Soit

[I] . 9(ar)=0

une équation algébrique. Si — « désigne une racine négative de celte équation , on aura

<p(— a) = 0; et , par suite , a? = -{~ ^ ^^^ racine de l'équation

obtenue en changeant dans la proposée a? en — x. Cette équation [i] admet donc pour racines positives les racines négatives de Téquation [1] ; et , par suite , en lui appliquant le théorème de Descartés , on aura une limite du nombre possible de ces racines- négatives.

502. Le théorème de Descartes fournit une limite supérieure du nombre des racines positives ou négatives que peut avoir une équation. Mais il arrive souvent que cette limite ne soit pas atteinte, et -que le nombre des racines positives, par exemple, soit moindre que le nombre des variations du premier membre.

On peut démontrer seulement que si ces deux nombres sont différents , leur différence est toujours un nombre pair.

En d'autres termes, si une équation a un nombre pair de variations, elle a aussi un nombre pair de racines positives, et, si elle a un nombre impair de variations, elle a un nombre impair de racines positives.

Remaïquons, pour le prouver, qu'une équation qui a un nombre pair de variations, a évidemment son derniâr terme positif; par suite, en faisant œ==0 et â7=oo , on aura des résultats de même signe, et le nombre des racines positives est (298) pair. Si le nombre des variations est impair, le dernier terme est négatif; a?=0, substitué dans le premier membre, donne donc un résultat négatif; x=qo donne toujours (285) un résultat positif; et, par suite, (298) entre 0 et oo , il y a un nombre impair de racines positives.

THÉORÈME DS DfiSCÀRTBS. 323

303. Il arrive souvent que l'application de la règle de Descartes rende certaine Tcxistence de racines imaginaires. Si, en effet, le nombre possible de racines positives, ajouté au nombre possible de racines négatives, forme une sounne moindre que le degré de Téquation , il faut bien qu'il y ait des racines imaginaires.

Soit, par exemple, l'équation

son premier membre n'a qu'une variation; elle ne peut donc avoir qu'une seule racine positive.

Si on change x en —a?, la transformée est

qui n'a aussi qu'une variation, et qui ne peut avoir, par suite, qu'une racine positive. La proposée ne peut donc avoir que deux racines réelles, et elle a, par conséquent, au moins six racines imaginaires.

On peut remarquer que les deux racines que la règle de Descartes indique comme possibles, existent certainement dans ce cas ; l'excès du nombre des variations sur le nombre des racines positives étant, en effet, pair (502), il faut bien qu'il soit 0, dans le cas où il n'y a qu'une seule variation.

RÉSUME

299. But de ce chapitre. — Si l'on multiplie un polynôme entier en X par x — a, a étant positif , le produit a au moins une variation de plus que le multiplicande. — 300. Le nombre des variations d'une équation est au moinâ égal au nombre des racines positives. — 301. Limite du nombre des racines négatives. — 302. L'excès du nombre des variations sur le nombre des racines positives est un nombre pair. — 303. Le théorème de Descartes apprend quelquefois qu'il existe des racines imaginaires.

EXERCICES