RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS TRÀNSCKNDANTBS
en sorte que Tare de 329^ 44' 2/^66 est environ 5 f de fois plus grand que le rayon.
Ceci posé , déterminons d'abord le quadrant du cercle qui comprend Tare x^ et substituons, dans l'équation
Fa? = a: — esina: — 6,766067,
à X les valeurs linéaires de 0", Otf, 180", 270», 360». Le résultat sera
a? = 0^ esina? = 0 Fa? = — 6,76...
x = W = 1; esina?=:0,25 FaJ = — 4,43...
a5 = 180» = it esina? = 0 Fa? = — 2,61
07 = 270» = ^ €Sina? = — 0,25 Fa? = — 0,79
a? = 360° = 2ic esina?=:0 Fa?=54-0,63
Donc l'arc x est compris entre 270> et 360^, ce qui était facile à prévoir; et comme son sinus est négatif, x est plus petit que a =32^44'
Première approximation par parties proportionnelles. Posons d'abord x = 320^, et calculons la valeur correspondante de Vx. Nous aurons
sin X =sin 320*=— sin 40»;
d'où log.sin a? =9,8081 ,
log e == 9,3897 , log 206264 =6,3144,
log (c sin 0?) = 4,5122
e sin a? = — 32625"
ou =—9^2' 5";
et de là ar=320*,
— esina? =+y2'6", —a =—329» 44' 28",
et Fa? = — 42'23"
l'arc de 320* est donc trop petit.
406 HisoLonoif DIS équations transcindahtib*
De la même manière on obtiendrait pour x = 330^,
donc l'arc x = 330^ est trop grand, et la racine de l'équation est comprise entre 320 et 330^.
La différence des deux valeurs
F(320«) = — 2543" et F(330û) = + 26232"
étant égale à 28775" pour mi intervalle de 10^, nous pourrons admettre comme valeur approchée de x ,
Application db là mAthods tt Nkwton. On a
Fx=x—i sin X — 32y 44' 27",66 , ¥'x = l-^tcosx.
Prenons maintenant cette valeur de x conune point de départ.
Soit ass820'53' et x=ia + h,
, F(a) «— tsina— 32y44'2r,66 nous aurons h=—^^= -— .
r (a) 1 ««-eCOSa
logsina=9,79996l6 logCOSa=9,8897850
log e = 9,389 7262 logt =9,389 7262
log 206264 =5,3 14 4251 log (t 008 «) =9,279 6112
or log (e sin a) =4,504 1129 «;cosa=0,1903317
d'où e sin « =31923",67 Fa= 1 — ecos a =0,809 6683
Donc a= 320^53'
— esina = + 8•52'3^67 — a =—829*44' 27",66
et Fa = 3e",01 •
aiSOLUTION DIS tQCATIORS TBÀNSCBIfDAirTBS. 407
Mais h F« 36\01 . .» .-
nais ^^--F^j; — 0 809gg83--44,48..,.
Donc « = 320^60'— 44",48,
vaïeur exacte aux centièmes de secondes. Vérification du résultat obtenu : nous avo&l.trouvé
donc sina!= — sin39»7'44»,48
et logsin a; =9,800 0767
log-t = 9,380 7262 log 206264* =5,314 4251
log (« sin X) = 4,504 2280 et «sinaî = — 31932',14
Or «= 320"52'15",52
— 8sina; = + 8»52'12",l4 — a = — 329»44'2r,66
Comme on voit, la méthode de Newton nous a donné , par un seul calcul, la valeur exacte de l'arc x.
ExsMPLB III. Résoudre l'équation
â?=tangâ:,
équation qui se présente dans la théorie de la chaleur et dans la théorie des vibrations des corps élastiques.
Considérations générales.
1* Comme l'équation ne change pas lorsqu'on y remplace X par ( — x), il en résulte qu'à chaque racine correspond une autre racine égale, mais de signe contraire. Nous ne nous occuperons donc que de la recherche des racines positives.
2"" Lorsque x est positif, il faut que la tangente le soit égale*
408 mtSOLimON dis équations TIANSCSNOAimS.
ment, pour que {x^iàugx) devienne zéro. Les arcs x donc compris dans le 1*% 3% 5*... quadrant du cercle , et leais yaleurs sont comprises entre tnc et (n-f-i)^; « étant égal à la demi-circonférence du cercle =180^, et n étant un nombre quelconque entier et positif.
S"" Dans chacun de ces quadrants, l'arc â; ya en augmentant depuis x= nir jusqu'à â? = (n -f- à)it ; la tangente augmente d'une manière continne depuis zéro jusqu'à l'infiJUi; païF oolirtquent, il y a dans chacun des quadrants indiqués une racine réelle, ^t il n'y en a qu'une seule; et l'équation proposée admet une infinité de racines positives et négatives.
4'' L'équation étant vérifiée par â;=0, la radne du premier quadrant est zéro; pour toutes les autres valeurs de x du premier quadrant, on sait que tangâ?>>arcâ;.
5*» Si Ton représente par (mz-^-a^) la n"" racine («,» étant
moindre que ^ j y il est facile de voir que cet arc «n est d'autant plus grand que n est plus grand.
Soit, en effet, n'ic-|-ou. la solution qui correspond à un nombre n' supérieur à n, on a
tang (nie -|- ou) = tang ou = nir -}- «„ , tang (n'iz + a«,) = tang a^ =nV + ««, ,
n' étant plus grand que n, n'ic-f-<^ surpasse évidemment nir -|- ou, et, par suite, o^. est plus grand que a», comme nous Tavions annoncé.
6"* Si la valeur approchée de la racine est trop grande, l'arc est plus petit que la tangente; si, au contraire, la valeur approchée de X est trop petite , l'arc est plus grand que la tangente.
Calcul dç la première racine.
Ceci posé, Âéterminonii' la plus petite des racines; celle qui est comprise dans le 3* quadrant du cercle. On sait que tangl8tf = 0o, tang 226* =1 et tang 270» = oo; or, x étant plus grand que tt , on a
arc 2260 > tang 225% arc 270o< tang 270*;
donc» l'arc x est renfermé entre 225» et 270^.
RÉSOLUTION DES AQUATIONS TRAMSdNDANmU 409
Cherchons maintenant les valeurs linéaires des arcs compris entre 250^ et 260^, et de leurs tangentes respectives (on trouvera ces valeurs , qui sont souvent fort utiles , dans une table à la fin du volume), nous aurons
arc 250^=4,363, tang260»=2,747,
arc 25y=?4,398, tang 252^=3,078,
arc 254*=4,433, tanga64<^= 3,487,
arc 266^=4,468, tang256^=4,011,
arc 267^=4,486, tang 25^^4,331,
arc 268«=4,603, tang 268^= 4,706.
On voit immédiatement que Tare en question est compris entre 257<^ et 258^ ou que la valeur de a?, exprimée en parties du rayon, est entre 4,486 et 4,503.
Nous admettrons donc, pour première valeur approchée,
Première approxuution par la méthode de Newton. Nous avons réquation
Vx=x — tangâ;; sa première dérivée est , par suite ,
F'a?=— tangua:,
et le terme de correction sera
,__ Fx x — tanga?
î^"" taiig«a? •
De plus, nous supposerons a7 = ,460S.
Nous aurons alors \ , Jf
0?=: 4,603 tango? s 4,706
et a? — tang a? = — 0,202
410 itaourrmi dis iovAnon TiARSciifDARns.
Donc 4__MML MW
