Remarque I. Les équations

ax-\-by=zc

ont pour solutions

dx-^-Vy^-c' cb' — c'b

ab'—bd

ca — ac

^'^ab' — ba'"

On retiendra facilement ces formules à Taide des remarques suivantes :

Les valeurs des deux inconnues ont pour dénominateur commun ab' — ba'.

Pour former le numérateur de la valeur de chaque inconnue, il faut remplacer, dans Texpression ab'—ba', les coefficients, qui dans les équations multiplient celle inconnue, par le terme tout connu de l'équation correspondante (a et a' par c ei(/ pour la valeur de x^ b ei b' par c et c' pour celle de y).

Remarque IL Les formules précédentes fournissent , eu gé-

RÉSOLUTION D'ÉQOATIONS DU FRIMIIR DIORi. 63

néral , pour chaque inconnue une valeur unique et déteiminée. Dans des cas particuliers qui seront indiqués plus tard , ces fom^ules peuvent devenir illusoires. Les solutions cessent alors d'exister ou deviennent indéterminées.

Résolution d'un nombre quelconque d'équations du premier degré.

^9. Pour ré^udre un nombre (|uelconque d'équations du premier depré, entre un nombre égal d'inconnues, on peut déduire de Tune d'elles la valeur d'une inconnue et la substituer (55) dans tous les autres qui contiendront alors une incopnue de moins. La résolution de n équations à n inconnues se ramènera ainsi à celle de (n — 1) équations à n — 1 inconnues; celles-ci se ramèneraient de même h un système de n— 2 équations an — 2 inconnues , et en continuant ainsi, on sera conduit à une équation ne contenant qu'une inconnue.

Le procédé que nous venons d'indiquer est assez simple pour que , sur cette seule indication , on puisse facilement en faire usage.

Soient , par exemple, à résoudre les équations

Pour appliquer la méthode précédente, nous devons déduire de Tune d'elles la valeur d'une inconnue et la substituer dans les deux autres , conune on peut choisir l'une quelconque des trois inconnues et la déduire de l'une quelconque des trois Rations, il y a neuf manières de commencer le calcul ; on yoit que Je plus simple consiste à prendre la valeur de y dans la troisième des équations proposées , parce que l'on n'introduit P&s ainsi de dénominateur. On obtient

6t, par substitution de cette expression , les deux premières équations deviennent

3a?+2(3a: + s — 4)+45'=19, 2a?+5 {Sx + z—4) + Sz = 19 ,

64 aÂSOLUTiON D'ftQOi^TIONS DU PREMIBR DBGRA.

c'esU-dire 9aî + 6a = 27,

qui, résolues par les formules données plus haut, donnent

Ces valeurs substituées dans l'expression de y ,

donnent y = 2 ,

et la solution cherchée est , par conséquent

Soit encore à résoudre le système d*équations

ef + «*^ + ^y + -5 = 0 , ô»+**a:-f-fty + « = 0,

ou déduira de b première la valeur de z (de préférence a deux autres pour ne pas introduire de dénominateurs) ,

et en substituant cette valeur dans les deux autres équatioi elles deviennent

ô»a«+(6»— a«)a;+(6— a)y = 0, c" — rf+(c"— a')a;+(c— a)y =0.

La première de ces équations est divisible par 6 — a , la secor par c — a, et en supprimant ces facteurs, elles deviennent

RÉSOLUTION d'Équation» n primibr degié. 65

en résolvant ces deux équations à deux inconnues, on trouve

y= — 6* — ab — a' — (6+^)^=^*+^+^»

et ces valeurs substituées dans Texpression de s

zz=z — a* — (fx — ay donnent enfin a = — abc,

60. On résout aussi les équations du premier degré par une autre méthode dont remploi est souvent plus commode. Soient n équations du premier degré à n inconnues,

aX'\-by-^cZ'\-... =k

Ajoutons ces équations après les avoir multipliées, à Texcepiion de la première, par des nombres indéterminés Xi, Xj, ... Xn i, il viendra

[2] ocia + ai^i + . . . an-iXn-j) + y(ft + ^Ai + . . . ftn-iX^-O

el cette iiouvelle équation peut (S3) remplacer une des proposées, quels que soient les nombres Xi, Xs, ... >n-i; or nous pouvons déterminer ces nombres de .manière que les équations

Ô + ^1 Xi + •• • +^i*-l Xn-1 = 0 , C-^Ci >!+••• +^n-l Àh-1 = 0 ,

soient satisfaites ; il suffira, pour cela, de résoudre n— 1 équations à n — 1 inconnues. Mais alors Téquation [2] ne contiendra que la seule inconnue x et permettra d'en déterminer la valeur; x étant connu, le système ne contiendra plus que n — l inconnues.

La méthode que nous venons d'indiquer permet, comme on

66 RÉSOLUTION d'équations DU PREMIER DEORÉ.

voit, de résoudre n équations à n inconnues , pourvu que Ton sache résoudre un système contenant une inconnue de moins. Comme nous savons résoudre deux équations à deux inconnues, nous pouvons d'après cela, résoudre un système de trois équations à trois inconnues ; partant , un système de quatre équations à quatre inconnues, et ainsi de suite. On obtiendra , quel que soit le nombre des équations proposées, une formule fournissant la valeur de chaque inconnue exprimée au moyen des coefficients. Dans certains cas , ces formules pourront être illusoires , les équations seront alors impossibles ou indéterminées, mais nous n'entamerons pas ici cette discussion.

61. On peut encore résoudre le système proposé en procédant pour chaque inconnue , comme on l'a fait pour x , et les obtenir ainsi sans les rattacher les unes aux autres. Comme le raisonnement précédent prouve qu'il'existe un système de valeurs qui satisfont , les solutions trouvées de cette manière et qui évidemment sont les seules possibles , satisfont effectivement.