ÉQUATIONS

forme Va-[-v/ï en une somme de deux radicaux simpres, et poser

X et y étant commensurables, sans cela, la transformation n'aurait aucun avantage. On a, en effet, en élevant au carré les deux membres de l'équation [1],

équation à laquelle on satisfera évidemment si l'on pose

et par suite

D'après ces deux équations [4], x eiy sont (95) les deux racines de réquation

c'est-à-dire a+s/M

Si donc a" — b est un carré, les valeurs de n? et de y seront rationnelles et la transformation sera effectuée par la formule

[6] VHvr=v/^^^^^+^^

— t/a*— ft

Cette formule [5] est vraie quels que soient a et 6, maïs il n'y a avantage à remployer que si a*— é est un carré.

104. Remarque I. La démonstration de la formule [5] laisse subsister une difficulté sur laquelle il convient de revenir.

QUI SB KAMÈNINT A CSLLIS DU SECOND DlOlti. 121

L'équalion à laquelle il faut satisfaire étant

Nous avons commencé par lui substituer la suivante,

que l'on obtient en élevant ses deux membres au carré. Or cette équation [2] est plus générale que la proposée, elle pourrait être satisfaite si l'on avait

Hais si nous convenons de prendre les radicaux avec le signe -|-9 cette dernière égalité deviendra impossible et l'équation [2] devient alors complètement équivalente à [1]. Il est évident que Ton y satisfera, en posant

Lorsque» à ces deux équations, nous substituons

il se présente une difficulté analogue à la précédente; Téqua-

tion b=z4xy est plus générale que ^=2^xy et pourrait être

satisfaite si l'on avait —^b=2^xy; mais la difficulté disparaît encore, si l'on convient que tous les radicaux sont positifs.

iWS. RnuRQUB n. Si Ton avait à transformer >Ja—)fb on poserait

ou a — v^6=:a?+y — 2v/^,

et PoQ y satisfera évidemment en posant

tSâ iQUATlONS

qui ne diffèrent pas des équations [4]. x et p ont donc les mêmes valeurs que dans le cas précédent, et l'on a,

106. Remarque ID. Pour satisfaire à Téquation nous avons posé [3] a = a? + y>

il est évident, en effet, que ces deux équations entraînent la proposée, mais on peut démontrer, en outre, qu'elles sont nécessaires si l'on suppose que a, b^xely soient rationnels. En général, si l'on a

a, by a\ V étant rationnels, il faut que a et 6 soient respectivement égaux hd ei V. On déduit, en effet» de [1]

et, en élevant les deux membres au carré,

b = (a'— aj«4- 2 [a!— a) ^jV+V:

le premier membre est commensurable, et si Ton n'avait pas a'^s^a^ le second ne le serait pas; a doit donc être égal à c/, et il faut, par suite, que b soit égal à V. Pour appliquer ce résultat à réquation [2], il suffit de remplacer d par x-^-y et b

par Axy^ CdX^yJxy^yjAxy.

Quelques exemples d'équations simultanées de degré supérieur au premier.

i07 . La résolution des équations simultanées est une des questions les plus compliquées de Falgèbre. Nous u'avons pas l'intention d*en aborder ici la théorie générale, nous nous bornerons à traiter quelques cas fort simples.

QUI SB RÀMÈNEKT A GILLIS DU SECOND DBGRi. 1S8

On peut résoudre deux équations à deux inconnues, Tune du premier et Vautre du second degré.

Soit, en effet, le système

[1] ax'\-by=e,

[2] Ay*-}-ftry+(ip«+Dy+Ej?+F=0.

On déduit de Téquation [1]

En portant cette valeur dans Téquation [2], on obtiendra une équation du second degré en a: , qui fournira, pour cette inconnue , deux valeurs , à chacune desquelles , correspondra une valeur de y fournie par la formule [3].

i08. Nous résoudrons encore quelques systèmes simples , pour faire connaître des artifices fréquemment employés. !• Soit le système ic"y+y'â:=30,

ou, en chassant les dénominateurs de la seconde équation ,

Si donc on considère rry et a? -f y comme deux inconnues u ett^, <m aura,

La seconde équation donne v=:-u; en substituant cette va-

leur dans la première , elle devient

ou u^ = 36y

«tonenoonelnt, vattdrs.

124 EQUATIONS

Il faut adopter le même signe pom* la valeur de u et pour

celle de t^, puisque v = ^u.

Si nous adoptons les valeurs tf = 6, v = Sy on a

ooy = %^

d'où Ton déduit pour â? et y les valeurs 2 et 3, Si nous adoptons 1^=— 6, ti=— 5, on a

d'où Ton déduit pour xeiy les valeurs —6 et !• 2* Soit encore le système

4y* — xy=zx.

La première équation devient , si Ton chasse les dénominateurs ,

4a:«+ (4+y)ya:»= (8 +4y)a?y*+ 12y* ,

que l'on peut écrire ,

le premier membre étant le carré de a?(2-|-y) — 2y'y cette équation peut s'écrire,

[a:(2+y)-2y^«=(4yV; ce qui équivaut à

ir(2+y)-.2y«=±4y«.

Nous pouvons donc , au système proposé, substituer les deux suivants :

a<2+y)— 2y«=4y* a?(2+y)— 2y«=— 4y* 4y* — xy=x 4y* — xy=^Xj

que l'on résoudra sans difficulté en résolvant la seconde équa-

QUI S£ RAMÈNKNT À CBLLI8 DU 6KC0ND DIGKÉ. 125

tion par rapport à â? , et reportant la valeur trouvée , dans la première.

i09. Quelques problèmes sont considérablement simpliQés par un choix habile de l'inconnue. En voici un exemple :

Trouver quatre nombres en proportion ^ connaissant la somme des moyens 2s, la somme des extrêmes 28', et la somme des carrés des quatre termes 4q.

Prenons pour inconnue le produit x des moyens, leur somme étant 2«, ils sont (9fi) racines de Féquation

et égaux, par conséquent, à

On verra, de la même manière, que les extrêmes sont

En formant la somme des carrés de ces quatre expressions , on trouve

l'équation du problème est donc

d'où Ton déduira la valeur de Xy et, par suite, les quatre termes de la proportion qui sont , tout calcul fait,

*'H"V^? — **> s + V^g — «'•) s — sjq — «'% sf — ^q — «•.

n est naturel de prendre pour inconnue le produit des Wîoyens, parce que ce produit, pour chaque proportion, n'adlûel qu'une seule valeur. Si l'on cherchait, par exemple, à déterminer un des moyens , onPdevrait les trouver tous les deux Pnr le même calcul , car rien ne les distingue dans l'énoncé, l'équation serait donc au moins du second degré.

iW ÉQUATIONS

i 10. Nous donnerons encore la solution du problème suivant : Trouver une proportion connaissant la somme 4s de ses termes , la somme 4qde leurs carrés et la somme 4c de leurs cubes.

Prenons pour inconnue la différence 4x entre la somme des extrêmes et la somme des moyens, soient y le produit des extrêmes et a, 6, c, d les quatre termes de la proportion, on a

d'où l'on déduit, a+6=25+2^ ,

comme Ton a , ab=y ,

cd=y^

on en déduit (92) pour a, b, c, d les valeurs

«-f aî+ v(M-^?-^ >

La somme des quatre carrés est , comme on le calcule fadlement ,

et la somme des quatre cubes ,

ce qui foiurnit les équations,

que Ton résoudra sans difficulté.

RËSUMË.

102. Résolution de l'équation bicarrée; elle peut avoir les quatre racines réelles, deux racines réelles et deux imaginaires , ou quatre racines