CHAPITRE III
Division des monômes.
\. Pour diviser deux monômes l'un par l'autre, on doit , dans le plus grand nombre des cas, se borner à écrire le dividende au-dessus du diviseur en les séparant par une barre horizontale.
ExEtfPLB. La division de cfb par é^d donne pour quotient
et il est absolument impossible de simplifier le résultat tant que a, (,c, d restent indéterminés.
29. Il arrive cependant quelquefois qu'après avoir indiqué l'opération comme nous venons de le faire, on trouve des facteurs communs aux deux termes de la fraction obtenue, et Ton peut alors supprimer ces facteurs.
Exemple. Soit AOo^bcf^h^ à diviser par 35/yA*6*; le quotient
40a*ftg/»A* 36/»y*AW
peut se simplifier ; il suffit de supprimer, en effet, les facteurs 5) i, r et A* communs aux deux termes, et il reste
RsMÀftQUK. Quand une fraction à termes monômes a été réduite autant que possible, aucune lettre ne doit figurer à la fois dans ses deux termes , car alors on pourrait la supprimer autant de fois qu'elle se trouve dans le terme où elle a le moindre exposant.
32 DIVISION ÂLGÂBRIQUB.
On voit qu'une lettre a qui entre dans le dividende avec Texposant m , et dans le diviseur avec Fjexposant n , entre au quotient avec un exposant égal à la différence des deux nombres m et n. Cette règle souffre cependant une exception. Si l'on a m = ny la lettre a disparait du quotient. On conserve à l'énoncé toute la généralité en faisant la convention que a® représente l'unité, et disant alors, dans ce cas, que a figure dans l'expression avec l'exposant 0, différence des deux nombres égaux m et n. Nous donnerons, du reste, plus loin de plus grands détails sur cette convention , qui se lie à la généralisali<Mi des exposants , dont nous aurons à nous occuper dans un ehoidtve suivant.
Des divisions qui peuvent s'effectuer.
50. Dans un grand nombre de cas , pour indiquer la division de deux polynômes, on se borne à les séparer par une barre horizontale , et il est impossible de transformer l'opération en une autre plus simple.
Lorsque cependant le dividende et le diviseur contiennent une même lettre, on peut, quelque fois^ mettre leur quotient sous la forme d'un nouveau polynôme. Nous supposerons ici que les polynômes soient ordonnés suivant les puissances décroissantes d'une même lettre, et nous chercherons, s'il est possible y à représenter leur quotient par un polynôme ordonné de la même manière : c'est ce qu'on appelle effectuer la division.
Le procédé de division repose sur les théorèmes suivants :
51. Théorème I. Si deux polynômes sont ordonnés suivant les puissances décroissantes d*une même lettre ^ et que le quotient de leur division soit égal à un polynôme ordonné de la même manière, le premier terme de ce quotient est le quotient de la division du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.
Le quotient, multiplié par le diviseur, doit, en effet, reproduire le dividende ; or, le premier terme du produit de deux polynômes provient, sans réduction (26), du produit des premiers termes de chacun d'eux. Le premier terme du dividende est donc le produit du premier terme du quotient par le premier terme du diviseur, et le premier terme du quotient résulte, par
DIVISION ALGÉBRIOUB. 33
conséquent, de la diTision du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.
On peut remarquer (24) que le premier terme du quotient sera positif ou négatif suivant que le premier terme du dividende et le premier terme du diviseur auront ou n'auront pas le même signe.
58. Théorème II. Si Von multiplie le diviseur par le premier terme du quotient^ que Von retranche le produit du dividende^ en obtiendra un reste qui, divisé par le diviseur, donnera pour ré' siUUU V ensemble des autres termes du quotient.
Le dividende est égal, en efTet, au produit du diviseur par le quotient. Si donc on en retranche le produit du diviseur par un des termes du quotient, le reste sera le produit du diviseur par la somme des autres termes du quotient : cette somme sera, par suite, le quotient de la division du reste par le diviseur.
55. Les deux théorèmes précédents permettent de faire une division quelconque, car ils donnent le moyen de trouver le premier terme du quotient, et ramènent la recherche de tous les autres à une division nouvelle. Les mêmes théorèmes appliqués à cette division nouvelle permettent de trouver le premier terme du nouveau quotient, c'est-à-dire le second du quotient cherché, et de ramener la recherche des suivants à une troisième division, et ainsi de suite.
