NOTIONS SUR LA TH60RII DBS DIFFERENCES

524. Réciproquement , si Ton donne Uq et les n premières lifférences, on peut calculer les termes successifs

Wl, lit, ... «n,

nous donnerons la formule générale à laquelle conduit ce calcul.

On a

t^i=tli + Awi = Wo + ^Wo + M + ^X = ^o + 2AWo + ^X>

=«o+3Atto + 3^X + ^X>

on aperçoit immédiatement la loi suivante.

Le terme de rang p+1, «p, ^e forme en multipliant les différences successives w^» ^^o> ^*^o» A'w^... A^Mo, par les coefficients de {x-\-af.

Pour démontrer que cette loi est générale, nous prouverons encore qu'en Tadmettant vraie pour un terme de certain ordre, elle est vraie, par cela même , pour un terme immédiatement suivant.

Supposons donc que Ton ait prouvé la formule

[1] n,=u,^^p^u,+^^^^s^Ui•]-...+^^u,.

Si nous appliquons la même formule à la série

elle nous donnera àup, en fonction de ^u^ et de ses p premières différences, qui sont A%, AX • . • A^+X î on aura donc

[2] At«^= AWo-(-MX +^Ti^ '^'^•+ '" + ^^'^''

et, en ajoutant les formules [1] et [2], il vient

et comme la somme de deux coefficients consécutifs de la

352 NOTIONS SUR LA THKORIS DES DIFFSESMGSS.

puissance p d'un binôme est un coefficient de la puissance p+I , celte équation peut s'écrire

ce qui est précisément le résultat qu'il fallait obtenir.

Différences des polynômes.

328. Nous avons reconnu (321) que la suite des carrés des nombres naturels a ses différences secondes, et la suite des cubes ses dififérencês troisièmes égales à une constante. Cette proposition s'étend aux différences quatrièmes de la suite des quatrièmes puissances, aux différences cinquièmes de la suite des cinquièmes puissances, etc. Mais, sans nous arrêter à ces propositions, nous démontrerons le théorème suivant, dont elles sont évidemment des cas particuliers.

Théobème. Si y dans un polynôme en a ^ de degré m, on substitue une suite de nombres en progression arithmétique^ les différences m*"*' des résultats obtenus sont constantes.

Soit, en effet, le polynôme

[Il y=F(â:)=Aj:~+Aia?"^» + A,a;-^4-...+A«-,a:+A«. • Supposons que Ton substitue à x les valeurs successives

désignons par y,, yi, y„ ..., y,

les valeurs correspondantes de y. Toutes ces valeurs sont évidemment des polynômes de degré m en â?^, dont les coefficients dépendent de h. De plus, il est clair que, pour passer de l'une d'elles à la suivante, il suffit d'y changer x^ en x^-^- A. On a en effet, en considérant deux valeurs consécutives à^ y, y, et y^+i

yp=F(a?o+P^),

Or, il est évident que ^o+(p-j-l)A peut se déduire de x^-^-ph en y changeant a?Q en a^o-j-A.

MOnONS SUR LA THÉORUS DKS DIFFÉRBMCBS. 353

Cela posé, les différences premières

sont des polynômes du degré (m~l) en o^o, dont les coefficients dépendent de h. On a, en effet,

Ayo=yi-y. = F(a?o+A)-F(^o)=F'(a?,)A+FVo)j^+

Or on sait que F'(a?o) est un polynôme de degré (m— 1), F"(a?o) un polynôme de degré (»i— 2), etc.; la proposition est donc démontrée pour A^o- U en résulte qu'elle est vraie pour les différences suivantes, Ayi,* A^i, ... : car chacune d'elles se déduit de la précédente en changeant o^o en â7,-{- A, ce qui ne change pas son degré par rapport à x^.

La série

[2| Ayo, Ayt, ..., Ay^...

pourrait donc s'obtenir en substituant successivement à x^ dans un certain polynôme de degré (w— 1), les valeurs a:,, a?o+A— Si donc nous appliquons à cette suite ce qui a été dit de la suite

yo, yi, ..., Vn

déduite de la même manière d'un polynôme de degré m, nous verrons que les différences des termes de la série [2], c'est-à-dire

[3] AVo, A»yi, ..., AVn,

sont des polynômes de degré (m— 2) en a?©» et que chacun se déduit du précédent en y changeant x^ en a^o+A; en sorte qu'ils peuvent tous se déduire d'un même polynôme en y changeant x en x^^ ^o+A, a?o+2A, ....

Si nous appliquons à la suite des différences secondes le théorème dont nous avons déjà deux fois fait usage , nous verrons que les différences des termes de la série [3], c'est-à-dire

. [4] AVo, AVi, ..., AVn

sont des polynômes de degré (m — 3) en a?o . Et en continuant de la même manière, nous verrons que les différences quatrièmes sont des polynômes de degré m— 4, les

354 HanoRs sur la THiom dbs DiFFiEsiic»*

différences cinquièmes de degré m — 5,.*. et enfin les différences jn"« de degré 0, c'est-à-dire indépendantes de a^o, ce qui prouve le théorème énoncé : car poor obtenir chacune de ces différences, on doit changer, dans la précédente, x^ en x^'\-h^ et elles sont, par conséquent, constantes quand elles ne contiennent pas x^.

383 bis. En revenant sur les détails de la démonstration précédente, on peut faire plusieurs remarques utiles.

Rkmà&qui I. On a trouvé la formule

On voit que Vaccroissement h est facteur dans le second membre, et qu'il le sera encore si l'on remplace x par x^ -|- A, â7o-{-2A, pour former les différences

en sorte que toutes les différences premières contiennent en facteur Taccroîssement h\

RiMABQiJB H. Il est évident que si le polynôme proposé renfermait h en facteur, ce facteur se retrouverait dans les dérivées successives F'(a;o), F'(iro)...P*(j?o)» et, par suite, tous les termes de la différence contiendraient, non plus seulement A, mais A' en facteur. Il résulte de là que la différence première étant nn polynôme qui contient h en facteur, la différence seconde contiendra A* en facteur à tous les termes. La formule [1] prouve, en général, que si un polynôme ¥{x) contient en facteur une puissance ti^ de A, sa différence contiendra à tous les termes le facteur h^\ et il résulte de là que les différences des différences secondes, c'est-à-dire les différences troisièmes, contiendront le facteur A', les différences quatrièmes le facteur A* et ainsi de suite.

On voit que si l'accroissement A décroît de plus en plus , les différences décroîtront suivant une loi d'autant plus rapide que leur ordre sera plus élevé.