donc Xi

log tang Xi ^ 0,653 7850 et tang Xi =4.605 956

tangâ^i — a?i = 0,011 956

log [tangari—iri] = 8,077 5859 log . tang^Xi = 1,307 5740

log(— A,) = 6,770 0119

Al =—0,000 58886

ce qui donne une nouvelle valeur approchée de x;

et a?8= 4,493 411.

Comme la valeur de Xi était exacte aux millièmes , Terreur

de Xf sera de Tordre de 773.

RÉSOLUTION DBS ÉQUATIONS TRANSCVNDiNTKS. 4U

Tboisi&ms approximation. Le dernier calcul nous a donné , avec une approximation de j^ environ ,

Xt = tang Xt = 4,49341 •

Pour obtenir une valeur de x encore plus rapprochée, au lieu de prendre â7|= 4,4(^1, posons

tang â?i=: 4,49341,

ce qui facilitera de beaucoup le calcul. Nous avons déjà trouvé (S80),

arc cotang 4,49341 = 0,21897... ;

de plus, nous avons

arc . tang â? = Î70* — arc . cotang a: ;

mais 270»=^= 4,71238 89803 84690,

et arc . cotang 4,49341 =a 0,21897 94968 94113;

donc a?,= arc . tang 4,9341 = 4,49340 94834 90677 et tang<g>=g 4,49841

d'où tangir,— ir,= 0,00000 06165 09423;

mais tang* x% = 20, 19073 34281 ;

, j^ a?— tanga? 0,00000 05165 0942

aonc /hr^ tang«d? "" 20,19073 34281 '

ou A8= — 0,00000 00266 816....

Nous avons trouvé ci-dessus

or, = 4,4930 94834 906;

donc Xi=:x^ + hi = 4,493409 467909,

valeur exacte à douze décimales ; ce nombre, transformé en degrés et parties de degré, devient

a?.=257°2rl2^231224.

412 Bisoumov vu Èvumam tiabbcdbasik.

Les fables de logaritbmes de Vlaoq, takfes à dix

^^ faiig;rb= 4,4034 0945t,

ce qui s'accorde pariaitemeiit ayec le lésoHat (Memu

Réfobitioa s^fléfale 4e réfwliML

L'éqaatkm a?— taiig^=0,

qui se disthigiie par la rapidité avec laqodle on arrire à la déterminaticm nette et complète de ses radnes, est, en outre, remarquable par la facilité afec laquelle elle se prête i une résolution générale, analogue à celle des équations algébriques du second degré.

En effet, il suffit de trois ou quatre substitutions suoces^res pour obtenir l'expression générale de toutes ces racines a?ec une grande précision.

Nous ayons déjà établi (page 408), que la »** racine est {dus petite que

Posonsdonc (2fi-(-l)|=a;+0,

où 0 désigne la distance de Textrémité de Tare x à celle du quadrant qui le renferme. Nous aurons alors

tanga?=: tang I (2» -f 1)^ — 0 j =cotangd,

mais nous avons également, d'après Téquation proposée,

tanga?=r;

donc tango =-9

et ?' (2»4.1)|=a?4.arc.tangi.

En déyeloppant en série cette dernière expression, on aura

et en désignant (2n+l)s P^ ^

[31 x^=ù hs^ "^rrii "hsnî *"" ••••

C'est de cette équation que nous tirerons la valeur de x en fonction de a.

Négligeons d'abord le terme - et les termes suivants; nous

aurons rr = a, et en substituant cette valeur à x dans le second membre de Téquation [3]> et en négligeant les 3*... puissances»

x=za .

Une nouvelle substitution, avec suppression des 5** puissances, donnera

En substituant cette valeur de x dans le membre droit de l'équation [3], et en négligeant les 7** puissances, nous aurons une valeur de x encore plus rapprochée,