54. Remarque. Les raisonnements qui précèdent supposent, essentiellement, que le quotient puisse s'exprimer par un polynôme. On peut voir, du reste, que le procédé auquel ils conduisent apprendra, dans tous les cas, si réellement il en est ainsi. La condition nécessaire et suffisante est que Fun des termes du quotient, multiplié par le diviseur, donne un produit précisément égal au dividende partiel qui Ta fourni. !• Celle condition est nécessaire, car après avoir trouvé tous les termes du quotient, et retranché successivement du dividende le produit de chacun d'eux par le diviseur, on doit trouver un reste nul. 2* Cette condition est suffisante, car si elle est rempUe, le dividende est égal à la somme des produits du diviseur par les termes trouvés au quotient, puisque, en en retranchant successivement ces produits, il ne reste rien.
Dans le cas où les opérations ne doivent jamais s'arrêter, il est important d'examiner comment on pourra s'assurer qu'il en est ainsi, et, à quel moment, on peut affirmer qu'aucun polynôme ne peut représenter le quotient. Remarquons, pour y parvenir, que, lorsqu'une division peut s'effectuer, le dividende étant le produit du diviseur par le quotient, le dernier terme du dividende est le produit du dernier terme du diviseur par le dernier du quotient. De là résulte, que Ton peut déterminer, immédiatement, le dernier terme du quotient, en divisant le dernier terme du dividende par le dernier du diviseur. Lors donc qu'en formant les termes successifs du quotient, on en trouvera un de degré moindre que le terme ainsi calculé, on pourra affirmer que l'opération ne se termine pas.
55. Exemple. Soit à diviser a?* +6^+^^ — ix^-^-x — 1 par x^-\-x — 1, on écrira, comme il suit, le diviseur à la droite du dividende, en les séparant par une barre verticale
x'^+bx^+l
Le premier terme du quotient est a?*, quotient de la division de x^ par a^.
On multiplie le diviseur par x^, et Ton retranche le produit du dividende, en soustrayant chaque terme du produit, du terme de degré égal, dans le dividende, au fur et à mesure que l'on fait la multiplication. On trouve, ainsi, pour reste, un premier dividende partiel
Le second terme du quotient est 6a^, quotient de la division de 6a?* par ic*.
Si on multiplie 5x^ par le diviseur, et que l'on retranche le produit du dividende partiel, on obtient pour reste un second dividende partiel x* + x—l.
Le troisième terme du quotient est 1, quotient de la division de x^ par a^. Si on multiplie le diviseur par 1, et que Ton retranche le produit du dividende partiel précédent, on obtient
DlflSlON ALOtBtIQDI. 95
pour reste 0. La division se fall donc exactement, et le quotient
est ar'+S^ + l'
Exemple II. Diviser a:*H-6«*+2a;» par a^-f-a:.
a^-^-Aa^
Le premier terme du quotient est x*, quotient de la division de sd^ par a?. On multiplie a?* par le diviseur, et Ton retranche le produit du dividende : le reste est
4a?*, divisé par a;*, donne pour quotient 4a^, qui devrait être le second terme du quotient. Hais, sans aller plus loin, on voit que l'opération ne réussira pas, car le dernier terme du quotient (34) devrait être le quotient de la division de 2a:* par x^ c'est-à-dire 2a:", et, par suite, s'il existe un quotient exact, le terme 4a:* ne peut en faire partie *.
36. Remarque. Les règles précédentes ne supposent nullement que les puissances de la lettre ordonnatrice aient des coefficients numériques. Ces coefficients peuvent être littéraux et même composés de plusieurs termes, sans qu'il y ait rien à changer aux règles ou aux raisonnements.
Exemple. Diviser
a:*-K«*— 2c:*)a:*— (a*— <?*)a;*— il'— 2aV— aV par a^—a*—€^,
(2a*-c*)a:*-(a*— c*Ja:*-a^-2aV-aV I a?'+(2a'-c:')a:*+o*4-aV. (a*+/»V)a;«— o«— 2oV— aV
Le premier terme du quotient est le quotient de la division de «• par a:*, ou a:*. On multiplie x* par le diviseiu*, et l'on retranche le produit du dividende : il reste
(2a«— c»)a:*— (a*— c*)a:*— a«— 2oV — aV.
Le second terme du quotient est (2a"— c*) a:", quotient de la divi-
* Ici se termine l'exposition sommaire de la théorie de la division demandée MX élèves 4e logique par les programmes des lycées.
