Application. Soit h résoudre le système

ax +6y '■\-cz =k^ a'x + b'y -}- ^2 = A;',

Ajoutons ces trois équations après avoir muUipUé la seconde et la troisième par des indéterminées V et V ; il viendra

Si nous posons

[1] ft+*'x'+*'r=o,

Il viendra "^ = a + a'V + al'r

Mais les deux équations à deux inconnues (37) fournissent :

b"c — hc" v, c'b—Uc ^ — bY—b"c" " bV—c'bf"

RÉSOLOTION d'équations DU PREMIER DEGRÉ. 67

et en remplaçant et multipliant les deux termes de la fraction parftV— ft^c', il vient:

^ kh'c'-^kc'M'-\-ck'V'^hk'(^+b(/k'--ch'k' On trouvera, de même,

y ab'cf'-'ac'b"+ca!b"-'ba'c"+bc'a''-'cb'cî'"

gj __ aVkr—nk'V*+ka!b"-^ba'k'^bk'a"--kb'(f

^ ab'c" ^ac'b"-\- ca'b"'^ba'c"+ bc'a"— cb'aT*

U existe, pour le cas d'un nombre quelconque d*équalions, des formules analogues (voy. une note à la fin du volume).

63. Nous nous bornerons à faire ici quelques remarques qui pourront aider à retenir les formules précédentes. Les équations proposées étant

aX"\'by'\-cz =d

Les expressions des trois inconnues â?, y, z, ont le même dénominateur. Pour retenir la forme de ce dénominateur, on peut l'écrire de la manière suivante

a (by - c'b') + b ioTc' — aY) + c {a'if — d'V)

et Ton voit qu'il est la somme des produits obtenus en multipliant les coefficients a , 6 , c , de la première équation , respectivement, parles différences b'c"—&b\ d'c'—a'd', c!V'—d'b\ obtenus en multipliant en croix les coefficients des deux autres <^quations qui ne correspondent pas à la même inconnue que Celui que Ton. a choisi dans la première. On doit remarquer que dans ces multiplications en croix, on doit changer, à chaque fois, l'ordre dans lequel se prennent les deux branches de ces croix , c'est-à-dire que les coefficients étant disposés comme il suit

68 RBSOLOnON D*ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ.

Si Ton prend d'abord h'd' — V'e\ il faudra prendre ensuilecV— aV, et enfin a'6" — 6V, la croix formée par les lignes qui réuniraient les facteurs que Ton multiplie étant formée d*abord X comme l'indique cette figure , puis ensuite

dans le sens opposé x. Le dénominateur commun des trois inconnues étant formé, on obtiendra chacun des numérateurs en changeant le coefficient de l'inconnue considérée, dans le terme tout connu de l'équation correspondante , c'est-à-dire que s'il s'apt de a?, par exemple , on changera a , a\ a"^ en X, X', X".

Toutes ces règles sont rendues évidentes par l'inspection des formules* précédentes.

64. Nous ne terminerons pas ce chapitre sans mentionner un cas singulier qui se présente quelquefois dans les applications de l'algèbre.

Lorsque les équations proposées ne contiennent aucun terme indépendant des inconnues, on peut les considérer comme ayant lieu entre les rapports des inconnues, et alors, il suffit, pour déterminer ces rapports, d'avoir une équation de moins qu'il n'y a d'inconnues.

Considérons, par exemple, le système

or + 6y -{- C0 = 0 a'X'{'b'y-\-c'z = 0

Ces équations peuvent s'écrire de la manière suivante

et l'on en déduit

X ^c'b — b'c z ab' — 6a'

z ab' — ba''

Si l'on avait, entre trois inconnues, trois équations privées de seconds membres ,

ax -\-by -j-cz =0 a'x-{'b'y-\-(/z^=0

RiSOLimON d'équations du PREMIBa DEGKB. 69

les formules générales (69) donneraient

Mais on doit remarquer que si la troisième équation se trouve une conséquence des deux autres, on peut évidemment la supprimer et l'on retombe alors sur le cas précédent , en sorte que x^ y^ z restent indéterminés et leurs rapports respectifs seuls sont connus.

