La formule générale qui donne les racines de Téqua

lion iw:* + 6a; + c = 0,

se prête mal aux calculs numériques , lorsque le coefficient a aune valeur très-petite. On comprend , en effet, qu'après avoir

calculé approximativement ^6* — 4ac, en divisant le résultat par 2a, on diviserait en même temps Terreur qui se trouverait par là considérablement augmentée. H est donc convenable de modifier dans ce cas la formule qui donne les racines ; occupons-nous seulement de la racine qui diffère peu de — ? (99); Pautre se trouvera ensuite , sans peine , puisque la somme des deux est connue et égale à .

De Féquation oa?* 4? *^ + ^ = 0,

01 déduit

a, étant par hypothèse très-petit, nous pouvons négliger-^, el écrire, comme pr^mt^e approximation,

t erreur commise en adoptant cette valeur est -?- ; elle contient

en facteur la première puissance de a , et Ton dit , pour cette raison , qu'elle est du premier ordre.

Si nous désignons par «i Terreur commise quand on prend

«= — ^, nous aurons exactement

106 ÉQUATIONS DCr 6BG0ND DlGfti.

en remettant cette valeur dans le second membre de Téquation [1] , il vient

si nous négligeons, dans le second membre, le troisième et le quatrième terme qui contiennent en facteurs aai et aai", il viendra, comme seconde approximation ,

r^T c ac^

oti étant du premier ordre par rapport à a, aa, et ot'a sont respectivement du second et du troisième ordre, c'est-à-dire qu'Us contiennent a' et a* en facteur. Notre seconde approximation , fournie par la formule [5] , ne laisse donc subsister que des erreurs du second ordre ^ et, si nous posons, par conséquent,

c ac^

tti sera du second ordre , c'est-à-dire que son expression contiendrait a* en facteur.

Si nous remettons dans le second membre de la formule [1] la valeur de x fournie par la formule [6] , il vient :

OU, en développant

rm c aâ 2aV àà , . <ï/<^ , ac\ 0L\a [8] X=-^— jT 35 ffr + 2a,^(^^+^j— ,

«t étant du second ordre (c'est-à-dire contenant a* en facteur), «!« et -^seront du troisième et du cinquième ordre. SI nous

négligeons les termes qui les contiennent, ainsi que -r^ , qu'il

n'y a dès lors aucune raison poiu* conserver , il vient , conime troisième approximation ,

c ac^ 2aV

n serait facile de continuer ainsi indéfiniment.

iQUÀTIOm Ml SlCOlfO DiGfti. 107

Rbm ARQui. Les formules d'approiimation successives :

ai*

eu*

satisfont aux conditions que Ton doit toujours s'efforcer d'obtenir dans un système d'approximations successives :

l"" Chacune s'obtient de la précédente par l'addition d'un terme de correction ;

9? L'erreur qui subsiste après l'addition de chacun des termes est toujours très-petite par rapport à ce terme.

En effet , quand oq écrit jt = — 7 , l'erreur commise contient

e a en facteur, et est, par suite , très-petite par rapport à — ?•

Quand ou écrit x = — y — rr>

l'erreur commise contient a* en facteur et est très-petite par rapport à -^y ainsi de suite.

D'après cette remarque, pour savoir si la valeur obtenue est trop grande on trop petite, il suffira d'examiner le signe du terme de correction que Ton obtiendrait en poussant l'approximation plus loin.

Soit, par exemple , Téquation

ona a^^,

on en conclut ,

ou -r<T::

b" 6724 "" 6^10' et on voit sans peine que le l** terme de a? est < t^,

et pour résoudre Téquation donnée exactement à 20 décimales, il ne faudra calculer que 3 termes de x et encore le troisième terme n'influence-t-il que ift dernier chiffipe. Nous aurons donc :

^=+JlLf?L =+ ^''246 76624 8

2aV 2. 47*. 334» ô» "" 6724M0*^""

de plus,

donc

valeurs exactes à 20 décimales.

On aurait pu obtenir directement les mêmes valeurs de xt et Xt par remploi de la formule générale (85).

