DISCUSSION DES FORMULES TROUVÉES

cette inconnue, une expression de la forme jr> on doit en conclure que réquation est impossible ; mais il n'en est pas toujours ainsi du problème qui y a conduit , on peut affirmer seulement que la quantité prise pour inconnue cesse alors d'exister. Si, par exemple, on a pris, pour inconnue, la distance à laquelle se coupent deux droites d'une figure, et que l'on trouve, pour celte

dislance , une valeur de la forme - , on conclura que les deux

droites ne se coupent pas et sont par conséquent parallèles.

79. Remarque II. Lorsque le dénominateur d'une fraction diminue, la fraction augmente et peut augmenter sans limite si le dénominateur diminue indéfiniment. D'après cela, on dit quelquefois que le dénominateur devenant nul, la fraction devient infinie, et on écrit qu'elle a pour solution a? = ao. C'est là une locution incorrecte : la fraction dont le dénominateur est nul ne représente rien. Si les données d'un problème varient de telle manière que le dénominateur de la valeur de Tinconnue tende vers zéro, Tinconnue ellemême augmente indéfiniment, mais lorsque le dénominateur est actuellement nul, la solution n'existe pas et l'équation est impossible.

• Discussion des formules de résolution de deux équations à deux inconnues.

80. Les formules trouvées pour la résolution de deux équations du premier degré

[1] ax-\-hy = c ,

foiœnissent, en général, pour chacune des inconnues a? et y une seule valeur positive ou négative; mais dans certains cas que nous allons examiner, ces valeurs deviennent illusoires.

Les formules de résolution sont :

cb' — hc'

ab'—hd' ad — cd

r il U,V> l/f*

[^1 y=w^=bi;'-

DISCUSSION DBS FOEMULIS TEOUVilS. 89

Si aV—ba! n'esl pas nul, elles ne donnent lieu à aucune difficulté : nous examinerons donc seulement le cas où Ton a

aV—W — 0,

et nous le diviserons en deux autres.

81. 1* Supposons que 06' — 6a' soit nul sans que les numérateurs des formules [3] et [4] le soient. Les valeurs de â? et y

prennent alors la fonne jry ^r , ce qui ne signifie rien ; mais il

est Tacilc de voir que, dans ce cas, les équations proposées sont incompatibles; puisque l'on a, en effet,

ab' = M,

en désignant par r la valeur commune de ces deux rapports , on a:

a = ra\

b = rV\

par suite, les équations proposées deviennent

rclx'\'rb'y==,c ^ a'x-\'b'y =<?'.

Or, le premier membre de la première étant égal au produit de r par le premier membre de la seconde , la même relation doit exister entre les seconds membres, et il y a, par suite, impossibilité si Ton n'a pas , •

c = rc',

c'est-à-dire, en remplaçant r par ses deux valeurs -, et j, , si Ton

n'a pas j

ac' bc'

ou, ce qui revient au même,

90 DISCUSSION DBS FOEMULBS TROUTtlS.

Mais ces dernières égalités expriment, contrairement à nos suppositions, que les numérateurs des valeurs de â? et de y sont égaux à zéro, elles ne sont donc pas satisfaites, et les équations proposées sont incompatibles.

82. 2<» Si le numérateur de l'une des valeurs de a? et y s'annule en môme temps que al/-^ba\ il en est de même de l'autre numérateur.

Si Ton a en effet aV — ba!=0,

eu/ — ca'=0,

ces équations, qui peuvent se mettre sous la forme,

b c entraînent évidemment p = ;7 >

c'est-à-dire bc' = b'c.

Supposons ces relations satisfaites ; les valeurs des deux inconnues se présenteront sous la forme ^. Désignons par r la

valeur commune des trois rapports ->, r?, - , on aura

et les équations proposées peuvent être écrites ainsi :

ra!x-\-rb'y=^rc\ a'x-\'Vy =c\

La première n'étant autre chose que la seconde, dont les deux membres sont multipliés par r, on n'a, réellement, qu'une seule équation entre les deux inconnues x et y, et l'on peut par conséquent choisir l'une d'elles arbitrairement, et déterminer l'autre en résolvant une équation à une inconnue.