6S. Résolvons enfin, pour dernier exemple, le système suivant.

[1] l,2346a?+l,3579y+8,642« —9,766744=0. • [2] 7,447ir +5,225y —6,336s —0,611327=0. [3] l,6380z+4,4444y— 6,6789-2 + 1,20011 =0.

La première de ces équations donne pour valeur de s,

Cette valeur substituée dans Téquation [2] donne

En multipliant tous les termes par le dénominateur , on obtient

ou 72,17877a:+53,7581y —67,15884= . . . [4].

Umème valeur de z substituée dans Téquation [3] donnera

d*où +1,20011 = 0,

c'est-à-dire 20,302a:+46,l 1988y— 45,08733=0 • . . [6].

70 RÉSOLUTION d'équations DU PREMIER DIORÉ.

La question est maintenant ramenée à la résolution de deux équations à deux inconnues [4] et [5J.

On tire de l'équation [5]

En substituant cette valeur de y dans l'équation [4], on obtient

La multiplication par le dénominateur donne

ou 2237,480a?— .673,549=0;

Pour trouver la valeur de y, on a d'abord

20,302a?=6,1115l, donc 45,08703— 20,302a?=38,97582

Si maintenant dans l'équation

nous substituons à a? et à y leurs valeurs numériques , nous aurons

l,3579y = 1,1475586 donc 9,765744 — 1 ,2346a? — 1 ,3579y = 8,246564 ;

et z = -^g^g42~ = 0,9542425.

Les trois inconnues sont donc :

RfeoLmoN d'équations du premier degré. 71

VériflcatioD.

RÉSUME

55. Ce que Ton entend par un système d'équations. — M, Systèmes équivalents. — 66, On peut substituer à Tune des équations d'un système celle que l'on obtient en ajoutant les proposées membre à membre. — 66. Lorsque l'une des équations d'un système est résolue par rapport à une inconnue, on peut remplacer dans toutes les autres cette inconnue par sa valeur. — 6T. Résolution de deux équations du premier degré à deux inconnues. — 6S. Moyen mnémonique de retenir les formules de résolution. H enste des cas particuliers dans lesquels les formules deviennent illusoires, on s*en occupera plus tard. — 59. Résolution d'un nombre quelconque d'équations entre un nombre égal d'inconnues ; on ramène le système à un autre qui contient une inconnue de moins. — 60. Autre méthode dite des multiplicateurs; elle fournit la valeur d'une inconnue ; les autres dépendent d'un nombre moindre d'équations. —61. La méthode des multiplicateurs pensât d'obtenir directement chaque inconnue sans avoir besoin de calculer aucune des autres. — 62. Application de la méthode des multiplicateurs aux équations à trois inconnues. — 63. Remarques sur les formules précédentes — 64. Cas particulier où les seconds membres sont nuls. — 65. Développement des calculs dans un exemple numérique.

EXERCICES

I. Trouve/deux nombres qui soient dans le rapport de 2 à 3 el tels qu'en y ajoutant 4, les sommes soient comme 4 à 5.

70 RÉSOLIF*' .fff^^^^ DEGRÉ.

La quesf ., ^ >^' '"".'l^v// ^ans le rapport de 3 à 4

équatioBF .#-■ '\fi/'^;f/ii^^"^^'

• • ' »////^'* ji;tf/ia différence, la somme et le

//^/^,/cV»'" ^ fiii progression arithmétique tels v^ • ^' - /n«p' "^f . p et que la somme des trois égale 63.

jpces équations^, y, s, et a;>+?/«+s«.

yj on donne la suite

Trouver deux nombres a? et y, tels que chaque terme de cette uite puisse s'obtenir en multipliant le précédent par x , et rantéprécédent par ?/.

vn. On donne la suite

flP-j-ô-H?, aq-^-bq^^cq^, aq^+bq^-^^qf, a^+bqf-^rcq^,...

Trouver trois nombres ^, y, z tels que chaque terme de cette suite s'obtienne en multipliant le précédent par a?, Tanléprécédent par y et celui qui précède de trois rangs par z.