ÉQUATIONS DU SKGOND DIGKÈ. 109

Par la simple division on obtient d'abord

b 6724.1» ^jg gj^^^ g^ggj ^^212 76695 74468

6*— 4ac=:2 X 2260 60880 31396

mais V^2= 1,41421 36623 730960488016887

donc 47 54686 . y^ = 67 24000, 00466 92444 95701 82598

et ^ y/t^^4ac=^ X 47 54686 . v^2

= 716 31914,94328983506065772324 Nous avons donc

— v^ô»— 4ac= 715 31914, 94328 98350 60667 72324

et

x'=— ^ + ^ y^6«— 4ac= 0, 04967 28137 84061 97856

Solution de quelques problèmes.

lOf . Problème 1. Calculer la profondeur (Tun puits , sachant qu*U s'est écoulé un nombre t de secondes entre Fmstant où Von a laissé tomber une pierre , et celui oii le bruit qu'elle a fait en frap^ pant le fond est revenu frapper Voreille.

Pour résoudre ce problème, il faut se rappeler deux principes de physique.

1" L'espace parcouru par un corps pesant est proportionnel au carré du temps écoulé depuis le commencement de la

110 iQDATIONS DU SECOND ÏMIÊÈ.

chute , et représenté par la formule ,

g étant un coefficient constant égal à O'^ySOO.

2*' Le son se meut d*un mouvement uniforme et pan 333 mètres par seconde. Dans le calcul qui va suivre , not présenterons sa vitesse par v; de sorte que, dans le tem il parcoure vt.

Soit X la profondeur du puits évaluée en mètres. En nomi ti le nombre de secondes que la pierre met à descendre, oi

[1] x=i^, rfoù<.=y/?i.

Si ^t désigne le temps que le son met à remonter, on a

[2] a?=st;^, d'où ^=-,

eu sorte que [3] ^.+<.=<=?+y^.

Pour résoudre celte équation, mettons-la sous la formé En étevant les éeax. membres au carré , on a

ou, en faisant passer tous les termes dans le premier men:

d'où l'on déduit (91)

tQOÀTIONS DD SKCOND DEGEi. 111

Les deux racines sont réelles , car la quantité placée sous le radical ,

est évidemment positive.

Il est facile de voir qu'elles sont toutes deux positives : car

Le problème ne peut cependant avoir qu'une solution, car deux puits de profondeur différente ne peuvent correspondre à une même valeur de t. Pour expliquer cette singularité, et trouver quelle est celle des deux racines qui répond à la question, remarquons qu'en élevant au carré les deux membres de Téquation [4], nous formons une équation nouvelle, qui, il est vrai, ne peut manquer d'être satisfaite si la proposée l'est elle-même , mais qui peut l'être , aussi , sans que celle-ci le soit. Les deux membres auraient, en effet, même carré s'ils étaient égaux etjde signes contraires : l'équation [5] équivaut donc réellement aux deux suivantes :

La première de ces équations correspond seule au problème proposé, et sa solution, qui est moindre que vt^ puisque t

est positif , satisfait à ce problème. La solution de la seconde équation, qui est plus grande que vt^ est par conséquent la plus grande racine de [5] : elle doit être rejetée comme solution

étrangère.

L'équation du problème précédent est

Dans cette équation , v représente la vitesse du son , égale à 333 environ ; le carré v" est donc un nombre assez considérable,

®*^j coefficient de a?, est très-petit. Il y a donc lieu d'appli-

112 ÉQUATIONS DU SBCOND Dlfiit.

quer les formules de rarticle 100; en adoptant la première, il viendra

roi a?=

. '.^ÉHit on devra se servir dans les applications, car on peut, sans

*'* aucun inconvénient, négliger les quantités de Tordre -^

innkm environ, et l'unité de longueur est le mètre). La formule [a] peut, du reste, se simplifier un peu si Ton re-

marque que v étant grand, — est petit; en sorte qu'en le négligeant dans une première approximation on peut écrire

c*est la formule qui conviendrait , en supposant la vitesse du son infinie. Pour obtenir un terme de correction, posons

^ = % + «* Nous aurons , pour déterminer a ,

d'où 0 = — + ^-^

Négligeant —, qui est à la fois très-petit à cause du facteur a

et du facteur -, on en déduit

. et Ton a enfin , comme valeur approchée de x,

iOUATlONS DU SKCOND DEGRÉ. 113

PaoBLÈMB II. Diviser une droite en moyenne et extrême raison ^ c'est-àrdire la partager en deux parties telles que l'une d'elles soit moyenne proportionnelle entre la ligne entière et Vautre partie.

