Lorsque des quantités

«0 th «1 ..• «n

sont données, il n'y a aucune difficulté à former, d'après ce qui précède, leurs différences successives jusqu'à la n"« inclusivement ; nous ne nous bornerons pas cependant aux indications qui permettent d'effectuer ces calculs, et nous donnerons la formule qui en exprime le résultat général.

950 irOTlOlVS SUR LA TUÉORII DBS DIFFERBfCKS.

On a, (f après les définitions,

A'Wo=^*Wi— ^X=(W3--2t^+î'iM«r^2t/i-f-«i)=%--3«î+3«i--Wo-

Sans aller plus loin, on peut prévoir la loi suivante : la différence de rang p se forme en multipliant «p, «p i ... w© P^r 'es coefficients du développement (x — af.

Pour montrer que cette loi est générale, nous allons faire voir qu'en 1 admettant vraie pour une différence d'un certain ordre, elle est vraie, par cela même, pour la différence d'ordre immédiatement supérieure.

Soit donc

Cette formule , donnant la différence p^ du premier terme d*une suite quelconque, nous pouvons l'appliquer au calcul de SPUi, en considérant t^i conune premier terme de la suite

Ui Ut Vit , ,Up Up+i • • • II,»,

et l'on aura, par suite, en vertu de la même formule,

[2] APî/i=Wp+i— pwp+ ^^^2"^^"*"^ — «»-i+-» ou, en retranchant les deux égalités [i] et [2],

(P'Pz±Jt^4 P:PZ±\u 4-

et comme (215) la somme des deux coefficients successifs du développement d*un binomé forme un coefficient du développement de la puissance immédiatement supérieure, on peut écrire

c*est précisément ce qu'il fedlait démontrer.