, tout
ce dont le capital - s'est bonifié pendant ce temps. Or cette augmentation du capital est-(I +r)* . Donc cette expression
représente le total des annuités remboursées; et comme, par hypothèse, ces remboursements doivent acquitter la dette, on doit avoir :
formule qui ne diffère pas de l'équation [1].
407. Problèmes. La formule [l] sert à résoudre quatre problèmes différents, suivant que l'on prend pour inconnue l'une ou Tautre des quatre lettres qui y entrent.
1<* Quelle annuité a faut-il payer, à la fin de chaque année, pour amortir j enn années, un emprunt donné G, et ses intérêts composés, le taux étant r pour 1 franc? La formule [l] donne :
Crjl+rY Pour appliquer celte formule, on calcule d'abord (1+r)* par
logarithmes; on en retranche l'unité, ce qui donne le dénominateur. Puis, à l'aide de la formule :
loga=logGr + nlog(l+r)— logj (1+r)» — Ij,
on calcule log a, el, par suite, a.
2° Quelle somme G peut-on emprunter aujourd'huiy en offrant de la rembourser, en n années, par n annuités égales à a, le taux étant Y pour un franc? La formule [1] donne :
Même observation que ci-dessus pour le calcul par logarithmes. S*" On emprunte aujourdliui une somme G, au taux v: on se propose de la rembourser , au moyen d'annuités égales à a; pendant quel temps devra-t-on payer l'annuité? La formule [1] donne, en la résolvant par rapport à (1 -]- r)'' :
d'où l'on conclut :
Le problème n'est possible, que lorsque {a — Gr) est positif ; car les nombres négatifs n'ont pas de logarithmes réels. On voit, d'ailleurs, a priori, qu'il doit en être ainsi; car Cr représente rinlérét simple du capital prêté ; et il est évident que l'annuité a doit être supérieure à cet intérêt, pour qu'on arrive à rembourser la dette.
Si la formule [4] donne pour n un nombre entier, ce nombre résoudra la question. Mais si la division ne se fait pas exactement, le problème est impossible. Cependant, on peut prouver que, dans ce cas, si l'on désigne par p e« (p + 1) les deux nombres entiers consécutifs qui comprennent la fraction [4], un nombre p d'annuités n'acquitterait pas la dette, tandis qu'une annuité de plus serait plus que suffisante. En effet, puisque l'on a ;
^lo?«— log fa— Gr) ^ , ,
{l+ry
-Gr*
loga-
-log
(a-Gr)
on aura aussi :
plog (l + r)<loga — log (a— CrXCp + l) log (1+r),
ou log (l +ry <log ^^< log (1 + ry^ ;
et, par suite, (1 +r)p < — ^<(i + r-)P+i.
On peut encore chasser le dénoinânateur, puisg-u'il est positif; ei il vient: (a— Gr) (1 -f r)^<a <(a — Gr) (l+r)^^-* ; d'où l'on tire aisément :
iKid^j!nL!<G(l+r)^ îilil+ip=ii>c(i+.r.
Ces deux inégalités prouvent la proposition énoncée.
On appliquera donc, dans tous les cas, la formule [4] ; elle donnera le nombre p des annuités à payer; s'il y a un reste, on
calculera facilement la différence, G (1 +r)p — ^— — • ^^ ~ — -,
due au commencement de la (p + 1)™' année; et l'on en fera l'objet d'un payement spécial, ou d'une convention particulière.
4'' On emprunte aujourd'hui une somme G, et Von se propose de la rembourser, avec ses intérêts composés, en payant, pendant n années une annuité a ; quel est le taux de V intérêt ?
La formule [1] est, par rapport à r, une équation du (n-f- 1)"' degré, qu'on ne peut résoudre qu'à l'aide de procédés particuliers. On arrive promptement à une valeur approchée de r, en s'appuyant sur la remarque suivante.
Lorsque G eî a sont donnés, le nombre n des annuités augmente ou diminue, quand le taux r augmente ou diminue lui-même. Il suffit, en effet, pour s'en assurer, de reprendre la seconde méthode (40o), qui fournit la formule générale des annuités; on reconnaît que la dette, à la fin de la première année, G (1 +r) — a, est d'autant plus grande que r est plus grand ; qu'il en est de même à la fin de chaque année, puisqu'on multiphe chaque fois la dette précédente par (l+r), et qu'on diminue ensuite le produit d'une quantité fixe a. Par conséquent, si n payements suffisent pour annuler la dette, lorsque le taux a une certaine valeur r, ils ne suffiront plus, lorsque le taux sera plus élevé.
PROGRESSIONS ET LOGARITHMES. Zl%
Cela posé^ reprenons la formule [1] sous la forme :
__ log a — Iqo: (g ~ Gr) "- log(l+r) ' W
formule dans laquelle r est Tinconnue. Si Ton donne arbitrairement à r une valeur r', et que cette valeur soit moindre que celle que Ton cherche, la valeur correspondante n' de la fraction [4] sera moindre que la valeur donnée n; et au contraire,?!' sera plus grand quen, sir' est plus grand que r. On saura donc, en comparant n' à n, si la valeur, attribuée arbitrairement à r, est trop forte ou trop faible ; et Ton pourra, par suite, à Taide de quelques tâtonnements convenablement dirigés, obtenir rapidement une valeur suffisamment approchée de r.
