NOTIONS SUR LES SERIES
Définitions.
195. Une série est une somme composée d'un nombre illimité de termes.
On dit qu'une série est convergente lorsqu'il existe une limite dont la somme de ses termes s'approche indéfiniment à mesure que l'on en considère un plus grand nombre.
Une série qui n'est pas convergente est dite divergente. Une série divergente ne représente rien et ne peut ôlre d'aucun usage en analyse.
Exemple. Une progression par quotient est une série convergente, lorsque sa raison est moindre que l'unité. On a vu, en effet (146), qu'en supposant q moindre que l'unité, la somme
a-f-^ + û^^H" ••• + aç^+clc.
s'approche indéfiniment de la limite .
Une progression indéfinie dont la raison surpasse l'unité est évidemment divergente.
iOe. Pour qu'une série soit convergente, il faut que ses termes approchent indéfiniment de la limite zéro. Mais cette condition est loin d'être suffisante. Pour le prouver, nous allons faire voir que la série
dont les termes diminuent indéfiniment, est cependant divergente. En effet, la somme
NOTIONS SUR LKS S£Hi£S. 221
est, quel que soit n, plus grande que -, car elle se compose de
n termes, tous plus grands que ^ ; on peut donc, à partir d'un terme quelconque y prolonger assez la série [\] pour que sa somme augmente de -, et il est évident qu'en prenant un nombre suffisamment grand de groupes, tels que [2], on obtiendra autant de fois qu'on le voudra une somme plus grande que -, et le résultat pourra, dès lors, surpasser toute limite assignée.
197. Il n'est pas toujours facile de décider si une série est convergente ou divergente. Nous nous bornerons à indiquer une règle fort simple qui permet de prononcer dans un grand nombre de cas.
Théorème. Vne série à termes positifs est divergente, lorsque, à partir d'une certaine limite, le rapport d'un terme au précédent est plus grand que l'unité. Elle est convergente lorsque, à partir d'une certaine limite, ce rapport est constamment moindre qu'un nombre fixe plus petit que l'unité (il ne suffirait pas qu'il fût constamment moindre que Punité),
1° Si, à partir d'une certaine limite, le rapport d'un terme au précédent surpasse l'unité, il est évident que les termes vont en croissant , et que , par suite, leur somme augmente sans limite ;
2® Considérons la série
«1 + Wt + î«8 + • • • + ^n + t*n+l + e te ,
Supposons qu'à partir du terme de rang n , le rapport d'un lerme au précédent soit constamment moindre qu'un nombre K inférieur à Tunité, en sorte que Ton ait
Un
222 ROTIONS StR LKS^ÉEltS.
on déduit des inégalités [1] :
«Wt<Kfi,
en sorte que les termes de la série proposée, à partir dun*^, sont moindres que ceux de la progression décroissante
et il est impossible, par conséquent, que leur somme croisse sans limite. Lors donc qu'on prendra un nombre de termes de plus en plus grand dans la série proposée, la somme, qui va sans Cesse en augmentant) puisque les termes sont positifs, ne pourra cependant pas surpasser tout nombre donné. Il est dès lors évident qu'elle a une limite, précisément égale au plus petit des nombres qu'elle ne peut jamais surpasser.
198. Hbmarqob I. La démonstration précédente serait en défaut si Ton avait A:= 1 ; dans ce cas, il y aurait doute, et la série pourrait être convergente ou divergente.
199. Remarque II. La démonstration précédente fait connai- . tre une limité de Terreur commise quand on s'arrête dans la
sommation d'une série à un terme d'un certain ordre. Soit en effet la série
Supposons qu'à partir du terme «n, le rapport — soit con-
stamment moindre que A, les termes Wn+i, «n+i... seront (199) moindres que
et, par suite, la somme des termes négligés en s'arrétant à u^
NOTIONS SUR LES SfiàlBS. tS3
sera plus petite que
hUn
c'est-à*dire que
200. Rbiurqub. Si, dans une série dont les termes ne sont pas tous de môme signe, le rapport d'un terme au précédent est, à partir d'une certaine limite, moindre, en valeur absolue, qu'un nombre k inférieur à Tunité, on peut, a fortiori^ affirmer que la série est convergente. U est facile de voir, en effet, qu'une série à termes positifs étant convergente , elle le sera encore lorsque , les termes gardant la même valeur absolue , une partie d'entre eux changera de signe. Le caractère d'une série convergente consiste, en effet, en ce que l'on peut y prendre un assez grand nombre de termes pour que la somme des suivants, prolongée autant qu'on le veut, soit inférieure à toute limite donnée; or, si cette condition est remplie par une série à termes positifs, elle le sera a fortiori par la série composée des mêmes termes dont les uns seront ajoutés et les autres retranchés.
