RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS TRANSCSNDANTBS

Si nous voulons vérifier ce résultat, nous trouverons

a? — g = 64' 69^,892, logsin;r =9,401 07445

41ogsin;r=7,604 2978 loga=0,599 7682 et CMogsin(;r—gr)= 1,795 9440

donc ^«=0,

le résullat obtenu est exact.

Mais réqualion [1] étant une équation transcendante, outre celte première racine réelle, il peut y en avoir encore une ou plusieurs autres, ou même une inflnité.

En effel, lorsqu'on continue les recherches, on trouve encore sur la première circonférence du cercle, trois autres racines

a?i= 32^ 2' 28", a?, = 137^27' 59^ irs=193° 4' 18";

de plus , à chacune de ces quatre valeurs de a;, correspondent une infinité d'autres, positives ou négatives, et qui sont toutes comprises dans l'expression générale

x + kxZ&fi,

k étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif.

Résolulion des équations transcendantes par la méthode des substitutions

successives.

550. La méthode que nous appliquerons à l'exemple qui va suivre , est d'un emploi très-commode dans tous les cas où la nature du problème permet de l'adopter. Voici, d'abord, d'une manière générale, le principe sur lequel elle repose.

Soit j?=çp(a?)

une équation (mise, comme on voit, sous une forme particulière), et supposons que l'on ait trouvé une valeur approchée a

308 ftiMUmOB UM iOUATM» TlARSGBnUimft.

de sa raciiie, oo ann, par aoile, appraiiaiativeiiient»

soit b cette Talair, en fadoptant on troorera

soit e cette troisième Taleor, on en déduira

et la série des nombres a, fr, <r, d..., qui peut se continuer indéGniment, convergera, quelquefois, très-^rapidement vers la véritable raciue.

Pour apprécier la rapidité de cette conyergence, nommons a -{-A la Yadeur exacte de la racine, nous aurons

Or, la fraction

y(fl-fA)— <p(a)

diffère peu de la dérivée ^'(a).

On a donc, en désignant cette fraction par (p'(a}4-t ,

ç(a + À) =. *9'(a) + At + 9(a) ;

donc a + À = h^Xa) -f 9(0) + Ae ,

et, par suite, (a + A)— (p(a) = hfXa) + ht ;

l'erreur commise en prenant 9 (a) pour racine, est donc, à très-peu près , A?'(a) , et Ton voit qu'elle est moindre que A si <p'(a) est moindre que 1 ; dans le cas contraire, la méthode n'est pas applicable.

8ttl. ExxMPUt* Déterminer les racines réelles de l'équation

n est évident que cette équation ne peut pas avoir de racines négatives, parce que pour un x négatif, le radical deviendrait imaginaire; nous n'avons donc qu'à nous occuper de la re* cbevcbe des racines positives.

RtoOLimON DBS ÉQUATIONS teanscknpautis. 399

Le calcul deviendra plus simple si nous preoons les logarithmes vulgaires des deux membres; Téquation devient alors

a? =Jlog a? + 5,5178238....

En posant y = a: et y=^loga?-|- 5,6178238,

nous aurons deux lignes dont les abscisses des points dMntersection représentent les racines de Téquation.

La première est une droite, bissectrice de l'angle dès coordonnées orthogonales; la seconde est une ligne logarithmique» formée par une seule branche infinie, et ayant pour asymptote Taxe des y. Les deux Ugnes se coupent en deux points ; le premier très-voisin de l'origine , Tabscisse du second est comprise entre 5 et 6; il ne peut y avoir d'autres points de rencontre, et, par suite, Téquation n'a que deux racines positives.

Comme la valeur du terme connu de Téquation [1] est près de 6, posons en premier lieu

et substituons cette valeur dans le second membre de l'équation

;r=ilog a? + 5,517 8238,

nous aurons alors une valeur de x plus rapprochée que la première ,

a? = éloge +5,5178

400 liSOLimOlf DBS iODATIONS TRAK8CI1IIIARTBS.

En substituant cette seconde valeur de x dans Péqaation [i], nous aurons

a?=^log5,9069 + 5,517 8238 = 5,903 5036.

Poursuivant ce procédé, nous obtiendrons par la troisième substitution ,

â;=:ilog 5,903 5036+5,517 8238 = 5,903 3787 ;

ensuite a?=ilog 5,903 3787 + 5,517 8238

puis a?=ilog5,903 3741 + 5,517 8238

ou J?= 5,903 3740.

Le dernier résultat est exact à sept décimales , car on trouve

log X = log 5,903 3740 = 0,771 1004

donc 2 l^S^ = ^>3^^ ^^^

d'où 4 log^+ 5,5178... = 5,903 3740=ar.

U nous reste encore à évaluer la seconde racine de l'équation

a?— ^loga? — 6,517 8238 = 0,

racine qui est comprise entre 0 et 1 . Comme x est nécessairement une fraction très-petite, nous pouvons négliger le premier terme de Téquation, qui deviendra alors

iloga?=— 5,517 8238 log a: = — 11,035 6476 = 12,964 3524 ;

d'où Ton tire x = 0,00000 00000 092 1 1 97 ,

valeur exacte à dix-sept décimales.

Si nous reprenons les considérations générales par lesquelles nous avons commencé ce paragraphe, nous verrons, en les appli-

RÉSOUJTION DKS ÉQOATIOMS TBANSGENDANTIS. 401

quant à Texemple actdel, que l'on a

9 (a?) = 4 log X + 6,6178238 ,

X étant à peu près égal à 6 , cette valeur de ^\x) est à peu près ^, et, par suite, chaque valeur obtenue est environ vingt fois plus approchée que la précédente.

Résolution des équations transcendantes par la méthode de Newton.

552. La méthode de Newton s'applique sans modiflcation à la recherche des racines d'une équation transcendante, pourvu que l'on connaisse toutefois une première valeur approchée

Soit, en effet,

une équation , et a une valeur approchée de la racine , dont nous représenterons la valeur exacte par (a -f" ^)*

On aura F(a+A) = 0;

• /oii^TM ♦ F(a+A)— F(a) mais (247) le rapport -^ — *— ^ -^

difTère peu de F'(a], et l'on a, par conséquent, en désignant par 8 un nombre très-petit,

d'où Ton déduit, en remarquant que F(a + ^) est nul,

* = ~rf^r;» ^* ~F^ ®^^' ^^^ ^^^^' ^"^ valeur approchée de A.