408. Applications numériques. Exemple I. Quelle est l'annuité qui amortit, en 51 ans, une somme de 34 600 fr., l'intérêt étant à ^t pour 100 par an?
Formule [2] : log a = log Cr -f n log (1 + r) — log { (1 + r)«— 1 ] , log(l +r) =log (1,04) = 0,0170333393 n log (I + r) = 51 log (1,04) = 0,8687003; d'où: CH-r)='=: 7.390950.
Cela posé :
log Cr=:log 1384 = 3,1411361
w log (1 + r) = = 0, 8687003
log { (1 + r)» — 1 ] = log 6,39095 = 0,8055654
C log { (1 + r)»-l ] — 10 =^ = 1 , 1944346
loga= = 3,2042710.
Donc : 3=1600^556.
Exemple II. On plagie, au commencement de chaque année, une somme de 50 fr. au taux de 6 pour 100 : quelle somme x devra-t-on recevoir au bout de 24 an* ?
Formule : x = — ^-^^ ^ -^ .
log (1 +r) = log (1 ,06) = 0,0253058653 (n+ 1) log (1 +r) =25 log (1,06) = 0,6326466; d'où: (1 + ?•)"+'= 4,29187;
or: l+r=l,06
âoac : (1 + /)"+'- (1 +»") =3,23187.
Cela posé :
log a = log 50 = 1 ,6989700
log { (1 +r)''+'-- (1 + r) ) = log 3,2:5187 = 0,5094539
C log r— 10 =G' log 0,06— 10 = 1 ,2218488
log x==z 3,4302727 Donc ! x= 2693',225.
Exemple III. Quelle somme C peut-on emprunter aujourd'hui, en offrant de p lycr, pendant 37 ans, une annuité de 825 fr. le taux étant d 4 r V'^^''^ 100?
Formule [3] :
loge = log a + log ( (] + r)"— 1 ] -log (1 + r)- — log r,
log (1 + r) = log (1,045) = 0,0191 1629
n log (1 + r) = 37 log {1 ,045) — 0,7073027 ;
d'où: (l + r)»=: 5,09686.
Cela posé : log a = log 825 = 2,9164540
log { (1 + r)" — 1 } = log 4,09686 = 0,6124512
O log (l+r)" — 10 = =7,2926973
C log r— 10 = C log 0,045 — 10 =:^ 1,3467875
log C= 4,1683900; d'où C = 14736^35.
Exemple IV. En combien de temps une somme de 260 000 fr. sera-t-eîle amortie par une annuité de lOUOO fr., au taux de 3 - pour 100?
Formule [4] :
Donc
log g — log (n — Cr) ^- log(l+r) '
log a= log 10000 = 4 log (a - Cr) = log 1550 = 3, 1903317
log a — log (a — Cr) = 0,8096683
log (1 + r) = log (1 ,0325) = 0,0138901.
On devra donc payer 58 annuités de 10000 fr. Mais, comme la division laisse un reste, la somme donnée ne sera pas amortie entièrement. Pour terminer le compte, il faut calculer, d'une part, ce qui est dû au bout de 58 ans, c'est-àdire «=260000 X (1,0325)"; calculer, de l'autre, ce qui a été payé par les
annuités, cest-à-dire|) = olm:^ ' ^^ prendre la difTércnce
log 260000 = 5,41497335 log 10000 = 4
581og (1,03^6) = 0,805623't8 |iog 5,39180'i - 0,7317341
log 5 = 0,22059683; C log 0,0325— 10 = 1,4881166
d*0Ù: «=1661869'. log p = 6,2198507;
Déplus (1,0325)" = 6,391804. p = 1659017'.
Donc la somme qui reste due, (s — p) = 2852 fr.
Exemple V. On emprunte aujourd'hui une somme de 35 000 fr. ; on la rem^ bourse, ainsi que ses intérêts composés, par 52 annuités de 1600 fr. chacune. Quel est le taux de l'intérêt ?
__ log a — log {a — Cr) **"" logd +r) •
Formule [4] :
Supposons d'abord : r=:0,04; il en résulte : a — Cr= 200.
log a = log 1 600 = 3,204 1 200 log (a-'Cr)= log 200 = 2,3010300
loga— log (a-Cr) = 0,9030900^ log (1 4-r)=log (1,04) = 0,0170333.
En divisant 0,9030900 par 0,0170333, on trouve pour quotient 53, nombre plus grand que .52. Donc le taux est moindre que 4.
Supposons r = 0,035; alors a— Cr=375.
log a~log 1600 = 3,2041200 log(a — Cr)'-=log 375 = 2,5740313
log a— log (a— Cr) = 0,6300887; log (1 +r) = log (1,035) = 0,0149403.