Soient a la ligne donnée et x la plus grande partie , on doit avoir

aix \: X i a — a?,

ou a^=(a — x)a

a^+oa? — tf=0, et, par suite,

L'une des racines est positive et donne la valeur de x^ l'autre est négative et doit être rejetée.

On peut interpréter la racine négative. Désignons-la en effet par — a ; on doit avoir

ou a*=o(a + a);

donc a est moyenne proportionnelle entre a et a-f-», et répond évidemment à la question suivante.

Trouver sur la ligne AB prolongée

un point X, tel que la distance AX (a) soit moyenne proportionnelle entre AB (a) et XB (a+a).

11 arrive donc, comme dans la plupart des problèmes du premier degré (78), que la solution négative doit être portée sur la droite AB en sens opposé à la solution positive.

Problèm K m . Trouver y sur une ligne PQ, unpoint X également éclairé par deux lumières A et Bdont les intensités sont i etï; on donne AP=a, BU=b et PÛ= d. AP et PQ étant les perpendiculaires abaissées des points A etB sur la ligne PQ.

On doit se rappeler, pour résoudre ce problème, que Tinten-

iU ÉQUATIONS DO SECOND DBtiRft.

site de la lumière est en raison inverse^du carré de la distance du point éclairé au point lumineux, de sorte qu'une lumière

d'intensité t éclaire à la distance x avec une intensité -r^.

On doit avoir, par conséquent,

ou en désignant PX par x, et, par conséquent, QX par d — x

fli + o;! — 6»+(d— ar/ ou, en chassant les dénominateurs,

Sans entrer dans les détails de la solution de cette équation et des conditions de possibilité du problème, cherchons à interpréter les solutions négatives qu'elle peut avoir. En désignant par — a une solution négative , on doit avoir

ce qui est précisément Téquation que Ton aurait dû écrire si , cherchant le point X à gauche de P, on avait désigné par « sa distance inconnue au point P. Les solutions négatives fournissent donc des solutions du problème proposé, pourvu que l'on porte la longueur qu'elles représentent à gauche du point P, c'est-à-dire dans un sens opposé à celui qui correspond aux solutions positives.

RÉSUME

8)$. Résolution de Téquation <w5*-f-6x-j-c=0. — 86. La formule trouvée

dépend de Texpression v/6*— 4ac et est , par conséquent , susceptible de deux valeurs distinctes. On exprime ce résultat en disant que l'équation du second degré a deux racines. — 87. Lorsque v/6* — 4 oc est négatif, \)b^ — 4ac ne représente aucun nombre positif ou négatif; on

dit alors que les racines sont imaginaires. — 88. Si sjh^ — ka/a est nul, il n*y a qu'une seule racine; mais on dit qu'il y a deux racines égales. — 80. Indication des motifs qui font adopter ces locutions. — 80. Bans

tous les cas , on peut dire que l'équation du second degré a deux racines. — 91. Expression de la somme et du produit des racines. — 92. Trouver deux nombres connaisi^ant leur somme et leur produit. — 85. Le premier membre d'une équation du second degré qui a pour ra« dnes (cf eiaf peut être mis sous la forme (x — af) (x-^af), — 84. Autre démonstration du même théorème. — 8(S. Forme du premier membre lorsque les racines sont imaginaires. — 96. Si les deux racines sont ^ales , le premier membre est un carré. — 87. Les relations qui donnent la somme et le produit des racines permettent de prévoir leurs signes sans résoudre i*équation, pourvu que Ton soit assuré qu'elles ne sont pas imaginaires. — 88. Équation dont les racines sont données. — 99. Examen du cas où le coefficient de a:^ est nul ou très-petit. — 100. Application à un exemple. — ICI. Solution de quelques problèmes. Cas où une racine positive doit être rejetée comme solution étrangère. Cas ou une racine négative s'interprète.

EXERCICES

L Former la somme des carrés, la somme des cubes, la somme des quatrièmes puissances et la somme des inverses des quatrièmes puissances des racines de Téquation

n. Conditions nécessaires pour que la fraction

Aa;«+Rg+C

soit indépendante de x.

m. Si l'on a

Aa:«+Rg+C __ Ay'+By+C Aj^+Bz+C A!a^+«œ+G ~ Ay+B'y+C' "" A'z*+B'js+C"

deux des nombres x^ y, z sont égaui entre eux, à moins que

Ton n'ait