Problème IL On propose de résoudre les trois équations
Ces équations se présentent lorsqu'on cherche Tintersection de trois surfaces du second ordre , dont les sections pnncipales ont les mêmes foyers.
Si, dans l'équation [1] , on chasse les dénominateurs, on obtient :
— 6Va?* = 0;
si l'on chasse de même les dénominateurs des équations [2] et [3] on trouve :
>• — v*(é« +. (••ic« — yi ^1) ..j. v«(6V + b^x* + c'x* + c»y« + Vz*)
— éVa:«=0,
et ces trois équations prouvent que [*', v», p*, sont les trois racines de Téquation
[4] X*— X«(i«+c*— a:*--y«— 5«)+X(6V+6V+cV+c?V+6«x5*)
EXEMPLES d'artifices ALGÉBRIQUES. 477
On en conclut :
cl cette équation fera connaître a?.
Pour obtenir y' et 2', remarquons qu'en posant
les équations proposées deviennent :
et ne diffèrent des proposées que par le changement de x* et y* en y* et a?% et par celui de p, |x, v, en p', (x', v', de 6* en — b\ et de c" en c* — 6*.
'On peut donc écrire :
On trouvera par un artifice tout semblable :
c\d' — ô*)s« = (fA« — OCc* — v*)(c« — p«) .
On pourrait arriver à des valeurs de a?*, y*, s', par la résolution directe des équations proposées qui sont du premier degré, mais les calculs seraient beaucoup plus longs.
Nous remarquerons enfin que p', j**, v*, étant les racines de réquation [4], on a :
P« + u« + V» = 6» + c*— ««— y«— «•, et, par suite:
formule utile dans plusieurs recherches et dont la vérification directe exigerait quelques calculs.
478 EXEMPLES D*ARTIFICXS ALGEBRIQUES.
592. Problème III. Désignons par v, v', v'', les fonctions linéaires suivantes des indéterminées x, y, z,
iv = ax + *^+ c-5 + ... + /, v'—a!x + b'yi-c'z+... + i\
Partni tous les systèmes de coefficients x, x', y!\,, qui donnent identiquement
XV +xV 4- xV +... = x — K,
X étant indépendant ^/^ x, y, z, ... trouver celui pour lequel
est minimum.
Posons :
fav + ûV + aV + ... == ?
[2] \in) + l/v^^(/V+,..=ri
cv 4- cV + c'y + ... = ;
?, Y), Ç, seront des fonctions linéaires de a?, y, s, et Ton aura :
l = xla^ 4- y2«6 + ^2ûc + ... + Sa/
[3] \y\ = xJMh-^ry'Lh''-\'ZlLhc -{-... + J.hl
l=xlac+y^bc + -s2c» -f ••• + -^^
où 2a«=a« + a'« + a''»+...
et de même pour les autres 2.
Le nombre des quantités 5, ^i, Ç, ... est égal au nombre ir des inconnues a?, y, a ... on pourra donc obtenir, par élimination, une équation de la forme suivante :
[A] X = k + (aa)5 + («,p>i + («,Y)Î + .. .
qui sera satisfaite identiquement lorsqu'on remplacera ;, r,, ï, par leurs valeurs [3]. Par conséquent, si Ton pose
[4] {a'(««)+ô'(PP) + ^'(YY) + - = »'
a"(«a) 4- 6"(PPJ +^"(yy) + - = «"
XXniPLES d'artifices ALGÉBRIQin». 490
on aura identiquement :
[6] av + a'v' + aV + ... = a: — A.
Celte équation montre que parmi les différents systèmes de coeffieienls x, x\ x" ... on doit compter le s|slème
on aura d'ailleurs, pour un système quelconque
(x — a)v + (K' — a')v' + (x" — aOv" + ...=A — /b,
et cette équation étant identique , entraine les suivantes
(x — a)a+(x' — «')«' + (x" — O«^ + ... = 0, (x — «)6 + (x' — a')y + (x"— a'0y' + ... = O, (x — a)c + (x'— ot')c' + (x^— «'V'+...=0,
ajoutons ces équations après les avoir multipliées par (aa) (a^) (ttY), nous aurons, en vertu du système [4]
c'est-à-dire
x«4.x'« + x''*— ... = a*-f a'»+a''«-... + (x-^ot)« + (x' — a')*.
. Par conséquent, le trinôme
aura une valeur minimum lorsqu'on aura
x=a, x' = a', x'^rrt/', .,.,
d'ailleurs, celle valeur minimum s'obtiendra de la manière suivante :
L'équation [5] montre que l'on a
480 SXUTLBS d'artifices ALGiBEIQDES.
Multiplions ces équations , respectivement , par (sa) (pp) {-pf) , et ajoutons en ayant égard aux relations [4] ; on trouvera
La valeur de x trouvée de cette manière , savoir:
est celle que les géomètres adoptent l(y*sque, devant satisfaire aus$i exactement que possible aux équations v = 0 , v' = Oy v'' = 0,... dont le nombre surpasse celui des inconnues , ils ont reconnu Fimpossibilité de rendre les premiers membres rigoureusement nuls. Un calad analogue fournirait les valeurs que Ton adopterait pour y^ z, et que nous désignerons par B, C...
On peut prouver que ces valeurs , sans annuler toutes les quantités v, v', t/', ce qui est impossible , rendent la somme de leurs carrés aussi petite jpié' possible. Mais disons d*abord pour quelle raison les coefUcfènts de ces diverses formules ont été désignés*par la notatioa-quc nous avons adoptée.
Nous avons trouvé plus liant ,
On peut prouver d'une manière analogue que l'on a
Si, en effet, on multiplie les valeurs de «, a', formule IV, par^, p' ..., et qu'on ajoute les résultats, on trouvera, en ayant égard aux équations qui définissent p, p' ...
et la démonstration sera la même pour les autres formules analogues. On voit donc que la notation adoptée pour les coefficients sert à rappeler la formation des expressions qui leur sont égales.
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