Exemple I. Soit donnée l'équation

a?*— 100=iO.

en MÈÊOLunom un ioQâTioRS TtAsisGcnftvm.

SalistiluoDS d*abord à U Yariable x les nombres oatiureb , nous aurons :

On en conclut que notre équation n'a qu'une seule rasine réelle et que cette racine est comprise entre 3 et 4.

Le calcul devient beaucoup plus simple lorsque , au lieu de traiter Téquation sous la forme donnée

af=lQO,

noas preaons les logarithmes Tulgaires des deux membres ; nous aurons alors

Ainsi donc nous aurons

Fa? = irloga? — 2;

d'où Fx = log X + log e ;

où e désigne la base des logarithmes népériens.

Ces valeurs de Fx et de Y'x , substituées dans la formule générale qui exprime la correction fournie par la méthode de Newton , donneront pour h ,

- F^ a? log a? — 2 2 — a? log a?

"" F9~" log a: + log «""log 6 + log a?*

Première approximation. Nous avons trouvé ci-dessus que la valeur de x est comprise entre 3 et 4.

Posons d'abord a7=^ 3,5 et calculons à 3 décimales. Nous aurons alors

ar = 3,5 loge = 0,434

log a? = 0,544 loga? = 0,644

d'où a^ log a: = 1 ,904 log c + log a? = 0,978

cl 2 — x- log a: = 0,096

RÉSOLUTION DBS ÉQUATIONS TRANSCSNOÀNTIS. 403

et la valeur approchée de x sera

Deuxième approximation. Nous avons

^ = 3,598 log 6 = 0,434 2945

donc log;r=0,5560612 log a? = 0,556 0612 '

a? loga?= 2,000 7082 loge +log a? = 0,990 3557

et a; logic— 2 = 0,0007082

et ir = 3,598— 0,00071610

ou x= 3,597 2849.

Troisième approximation. Pour avoir une valeur de x encore plus rapprochée, posons maintenant

nous aurons :

loga;=0,55S94 04378 log;r=0,55594 04378

a:loga?= 1 ,99999 997677 log e =0,43429 44819

d'où ^logo?— 2=0,00000002323 loga?+loge= 0,99026 93287 ce qui donne pour valeur de h ,

0,00000 002323 m<ïU'^i<'

et la valeur de x exacte à dix décimales , sera