36 DIVISION ÀLGÉBRIQUI.
sion de (iû* — c*j a:* par x". On multiplie le diviseur par (ia^— <^>r*, et l'on retranche le produit du dividende : il reste
Le troisième terme du quolient est a^-f~^'^9 quotient de la division de (a*-|-aV)x* par a^. Le produit de a*4-aV par le diviseur étant retranché du dernier dividende partiel laisse pour reste 0; la division se fait donc exactement et le quo* tient est
Exemple II. Soit à diviser (a* -6*) ar*-f (a*6»— a«ô«— a*ô— 6^«) x'^- (a*6*— a*Ô«-f.a»6*+6«+a«; x^
par (a* + 6") a:* — a^bx -f- a*.
Le premier terme du quotient est
en continuant l'opération, on verra que le calcul de chaque terme du quolient exige la division de deux polynômes algébriques ordonnés par rapport à o, le diviseur étant toujours a« -]1 6«, et Ton trouvera, en effectuant les calculs, que le quotient est
Des divisions qui ne peuvent se faire exactement.
57. Lorsque deux polynômes n'ont pas pour quotient un troisième polynôme, on dit qu'ils ne sont pas divisibles Fun par l'autre. On peut néanmoins, dans ce cas, donner, en général, à l'expression de leur rapport, une forme plus simple que celle qui résulterait de la seule indication de l'opération. Nous allons démontrer, en effet, le théorème suivant :
Si deux polynômes entiers ket^ contiennent une même lettre a?,
on peut toujours mettre le rapport g sous la forme d'un poly-
nome Q entier par rapport à x, augmenté d'une fraction g ayant
même dénominateur que 5 et pour numérateur un polynôme R de
degré moindre en x que B.
Appliquons, en effet, aux deux polynômes A et B, la méthode de division exposée (55), jusqu'à ce que Ton trouve un reste de degré moindre que B. On obtiendra, au quotient, différents termes dont aucun ne contiendra x en dénominateur, car les dividendes partiels qui les fournissent sont tous de degré supérieur à B, et leur premier terme contient, par suite, x à un degré plus élevé que le premier terme de B.
Soit Q l'ensemble des termes obtenus lorsque l'on parvient à un dividende partiel, R, de degré moindre que B. R est ce qui reste du dividende A , lorsqu'on en retranche successivement le produit de B par les divers termes de Q; il est donc égal à A— BQ, et Ton a
A=BQ+R, d'où 1= Q+gî
le quotient ^ est donc mis sous la forme annoncée*
On peut prouver, de plus, que la transformation précédente ne peut se faire que d'une seule manière. Si , en effet , Ton avait à la fois
B "^B ' on en conclurait, en retranchant
ou (R-R')=(û'— Q)B;
or, cette dernière égalité est impossible , car le premier membre contient x à un degré moindre que le second, puisque R et R' étant, par hypothèse, de degrés moindres que B, il en est de
38 DIVISION ALGÉBBIQUI.
même de leur difTérence, et le produit de B, par le polynôme Q'— Q, entier par rapport à x, est au moins, de fnême degré
que B.
Remarque. Si  renfermait a; à un degré moindre que B, le quotient Q serait égal à zéro, et le dividende A serait lui-même le reste.
Exemples. On trouve, par la méthode précédente,
— ïr=3 — ==^'+^ + ïi=3'
Remarque. Quand ou applique au quotient de deux polynômes A et B la transformation précédente, on donne au polynôme entier Q le nom de quotient entier, et au numérateur R
de la fraction ^ celui de reste de la division.
58. Nous avons prouvé que les deux polynômes A et B étant ordonnés par rapport à une même lettre a?, le quotient entier et le reste ne peuvent avoir qu'une seule forme (57). Mais si Ton change la h4tre ordonnatrice, les mêmes polynômes peuvent conduire à un nouveau quotient et à un nouveau reste. Si on considère, par exemple, la fraction
en ordonnant par rapport à x, on trouve pour quotient a^ — y', et pour reste 2y*. Si l'on ordonnait au contraire par rapport à y, on trouverait pour quotient y*— a?*, et pour reste 2:r*, en sorte que Ton a
DITISTON ALGiBRIQUI. 30
Division des polynômes ordonnés suivant les puissances crolssaotes
d'une lettre.
59. Il arrive dons certains cas, qu*au lieu d'ordonner les termes d'un polynôme suivant les puissances décroissantes de la lettre ordonnatrice, on les range de telle sorte que l'exposant de cette lettre aille en augmentant depuis le premier terme jusqu'au dernier. On pt ut faire la division de deux polynômes ordonnés de cette manière et trouver les divers termes du quotient; en commençant par ceux dans lesquels ta lettre principale a le moindre exposant. La théorie est absolument la même que dans le mode ordinaire d'opérer, seulement, dans le cas où la division exacte n'est pas possible, on peut la continuer indéfiniment sans que l'opération se trouve jamais arrêtée, et l'on obtient des restes dont le degré augmente de plus en plus au lieu de diminuer, comme cela avait lieu dans le cas des polynômes ordonnés suivant les puissances décroissantes.
