DU PREMIER DEGRÉ

On obtiendrait de même la valeur d'une inconnue quelconque. On voit que toutes ces valeurs ont le même dénominateur R. Si R n*est pas nul , chaque inconnue a une valeur unique et déterminée , et le système des équations ne présente aucune particularité. L*étude de l'expression R conduit à une théorie importante d'analyse algébrique que nous ne pouvons indiquer ici.

596. Nous donnerons cependant quelques développements sur la forme du dénominateur R.

Nous élablirons d'abord la proposition suivante : le produit P et , par suite , l'expression R , change de signe sans changer de valeur si deux indices c et c' y sont changés l'un dans Tautre.

Remarquons en effet que y dans le produit P , les seuls facteurs sur lesquels ce changement exerce une influence, sont ceux dans lesquels figure Oc ou ««', c'est-à-dire, en supposant c>c',

(ae—ai)(ac—«i)- .•(«•— ûe-i)(«c+i—ac). . .(Oc — «c). . .( ^n— «0)

(a*— «iXOc'— «1). . .(û^c'-«c-0(flc— «c+l) . . .(«c'-«c'-l)(«c'-rt— «cO • • . («n— ««').

Si l'on change c en (/, ces facteurs , pris ensemble , conservent les mêmes valeurs absolues et ne font que se substituer les unes aux autres; mais il y en. a un certain nombre qui changent de signe.

V Les facteurs (a» — «j) (««—««)•••(«€ — «c-i) de la première ligne cl (a, — ai) (Oo— ot). • .(a*— o*-i) de la seconde ligne,

ne font que se changer les uns dans les autres;

2® Les facteurs («c+i— «o)(«o+s— «o)...(ac'-.i— a*)

échangent leurs valeurs absolues , mais chacun d'eux devient égal et de signe contraire à celui qui lui correspond. Cela fait en tout 2((?'— (?— 1) changements de signes qui n'exercent pas d'influence sur le signe du produit;

3* Le facteur (««'—««)

change de signe sans changer de valeur ;

4* Le» lacteiin {«.-.n—ûeXa/^^— «;)...(«. — i^}

oe font que se changer les uns dans les antres.

En résumé , le seul changement que sulnsse le prodmt pro- %ient du changement de signe de a/ — ««; et, p«r sidfe, PetR changent de signe sans changer de ^deur lorsqa'cm change et a,- sont e en c'.

397. II résuUe de la proposition précédente que dans diaqœ terme des polynômes P et R, les exposants de deux lettres a« et a^' sont toujours inégaux.

Si, en effet, dans un terme de ces expressions, tf« et a;- avaient le même exposant, ce terme ne changerait pas par le diangement des indices c et c'; il ferait donc partie du polynôme -f^P et dn polynôme égal et de signe contraire — P; et, par suite, il entrerait deux fois dans P avec des signes différait» et po«ff« rait être supprimé.

Il est clair, d'ailleurs , que chaque terme contient au moins une fois chacun des facteurs oi, Oi ... a»; et comme l'exposant de ces lettres ne surpasse jamais n, ils ne peuvent être fous Afférents qu'en reproduisant , dans un certain ordre ^ la série des nombres 1 , 2 ••• n, en sorte que le terme général de P (ou de R, car c'est la même chose) est

Oif «s ... a» désignant les nombres entiers 1 , 2 ... n pris dans un certain ordre.

On pourra donc, en interrartissant convenablrai^t les ftcleurs, écrire ce terme général de la manière suivante :

Pi f pB ••• P» représentant aussi les nombres 1, 2 ... n éorits dans un certain ordre.

Cette remarque permet de former tous les termes de R, mais il reste à déterminer le signe qui convient à chacun d'eux. On remarquera pour cela que si l'on change dans R (596) deux indices inférieurs Tun dans Fantre, R doit dMBger de A^ gne. Les termes positifs doivent donc se transformer en ceux

DU PRÉMÏER DEGRÉ. * 4Sf

qdi sont actuellement négatifs et réciproquement. En faisant deux changements d'indices de suite, les termes primitivement positifs reprendront le signe -|- ( ^^ns que pour cela chacun d'eux reprenne sa valeur); et, en générât, un nombre pair de permutations eflectuées sur deux indices changerait kf ' termes positifs entre eux , tandis qu'un nombre impaif de {permutations transformera le$ termes positifs en teiÂes actnellement négatifs et récipré^uèment.

Si donc on veut savoir si deux termes donnés ont le itièine signe ou des signes contraires , il suffit de c^ïrpter le nombre de permutations d*indices inférieurs nécessaires poilr pâstér de Tun à Fautre : si ce nombre est pair, les termes ont le méniô signe; s'il est impair, letir signe est différent.

D'après oela , potir former toui les termes de R » on prendra le premier terme

puis on changera successivement les uns dsffis les autres les in^ (lices inférieurs, en ïie faisant qu'un seul cliangelnéÈtk ïa fois et changeant chaque fèis le signe du terme obtenu. Si, par exemple n=3, on obtiendra

expression dans laquelle chaque terme s^obtient du ^téùéâèàt en changeant son signe après avoir interverti deux inàioêi itf « férieurs ae la lettre a.

tlBLE MS inCS ET UES SIMUS ET TANGENTES EIVMaÉS EN PARTIES DU EATOB 1 t>jiir servira lu rcsululiou desËHuaiioriB iruiEccQdiinti^s. 1

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