Exemple I. Soit donnée Téquation
équation qui se présente en mécanique dans Fétude de la chaînette.
Nous voyons que cette équation ne change pas lorsqu'on remplace x par ( — x) ; par conséquent à chaque racme correspond une autre racine égale mais de signe contraire.
Pour mieux étudier la nature de cette équation , posons
et y = 5,284a? ,
nons aurons alors les équations de deux lignes dont les points d'intersection ont pour abscisses les racines de Féquation.
La première de ces deux lignes AA' est une courbe transcendante n'ayant qu'une seule branche infinie dans les deux sens. Cette branche qui a pour asymptotes les lignes logarithmiques dont les équations
a; = logy et — a?=log— y
RiSOLUnON VtS ÉQUATIONS TRANSCBNDÀlfTU. 393
passe par Torigine des coordonnées qui est en môme temps son centre.
La seconde de ces deux lignes BB' est une droite qui passe également par Forigine.
Comme les deux lignes passent par Torigine , l'équation est vérifiée par â?=:0. En outre, il est facile de voir qu'elles n'ont qu'une seule intersection du côté des x positifs , par conséquent, Féquation a une racine positive que nous allons déterminer.
Mettons d'abord l'équation sous la forme
et cherchons les valeurs que prend cette fonction pour des valeurs entières de la variable x. Nous aurons
tti=— 2,934, tit= — 3,314, «,= + 4,184.
La racine est donc comprise entre 2 et 3. Si maintenant nous cherchons les valeurs de u correspondant à 07=2, 5 ..., nous aurons
et la racine est comprise entre 2,6 et 2,7.
En partageant cet intervalle en dix parties égales et en calculant les valeurs intermédiaires de u avec leurs différences , nous aurons le tableau suivant :
AHi
394 RtSOLimON DKS ÉQUATIONS TRANSCBKDANTB8.
Les différences du second ordre étant peu différentes, la fonction Ug, prise entre a: = 2,64 et a? =2,65, peut être considérée comme une fonction algébrique du second degré.
En nommant z le nombre de centièmes que Ton doit ajouter à 2,64 pour former la racine , on a , d'après la formule d'interpolation (330)
et ti« devant être nul, on en déduit
^^J •"■ ^u, 1.2 • Atto*
Pour résoudre celte équation de second degré, on peut profiter de ce que z est très-petit pour négliger d'abord le second terme du second membre et prendre comme première approximation
et remplaçant cette valeur dans le second membre de l'équation [1] , on trouve plus exactement
par suite , la valeur de x est
j: = zfc 2,64089921,
Exemple II. Résoudre l'équation
[1] a sin* 47 = sin (x -— q\
équation importante qui se présente dans le calcul des orbites des planètes , et soit
log « = 0,5997582, et g = 13M0'5",01,
Comme nos tables ordinaires ne donnent pas les valeiirs des sinus naturels, mais celles de leurs logarithmes, nous prendrons les logarithmes vulgaires des deux membres de l'équation , ce qui du reste simplifiera beaucoup le calcul. L'équation se présentera alors sous la forme
log a -}- 4 log sin x = log sin (x — g), ou
[2] w, = log a -}- 4 log sin ar — log sin (x-—'q)ss:0.
RiSOLUnOff DES EQUATIONS TIAMSGIEfDÂlITIS. 395
Pour obtenir une première valeur approchée de x , posons d'abord
nous aurons log sin a? ^ 9,3734
4 log sin a? =7,4936 log a = 0,6998 et OlogsinCa? — q)=^^
donc w, = -f- *
De la même manière, nous trouverons pour ir= 14*,
log sin â?= 9,3837
4 log sin a? = 7,6348
log a = 0,5998
et C» log sin (a? — g) = 2,2371
donc tt^ = 4-0,3717
De cette diminution rapide de la fonction ti» nous pouvons conclure avec quelque probabilité que la valeur xszt4f est très-rapprochée de Tune des racines de Téquation.
En effet , on trouve par des substitutions directes
La racine est donc comprise entre 14^30^ et 14M0'. Partageant cet intervalle en deux parties égales , on aura
pour 0? = 14^36' w* = + 0,0005.
Par conséquent la racine est comprise entre 14^35' et 14^ 40', et elle est très-près du premier de ces deux nombres.
Pour obtenir une valeur plus exacte de x^ cherchons à 7 décimales les valeurs de la fonction Ug correspondant aux valeurs de X de dix en dix secondes, depuis jr= 14® 30'; et formons
396 liSOLUTION DBS tQDATlONS TRANSGBlfDÀimS.
le tableau suivant, après avoir pris les différences succès sives :
Au