Pour donner un exemple de cette manière d'opérer, repre* nous la division effectuée au paragraphe (5S), en ordonnant les deux polynômes, suivant les puissances croissantes de x,
— 1+ar — 4a:^-f 4a::»4-6^+ir» — t-j-ar-fa:»
nous dirons : le dividende étant le produit du diviseur par le quotient , le terme dont le degré en x^ y est le moins élevé , provient sans réduction du produit des deux termes analogues dans le diviseur el dans le quotient, et, par conséquent, le premier terme du quotient, est le quotient de la division du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.
On démontrera absolument comme on l'a fait (52), qu'en retranchant du dividende le produit du diviseur par le premier terme du quotient, on obtient un reste
qui, divisé par le diviseur, fournira les termes qui doivent compléter le quotient.
Le premier de ces termes est égal, pour les raisons doi^nées
40 BmSIO!! ALGiBlIQCI.
plus haut, an quotient de la division de — &a^ par — 1, c'està-dire qu'il est -j-ôjr*.
En multipliant + ^ P^ le diviseur, et retranchant le résultat du premier reste, on obtient un second reste
qui , divisé par le diviseur, fournira les termes qui doiyent compléter le quotient.
Le premier de ces termes est égal, pour les raisons données plus haut, au quotient de la division de — a^ par — 1, c'est-àdire qu'il est -{-a:*, en le multipliant par le diviseur et retranchant le produit du reste précédent, on trouve une diflérence nulle, et l'opération est par conséquent terminée.
Dans l'exemple précédent, l'opération se termine, et le résultat est identique, comme cela devait être, avec celui qu*a fourni l'autre manière d'opérer; mais il n'en serait pas de même si nous prenions une division impossible à effectuer exactement. Reprenons, par exemple, la division indiquée (37)
les deux premiers termes obtenus au quotient sont ~ — ~ , et
tS 3
n'ont, comme on voit, aucun rapport avec ceux que Ton obtenait en ordonnant les polynômes, suivant les puissances décroissantes de X : le reste est du second degré si Ton arrête le quotient à ces deux premiers termes, et son degré augmentera de plus en plus à mesure que Ton poussera plus loin les opérations.
Différences et analogies entre la division arithmétique et la division
des polynômes.
40. Les polynômes ordonnés suivant les puissances d'une lettre, présentent, avec les nombres entiers, des analogies qu'il est bon de remarquer. Un nombre entier comme 783214
exprime 7XlO»+8X10*+3X10»+2X10"+lX10+4, et on peut Tassimiler au polynôme
dans lequel on aurait supposé ^7=10. Il ne faut pas croire, cependant, que toute question d'arithmétique relative à des nombres entiers, soit, purement et simplement, un cas particulier d'une question d'algèbre dans laquelle ces nombres seraient remplacés par les polynômes correspondants. Comparons, par exemple, les deux questions suivantes:
Diviser 783214 par 321.
Diviser 7»»-|-8a:r*4-3a?»+2a:»+a?+4 par 3a;«+2j:+l.
Les conditions des deux problèmes ont entre elles des différences essentielles qui ne permettent pas de considérer le premier comme un cas particulier du second.
1* Le quotient de la division arithmétique doit être un nombre entier, tandis que le quotient de la division algébrique peut être un polynôme, entier par rapport à x, dont les coefficients soient des nombres fractionnaires.
2* Les chiffres du quotient et du reste, dans la division arithmétique, doivent être moindres que 10, tandis que rien ne limite les coefficients des diverses puissances de x dans la division algébrique.
3* Dans la division arithmétique, le reste doit être moindre que le diviseur. Dans la division algébrique, il doit être de degré moindre.
4"* Enfin, en algèbre, les résultats obtenus conviennent pour toutes les valeurs de x : il n'y a pas de condition analogue en arithmétique.
Condition pour qu'un polynôme soit divisible par un binôme
de la forme a; ~ a.
4i. Si l'on divise par x — a un polynôme ordonné suivant les puissances de x, le reste, devant être (37) de degré moindre que le diviseur, ne contiendra pas la lettre ordonnatrice x. On
42 DIVISION ALOÉimiQlTI
peut, d'après cela, le calculer sans effectuer la division, et en déduire la condition pour que celle-ci réussisse.
