CHAPITRE XIV
C^AIiCUL DES VALEURS ARITHlIfiTIQUES DES RADICAUX.
183. L'expression "yja représente un nombre dont la puissance fnT" est égale à a. Si nous nous bornons à considérer les nombres
positifs, IJâ a, d'après cette définition, une valeur unique et déterminée ; mais les conventions faites en algèbre nous obligent, dès à présent, à lui attribuer un sens plus étendu.
1* Si a est positif, et que m soit pair, la puissance mr* du nombre négatif, égal en valeur absolue à V^, sera égale à a ; car un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif.
Vâadmet donc, dans ce cas, deux valeurs ^ales et de signes contraires.
Exemple. y/Â représente à la fois , d'après nos conventions ,
— 2 et 2 : car les deux nombres ont Tun et l'autre 4 pour carré.
2* Si a estj[>ositif et m impair, il n'y a pas lieu, pour le mo-
ment y d^ttribuer à y^ une signification plus générale qu'en arithmétique.
S"" Si a est négatif et m pair, ^â ne représente aucun nombre positif ou négatif, car les puissances paires d'un nombre sont toujours positives.
4» Enfin, si a étant négatif et égal à — a', m est impair, V — cf
représente un nombre négatif égal à — V»^» et Ton a
En effet, m étant impair, la puissance tnr* de —7^ sera -a'.
Exemple. Ù^ = — 2.
Car le cube de —2 est —8.
Ces généralisations sont, en algèbre, d'une grande împor-
CALCUL DBS VALEURS ARITHMÂTIQUES DBS EADICAUX. 205
tance; elles recevront plus tard de grands développemenls. Nous avons déjà rencontré leur utilité à l'occasion des équations du second degré; il nous a paru utile de les rappeler, mais il n'en sera plus question dans le reste de ce chapitre : nous y considérerons seulement les racines positives des nombres positifs.
Simplification d'un radical.
184. Lorsque le signe radical porte sur un nombre élevé luimême à une puissance , on peut souvent lui faire subir une simplification.
l^" Si rindice de la racine est égal au degré de la puissance, les deux opérations se détruisent. Ainsi Ton a
2* S'il existe un facteur commun à l'indice de la racine et à Texposant de la puissance, on peut le supprimer. Ainsi Ton a
Pour le prouver, il suffit de remarquer qu'en élevant ces deux expressions à la puissance mp, on obtient des résultats égaux. On a en effet
Toutes ces formules sont évidentes, si on se rappelle (voy. Y Arithmétique) que la puissance mp d'un nombre est égale à la puissance m™ de sa puissance p°**.
4'' S'il se trouve, sous un radical, un facteur dont l'exposant soit égal à Tindice de la racine on peut le faire sortir du radical en supprimant son exposant. Ainsi l'on a
Pour le prouver, il suffit de remarquer qu'en élevant ces deux expressions à la puissance n, on obtient des résultats égaux, car on a
{aybY = a-0/ày:=a'^b.
306 CALCUL DES VALEUBS ARUHMÉTIQDBS DES RADICAUX.
Ces formules sont évidentes si on se rappelle que la n""* puissance d'un produit est le produit des n"^ puissances des facteurs.
Puissance d'un radical.
188. Pour former une puissance d'un radical, il suffit d'élever à cette puissance le nombre placé sous le radical. Ainsi Ton a
Pour le démontrer, il suffit de remarquer que la puissance m»* de ces deux expressions est la même. On a en effet
[(V^]«=(v-ar=L(-^rr==a^
Toutes ces égalités sont évidentes, si Ton se rappelle que la puissance wl^ de la puissance n*» d'un nombre est égale à sa puissance wn»* (voy. V Arithmétique).
Racines d'un radical.
186. Pour extraire la racine m"« d*un radical, il suffit de multiplier l'indice par m ; ainsi Ton a
Pour le prouver, il suffit de remarquer que ces deux expressions élevées à la puissance mn donnent des résultats égaux ; on a en effet
rv^r=[rvvï)"r-(Vi)"=«.
Réduction de plutieurs radicaux au même indice.
187. Op peut remplacer deux radicaux quelconques "sfa et \Jh par deux autres de même indice.
. On a en effet (184) V« == V^.
Calcul des valbuis aeithmétiquis des AADiCàUX. WT
Un nombre quelconque de radicaux y a, \% y c, ^d peuvent être ramenés à l'indice commun fnnpq^ On a en effet
On peut même. donner h plusieurs radicaux un indice commun égal au plus petit multiple commun de leurs indices. Soient par
exemple deux radicaux y/a et )/b^ et (a un multiple de m et de n, de telle sorte que
on aura évidemment
Produit de plusieurs radicaux*
188. Pour multiplier plusieurs radicaux de même indice, il suffit de multiplier les nombres placés sous ces radicaux et d'affecter le produit de l'indice commun.