En divisant 0,6300887 par 0,0149403, on trouve pour quotient 42, nombre beaucoup trop faible. Donc le taux est beaucoup plus voisin de 4 que de 3 5. Supposons donc r =0,039; 'alorsa— Cr= 235.
log a— log 1600 = 3,2041200 log {a — Cr) = log 235 = 2,37 10679
log a — log (a — Cr) = 0,833052 1 ; log (1 +r) = log (1,039) = 0,0166155.
Le quotient de 0,8330521 par 0,0166155 est .50, nombre trop faible : donc le taux est supérieur à 3,90.
Supposons r =0,0395; alors a— Cr = 217,50,
log a— log 1600 = 3,2041200 * log (a— Cr)= log 217,50 = 2,3374.593
log a —log (a — Cr) ^-. 0,8666607 ; log (1+r) =log (1,0395) — 0,0168245.
Le quotient de 0,8666607 par 0,0168245 donne 51 Le taux est donc supérieur Alg. B. l^ Partie. 21
à 3^95. Il est donc compris entre 3^,95 et 4. On le connaît ainsi à 0',05 près ; et l'on peut aisément pousser plus loin l'approximation.
409. Cas des rentes perpétuelles. La valeur de l'annuité a, destinée à acquitter un emprunt C, dans un temps donné n, diminue quand n augmente : car, en divisant les deux termes du second membre par ( 1 + r)", la formule [2] peut s'écrire :
Cr
et Ton voit que, plus n est grand, plus , ., est petit ; plus le
dénominateur est grand, et plus la valeur de a est petite. Si donc l'époque du remboursement s'éloigne indéfiniment, c'est-à-dire, si n grandit indéfiniment, la valeur de a, toujours supérieure à Cr, puisque le dénominateur est moindre que 1, diminue, et a pour limite Cr, c'est-à-dire l'intérêt simple de la somme prêtée. C'est le cas de la rente perpétuelle.
EXERCICES
I. Un capital de 8500 francs est placé à 4 r pour 100 : que devient-il au bout
de 41 ans?
On trouve 51663% 86.
II. Une population de 200000 âmes augmente par an de 1 - pour 100 : à combien montera-t-elle dans un siècle ?
On trouve 692681.
III. Combien de temps un capital de 3500 francs doit-il être placé, à 5 pour 100, pour s'élever à la même somme que 4300 francs, placés à 4 pour 100, pendant 18 ans?
On trouve 18''"%75J'"'".
IV. Deux capitaux sont placés à intérêts composés : l'un de 38000 francs, à
4 -pour 100; l'autre de 99398 francs, à 3 - pour 100; en combien de temps
s'élèveront-ils à la même somme?
On trouve 100 ans.
V. Quelle est la valeur actuelle d'une rente anpuelle de 1500 francs, payable pendant 36 ans, l'intérôt étant à 5 pour 100, et le premier payement devant se faire dans un an?
PROGRESSIONS ET LOGABITHMES. 323
1500X1 (^OÔp^-JJ.
La formule est : A = (i^05)^<^xu,Ud '
et l'on trouve 24820S32.
VI. On veut payer une dette de 25000 francs, en 7 payements annuels égaux, l'intérêt étant à 4 pour 100. Quelle doit être la valeur de Tannuilé?
On trouve 4165S 16.
VII. Quelle est l'annuité qui^mortit en 48 ans, un emprunt de 36000 francs,
au taux de 3 7 pour 100 ?
On trouve 1628', 14.
VIII. On veut acheter une rente de 3000 francs pour 91650 francs. Pour combien d'années, à raison de 3 pour 100, doit-on concéder la rente?
On trouve 84 ans.
IX. Quelle est la valeur actuelle, au taux de 5 pour 100, de 24 annuités, dont la première est de 1000 francs, payable dans un an, et qui croissent en progression géométrique dont la raison est — •? Calculer le montant de la dernière annuité.
La formule est : S = t-t7".X — »
dans laquelle : a = 1000, q = j^y r=0,05, n = 24.
On trouve : S=50817S41.
La dernière annuité est de 8954^30.
X. Un ouvrier dépose, au commencement de chaque semaine, une somme a à la caisse d'épargne, pendant n années consécutives. Quel est, après ce temps, le montant M de son livret, le taux étant r pour 1 franc, et les intérêts se capitalisant à la fin de chaque année?
/-c , 53r\ (l-fr)"-!
On trouve : M =a I o? -|- — I •
XI. Une personne verse, dans une banque de prévoyance, une somme v, au commencement de chaque année, pendant n années consécutives. On demande quelle somme a elle doit recevoir, au commencement de chaque année, pendant les 2n années suivantes, pour être entièrement remboursée de ses avances.
On trouve :
XII. Les conditions étant les mêmes que dans le problème précédent, quel doit être le nombre n, pour que la somme a soit au moins égale à k fois la gomme tJ? .
324 LIVUE lY. — PROGKESSIOiNS ET LOGAUITHMES.
On trouve la condition :
d'où l'on déduit une limite inférieure pour n.