Soit X le polynôme dividende, Q le quotient, et R le reste; on a identiquement,
Dans cette égalité, qui a lieu quel que soit x, on peut supposer x=a; cette hypothèse annulant le produit Q (a? — a), on en déduit
Xa= R,
en désignant par X» ce que devient X quand on y remplace x par o. Quant à R, comme il ne contient pas a:, il n'est pas changé par celte substitution, et la valeur cherchée de R est, par conséquent, Xa. Ainsi donc
Le reste de la division d'un polynôme par x — ti est le résultat de la substitution de a àx dans ce polynôme,
n en résulte que la division ne réussira que si cette substitution donne un résultat égal à zéro.
42. Cette dernière proposition est d'une grande importance. Nous nous bornerons ici à en déduire quelques conséquences.
10 /pm — fl« esi divisible par .r — o, car il s'annule évidemment pour x==:a.
Si l'on effectue la division on trouvera pour quotient.
[1] ^lz:^ = a^iJ^ax^^-\-a^x'^+...+a'^'\
se ' a
et l'on peut vérifier, du reste, que les termes du second membre forment une progression géométrique dont la somme est
X"^ — fl"»
20 af* — ft"» est divisible par x-^-a lorsque m est pair, car x-\'a équivaut à x — ( — a)\ or «"* — a"^ devient, par la substitution de — fl à X,
( — ay — a*, c'est-à-dire zéro, puisque m étant pair, ( — aT=a'^.
DIVlttOM ALaiMOQOI. 43
Si Ton effectue la division, on trouvera
Cette formule suppose que m soit pair.
30 a?*+ûr est divisible par a:+« quand m est impair, car :p+a équivaut à x — ( — a), et, en substituant — a à a?, dans le dividende a^^+a*, celui-ci devient, ( — fl)"4"û*, c'est-à-dire 0, puisque m étant impair ( — a)~ est égal à — tf*. On trouve, en faisant la division,
[3] ^-i-^ = a^* --aar-« + a«aî*-*-f ... -f a*-* ;
cette formule suppose que m soit impair.
Remarque. Les formules [2] et [3] ne diffèrent pas réellement de [1], elles s*en déduisent Tune et l'autre en y remplaçant le nombre arbitraire a par — a, on obtient ainsi la première si m est pair, et la seconde si m est impair.
RÉSUBIË.
28. Division des monômes. — 29. Il arrive le plus ordinairement que pour indiquer la division de deux polynômes on se borne à les séparer par une barre horizontale, sans pouvoir transformer 1 opération en une autre plus simple. — 31 . Si deux polynômes sont ordonnés par rapport à une même lettre et que le quotient de leur division soit égal à un polynôme de même forme , on peut en trouver immédiatement le premier terme. — 32. Si on multiplie le diviseur par le premier terme du quotient, que Ton retranche le produit du dividende, on obtiendra un reste qui, divisé par le diviseur, donnera pour résultat Tensemble des autres termes du quotient.— 33. Les deux théorèmes précédents permettent de faire une division quelconque , en admettant toutefois qu'il existe un polynôme pouvant représenter le quotient. — 34. Le procédé de division apprend , dans tous les cas, si réellement il existe un quotient entier; la condition nécessaire et suffisante est que Tun des termes du quotient multiplié par le diviseur donne un produit égal au dividende partiel qui Ta fourni. — Symptôme auquel on peut reconnaître que Topération ne s'arrêtera pas. 3l>. Application à quelques exemples. — 36. Il n'est nullement nécessaire que les coefficients de la lettre ordonnatrice soient numériques. — 37. Ce qu'on entend par quotient et reste dans les divisions qui ne peuvent se faire exactement. — Quand on a choisi la lettre ordonnai*
44 DIVISION àlgébriqui.
trice, il n'y a qu'un seul quotient et qu'un seul reste. — 58. Quand on change la lettre ordonnatrice, les mêmes polynômes peuvent conduire à un nouveau quotient et à un nouveau reste. — 39. Division des polynômes ordonnés suivant les puissances constantes d'une lettre. —
40. Différences et analogies qui existent entre la division algébrique des polynômes entiers et la division algébrique des nombres entiers. —
41. Conditions pour qu'un polynôme ordonné par rapport à x soit divisible par un binôme a? — a. — 42. Division de a?~ — a** et de 05**+^ par X — a et x-^-a^ dans le cas[où elles peuvent s'effectuer.
