Considérons n équations à n inconnues

fli^i + OfXt + ûfsa?8 + ... + OiXi + ... + a^Xn = /i,

ffi''â?, + a,"a?,+ ... +flrx,+ .-. + a\Xn =/«•

fli, a% ••' Om ûiS ûs'...fli*... un" désignant des coefficients quelconques tout à fait indépendants les uns des autres. a\ n'est , par exemple, nullement égal au carré de ot, et le chiffre 3 n'y figure que comme un indice. En général , a/ n'a aucune liaison avec a, , et n'en est nullement la puissigke k. Cela po6é, considérons le produit

obtenu en faisant le produit de tous les coefficients de la première équation par leurs différences deux à deux, en ayant soin de prendre, avec le signe—, dans chaque différence, le terme affecté du plus petit indice. Ce produit P se composera d'un grand nombre de termes dans lesquels les quantités Oi, Oi ... an auront divers exposants. Nommons R ce qu'il devient lorsque l'on considère les exposants comme des indices supérieurs. R contiendra alors les différents coefficients du système d'équations proposé, et chacun d'eux figurera, dans chaque terme , au premier degré , puisque , par hypothèse , nous avons r^pbtcé les exposants par des indices. Si , par exemple , la puiwance k de tti figure dans le produit P, nous la remplacerons, pour obtenir R, par 0,*, coefficient de Xi dans Téquation de rang k ; en sorte que les deux expressions P et R s'écriront de mémej mais représenteront des valeurs très-différentes.

48 i NOTE SUR LÀ RÉSOLUTION DES iQUATIONS

Supposons maintenant que Ton rassemble^ en un seul, tous les termes de R , qui contiennent a< afTecté du même indice supérieur, R prendra la forme

A<S A<'...Â<'' étant des sommes de produits dans lesquels ne figure évidemmwt aucune des quantités

di J di m. » Q>i •

Je dis maintenant qu'on a les équations suivantes :

0 == AM + k?af + AiV ... + A,"(3rr, 0 = kfot 4- A,V + A<V . . . + Aro'a",

0 = A/an+ A<V + AX* . .. + A,*fln",

ou, en d'autres termes, que l'expression R s'annule, si l'on y remplace, dans tous les termes, Findice inférieur i de la lettre a par une autre valeur quelconque 1, 2, ... A..«n. En effet, l'ex* pression P rentemant en facteur (ai — aO (oj — a<) ... (a„ — o^i s'annule identiquement si l'on suppose, par exemple^ ai:=ak: le résultat de cette substitution doit être zéro , indépendamment de toute valeur attribuée aux lettres Oi, (h^ ^••an. Les termes doivent donc se détruire identiquement , et être égaux deux à deux et de signes contraires^ or, il est évident que cette identité ne sera pas altérée quand on considérera les exposants comme des indices , afin de passer de l'expression P à l'expression R.

Les équations [3] étant démontrées, on obtiendra évidemment la valeur de Xi en multipliant les équations proposées par A,S k? ... A<*, et les ajoutant. Les coefficients de a?i, a?t...a7f«i, soi+x ... a:» deviendront, en effet, égaux à zéro, en vertu des équations [3], et le coefficient de Xi deviendra égal à R en vertu de [2].

On aura donc

YiXi = k,% + k?k+...^kHn. ' A//i + A>/,+ ...+A,-/,

d'où Xi =