201 . TaioRÈMB II. Si les termes d'une série sont alternativement positifs et négatifs , et qu'ils décroissent indéfiniment , la série est convergente.
Soit, en effet, la série
les termes «ot ^^ ^9 ••• allant toujours en diminuant, de telle sorte que chacun soit plus petit que le précédent, et que «u puisse devenir aussi petit qu'on le voudra, si n est suffisamment grand.
Nommons Sq, Si, Sj, ... S« les diverses sommes obtenues en arrêtant la série, successivement, au terme tio» au terme u^... au terme te». Si nous représentons les sommes par des longueurs portées sur une droite à partir d'un point 0 , elles formeront la figure suivante :
U 01 Os iSg 1^7 iSg Oe 04 Ot Sq
La première, So, est la plus grande de toutes. Si, étant égal à
224 NOTIONS S<JH LES SÉUIES.
Wo — Wi, est moindre que Sq; Sj, étant égal à Si+w,, est plus grand que Si , mais moindre que Sp : car, pour la former, on a ajouté à So, — Vi + Ui, qui est négatif; S3 est moindre que Si, mais plus grand que Si : car, pour la former, on a ajouté à Si , Wî — «8, qui est positif; ainsi de suite. Les sommes Si, Ss, Sj... forment une série croissante, et S« , Sj, S* ... , une série décroissante. D'ailleurs, les termes de la première série n'augmentent pas indéfiniment, car ils sont tous plus petits que les divers termes de la seconde série, et, dès lors, il est évident que ces termes ont une limite, qui est précisément le plus petit nombre, qu'ils ne peuvent pas dépasser. De même, les termes de la série décroissante So, Ss, S4 ... ont une limite, qui est le plus grand nombre, auquel ils restent constamment supérieurs; et enfin les deux limites sont les mêmes : car on a
Sfn Stn— 1 = Wîn ,
et, par suite, la difTérence entre deux termes correspondants des deux séries à indices pairs et impairs , peut devenir aussi •petite que Ton voudra.
202. Remarque. Quand une série dont les termes ne sont pas tous positifs est convergente, indépendamment du signe de ses termes, on peut, évidemment, la considérer comme la différence des deux séries convergentes , dont Tune serait formée par les termes positifs, l'autre par les termes négatifs. Mais il faut bien se garder d'étendre cette remarque aux séries qui deviendraient divergentes si tous leurs termes étaient positifs. On serait ainsi conduit à des erreurs graves. . Nous nous bornerons à citer un exemple. Les séries
sont composés des mêmes termes positifs :
NOTIONS SUR LES SiftIES. 225
et des mêmes termes négatifs :
Pourtant, leurs sommes sont très-différentes. On voit, en effet, qu'en s'arrétant , dans toutes deux , au terme , la première contient, de plus que la seconde, les termes négatifs :
et la somme de ces n — 1 termes, dont le moindre est r — r,
surpasse en valeur absolue
c'est-à-dire ô* I^ différence des deux séries prolongées indéfiniment surpasse donc certainement ^.
RÉSUMÉ
195. Ce qu'on appelle série, convergente et divergente. Une progression par quotient est convergente quand la raison est plus petite que l'unité, divergente dans le cas contraire. — 196. Les termes d'une série peuvent décroître indéfiniment sans que la série soit convergente. — 197. Une série dont tous les termes sont positifs, est convergente lorsque le rapport d'un terme au précédent est à partir d'une certaine limite moindre qu'un nombre fixe moindre que l'unité. — 198. Il ne suffirait pas que le nombre fixe fût égal à l'enité. — 199. Limite de l'erreur commise quand on s'arrête à un terme donné. — 200. Lorsqu'une série à termes positifs est convergente, elle ne cesse pas de l'être lorsqu'on change le signe d'une partie de ses termes. — 201. Une série dont les termes sont alternativement positifs et négatifs est convergente quand les termes décroissent indéfiniment. — 202. 11 ne faut pas toujours considérer une série comme la différence entre les sommes de ses termes positifs et celles de ses termes négatifs.
est une série convergente quand m est plus grand que Tunité, et divergente dans le cas contraire.
226 NOTIONS SOR LIS StaUS.
n. La série, à tenues positifs,
est convergente si 7^ a une limite moindre gup. l'unité.
m. Prouver la convergence de la série
par Tapplication de la règle précédente. .
