CHAPITRE XXI

TIUSORËME DE DESCAETES.

299. Le but de ce chapitre est la démonstration d'un tliéorème célèbre qui permet d'assigner à la seule inspection d'une équation algébrique, une limite supérieure du nombre des racines positives qu'elle peut avoir.

La démonstration de ce théorème repose sur un lemme que nous établirons d'abord.

Lemme. Si l'on multiplie par x — a un polynôme entier et rationnel ordonné^ suivant les puissances décroissantes de x, les coefficients du produit, considérés à partir du premier, présentent au moins un changement de signe de plus que ceux du multiplicande. On suppose, bien entendu, dans l'énoncé précédent, que a désigne un nombre positif.

Soit f(x) le multiplicande considéré. Supposons, pour fixer les idées, que son premier terme ait un coefficient positif; décomposons ce polynôme en groupes de termes, dans chacun desquels tous les coeflficients aient le même signe. Le premier groupe se compose du premier terme et de tous les termes positifs qui le suivent sans interruption ; le second groupe commencera au premier terme négatif, et comprendra tous les termes négatifs compris entre celui-là et le premier des termes positifs qui viennent après ; ce terme sera le premier du troisième groupe , et ainsi de suite : il est bien entendu que chaque groupe peut ne contenir qu'un seul terme. Écrivons le premier terme de chaque groupe

Aaf'++...—1fûf ...H-Qa:«-f-H...— Raf...±Ua?~±±...±V,

les termes que l'on n'écrit pas étant tous de même signe que le premier terme écrit à leur gauche, et qui commence le

320 THÉORÈME DE DKSCARTESh

groupe auquel ils appartiennent; il est bon de remarquer que Ldus les termes écrits servent de commencement à un groupe à Texception du terme ±V, qui termine, au contraire, le groupe auquel il appartient.

Multiplions, actuellement, le polynôme ainsi écrit par le multiplicateur a; — a, et attachons-nous seulement à former, dans le produit, les termes en a?"^*, x^\ ic«+*, a:*^*, ...«^*, et, en outre, le dernier terme qpVa.

On verra de suite :

Que le coefTicient du terme en x"*+* est positif; Que le coerficienl du terme en x^^ est négatif; Que le coefficient du terme en x^^ est positif;

Que le coefficient du terme en x"^^ a le signe ±; c'est-à-dire le même signe que celui du terme en x"* dans le multiplicande.

Le terme en a:"^*, dans le produit,'provient, en effet , du produit de Aa?* par a?.

Le terme en x^\ provient du produit — Pa5*+* de — Pa?p par a?, et du produit par — «, du terme qui le précède immédiatement; or, ce terme ayant, d'après nos conventions, un coefficient positif, son produit par — a aura un coefficient négatif qui , ajouté à — P» coefficient de — Px^\ donnera nécessairement une somme négative. Le terme en a?'*^, provient du produit Qa?«+* de -j- Qafl par a?, et du produit par — a, dii terme qui le précède immédiatement; or, ce terme ayant, d'après nos conventions, un coefficient négatif, son produit par — a aura un coefficient positif qui, réuni à +Q» coefficient de -|-Qa?«+*, donneira nécessairement une somme positive.

La démonstration est la rnôme pour les termes suivants.

Ajoutons que le dernier terme du produit, provenant sans réduction du produit de ±:V par — a, aura nécessairement le signe qz, en sorte que le produit peut s'écrire

[2] Aa?«+»...— P'a;P+*...-}-Q'a?«+^..— R'ar+*...±UV+«...qiVa;

P', Q', R', U',... désignant des nombres positifs, et les termes non écrits ayant un signe incertain.

THiOEÈMI DE DKSGARTBS. 321

Or, à rinspectioa de ce produit [2], on voit qu'il a au moins une variation de plus que le multiplicande [1]. En effet :

De Aaf^* à — P'af+*, nous avons au moins une variatioué et ' il n'y en a qu'une dans la partie correspondante du multiplicande.

De — For*^* à +û'aj«^S nous avons au moins une variation, et il n'y en a qu'une dans la partie correspondante du multiplicande.

Nous continuerons le même raisonnement jusqu'au terme ±:U'a?'*+S et nous verrons qu'il y a, jusqu'à ce terme, autant de variations de signe au moins dans le produit, qu'il y en a en tout dans le multiplicande. Mais après le terme ±:U'x'*+S le produit présente encore au moins une variation, puisque ce terme n'a pas le même signe que le dernier terme :;=¥«, et, par conséquent, il y a dani> le produit au moins une variation de. plus que dans le multiplicande. C'est précisément ce qu'il fallait démontrer.

500. Supposons actuellement que l'on considère une équation algébrique

et soit f{x) le produit des facteurs simples qui répondent aux racines négatives ou imaginaires de cette équation. De telle sorte, qu'en nommant a, p, y,... les racines positives, on ait

D'après le lemme précédent, le produit f{x)(x—(x) admet au moins une variation de plus que f(x) : le produit fix){x—oi)ix—p)^ une au moins de plus que le précédent, et, par suite, deux de plus que f(x); f{x)(x—a)(x — ^){X'-'y), en admet au moins trois de plus , et ainsi de suite ; et , par conséquent , Ibrâ même que f{x) aurait tous les termes de même signe, le produit ç(a:) a autant de variations, au moins, qu'il y a de racines «, p, y».-.-

Si toutes les racines de <p(;r) = o étaient positives, on supposerait fx) = l^ et la conclusion n'en subsisterait pas moins.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Une équation algébrique

(p(vr) = 0

322 TOÉORBMB DE DESCifettô.

dont le premier membre est une fànction rationnelle et entière de X y ne peut pas avoir plus de racines positives qu'il n'y a de variations de signes dans les coefficients de f {x%