Ainsi Ton a
pour le prouver, il suffit de remarquer que ces deux expressions ont même puissance m' ; on a en effet
(!^slâbcf=ahc.
Si l'on veut multiplier des radicaux quelconques , on les ramènera au même indice, et on appliquera ensuite la règle précédente.
Exemple. On a
306 CALCUL DKS VALEUBS ARUHMÉTIQUBS DES RADICAUX.
Ces formules sont évidentes si on se rappelle que la w™* puissance d'un produit est le produit des n"^' puissances des facteurs.
Puissance d'un radical.
188. Pour former une puissance d'un radical, il suffit d'élever à cette puissance le nombre placé sous le radical. Ainsi Ton a
Pour le démontrer, il suffit de remarquer que la puissance tnr* de ces deux expressions est la même. On a en effet
[(Vâ^r = CfaT = [(Tan = a^
Toutes ces égalités sont évidentes, si Ton se rappelle que la puissance m"* de la puissance n"" d'un nombre est égale à sa puissance mn«* (voy. Y Arithmétique).
Racines d'un radical.
186. Pour extraire la racine m""* d*un radical, il suffit de multiplier l'indice par m ; ainsi Ton a
Pour le prouver, il suffit de remarquer que ces deux expressions éleyées à la puissance mn donnent des résultats égaux ; on a en effet
rv^r=[rvv5)"r=.(vi)"=«.
Réduction de plusieurs radicaux au même indice.
187. Op peut remplacer deux radicaux quelconques "sja et s/b par deux autres de même indice.
. On a en effet (184) V^= V^»
CALCUL DES ¥ALBUR8 ARITHMÂTIQUIS DBS lÀDICàUX. WT
Un nombre quelconque de radicaux ^a, V^» V^j V^ peuvent être ramenés à l'indice commun mnpq^ On a en effet
On peut même^donner à plusieurs radicaux un indice commun égal au plus petit multiple commun de leurs indices. Soient par
exemple deux radicaux ^a et \/b^ et (a un multiple de m et de fiy de telle sorte que
on aura évidemment
Produit de plusieurs radicaux.
188. Pour multiplier plusieurs radicaux de même indice, il suffit de multiplier les nombres placés sous ces radicaux et d'affecter le produit de Tindice commun.
Ainsi Ton a
')ja'yi)'sjcz=z'sjabc\
pour le prouver, il suffit de remarquer que ces deux expressions ont même puissance m' ; on a en effet
'â6c)**= abc.
Si l'on veut multiplier des radicaux quelconques , on les ramènera au même indice, et on appliquera ensuite la règle précédente.
ExsBfPLB. On a
,a06 GiLCUL DK8 VALEURS AR1THMÈT1QUS8 DES RADICAUX.
Quotient de deux radicaux.
188. Pour diviser, Tun par Tautre, deux radicaux qui ont même indice, il suffit de diviser les nombres placés sous ces radicaux et d'affecter le quotient de Findice commun.
Ainsi Ton a ^^Vl'
Pour le prouver, il suffit de remarquer que ces deux expressions ont même puissance m' ; on a en effet
Si Ton veut diviser, Tun par l'autre , deux radicaux quelconques, on les ramènera au même indice et on appliquera ensuite la règle précédente.
ExBMPLB. On a
Notation des exposants fractionnaires.
190. Les résultats précédents peuvent s'énoncer plus simplement si Ton convient de représenter ^cT par a**, en désignant — sous le nom d'exposant de a.
Avant de montrer l'avantage de cette notation dans l'énoncé des propositions précédentes , nous ferons remarquer qu'elle
n'implique pas contradiction , et que , Fexpression a* conserve la même valeur, si on y remplace — par une fraction égale. En
d'autres termes, si Fou a
on aura aussi
c'est-à-dire v^a* = vu*"' ;
pour le déjjiontrer, réduisons ces deux radicaux au môme indice, ils deviendront
ce qui est idenliquemenl la même chose, puisque l'égalité
- = —7 entraine évidemment mn^ = 7n'n, n n
191. Nous allons montrer que cette nouvelle notation permet de généraliser plusieurs théorèmes.
1° On a (i88) ( y «^/ = v â'«^
ou, dans noire nouvelle notation,
Va*'/ =0*;
donc, pour élever une puissance fractionnaire a" à une puissance entière p, il suffit de nmltiplier son exposant par/?;
2» On a (186) Vi/û'"=7«^
ou, dans notre nouvelle notation,
donc, pour élever une expression a** à la puissance -, il suffit
de multiplier son exposant par - ;
3» 0na(i88, 186) v/(Ç/a«/=- v^Ç^a'^=''V«"'' ouy dans notre nouvelle notation,
s 10 CALCUL MES YALBOAS AtlTBIlÉTIQDBS DBS RÀDICAOX.
donc, pour élever une expression a" à la puissance ", H mffU
de multiplier son exposant par - .
Cette dernière proposition comprend les deux précédentes qui en résultent évidemment si l*on faitp=l ou g==l. Elle est d'ailleurs facile à retenir,^ à cause de son analogie avec une proposition relative aux puissances entières.
4» On a (188) v^X yjâ^='yj^^^^, ou, dans notre nouvelle notation.
ç Mf-i-»^ 5 + ?!.
a'"Xa'' = a *♦ =à* «;
donc, pour multiplier deux puissances d'un même nombre^ il suffit d'ajouter les exposants.
5** On a (189) ^7= = ^7=^ = 1/ -ir.
Si l'on suppose mq>npy cette égalité peut s'écrire ou» dans notre nouvelle notation,
Si l'on remarque que l'on a supposé mq > np, et, par suite, - >^, ce résultat peut s'énoncer ainsi : pour diviser une puissance d'un nombre par une autre puissance de moindre exposant ^ il suffit de retrancher les exposants.
Comme dans les cas précédents, l'analogie est complète avec les théorèmes relatifs aux exposants entiers.
ExposaaU négalifii.
10^. On représente souvtot l'expression — par or"*, m dé-
Calcul des valeurs ARiTHMinQUEs des radicaux. 211
signant, ici, un nombre positif entier ^u fractionnaire. Cette notation permet, comme on va le voir, de généraliser encore davantage les théorèmes énoncés plus haut.
Remarquons d'abord que Tégalilé [1] «^=-4
ayant lieu, par définition, quand m est positif, est vraie, par cela même, pour des valeurs négatives de iw ; si l'on suppose, en effet, m= — w', — »i deviendra m', et la formule [1] se changera en
ou, en remplaçant ar^' par sa valeur -;jj7,
ce qui est évidemment exact.
La convention précédente permet, comme nous l'avons dit » de généraliser différents théorèmes :
1° La formule
n'a été démontrée (iOl, 6*) que pour m>7i; elle est vraie lors même que m<^n; en effet, on a évidemment dans ce cas
or, d'après notre convention,
a on a donc enfin.
[8] Tn-<*'^'
2i2 CALCUL DiilS VAL£tRS AUITUMKTIUUKS DKS HADICAUX*
Remarque. Si l'on supposait «w=w, — serait égal à Tuiiité, et
fjm-n deviendrait a*, si donc nous \oulons que la formule [2] s'étende à ce cas, il faut convenir de regarder la puissance zéro d'un nombre comme égale à l'unité. C'est là une convention, et il n'y a pas lieu à démonstration.
2° On a (iOi, 3°) la formule
[3] {oT) " = a«% ^
quels que soient les nombres positifs m et n. Cette formule est encore vraie si l'un des deux , ou tous les deux , son! négatifs. Supposons d'abord m positif et n négatif, égal à — w', la fornple [3] devient
ou , d'après nos conventions ,
ce qui est exact, puisque (a*")"' = a"*»*'.
Supposons m négatif égal à — »»' et n positif: la formule [3] devient
ou , d'après nos conventions ,
ce qui est évidemment exact.
Supposons enfin m et n négatifs et égaux h —m! et — n': la formule à démontrer devient
or, d'après nos conventions ,
ce qui démontre encore la formule [3] dans ce dernier cas.
CALCUL DES VALKURS ARITHMiTIQDKS DRB RADICAUX. 2i3
3» On a (toi , 4»)
[4] a'^Xa''==ar+'',
quels que soient les nombres positifs m et n.
Cette formule est encore vraie si Tun des deux nombres m et n ou tous les deux sont négatifs. Supposons d'abord m positif et n négatif égal à — n'; cette formule deviendra
Remplaçons a"*"' par —^ , elle devient
fv
ce qui a été démontré (192).
A"" Supposons maintenant m et n négatifs et égaux à — m\ — n' : la formule [4] devient
ce qui est évidemment exact.
b"" La formule [4] entraine évidemment la suivante •
car en remplaçant — par sa valeur a"*, cette dernière devient
a*" X «"* = «*•"'• ou, ce qui est la même chose ,
qui a lieu (d""}, quels que soient les nombres, positifs ou négatifs, m et n.
Exposants incommensurables.
iOS. Il nous reste h définir l'expression a' lorsque x est un
214 GALCnL DBS VALEURS ARITHMÉTIQUES DES RADICAUX.
nombre incommensurable; on doit, dans ce cas, adopter la définition suivante :
a* est la limite vers laquelle tendent les puissances de a , dont l'exposant commensurable s'approche de plus en plus deœ.
Cette définition est très-simple, mais elle exige quelques développements. On pourrait, en effet, se demander si la limite est bien déterminée et si , quelle que soit la série des exposants commensurables qui s'approchent indéfiniment de X, la limite des puissances de a est toujours la même. Pour le démontrer, il faut établir quelques propositions.
J° Toutes les puissances commensurables d'un nombre positif
sont positives. Cela résulte de ce que, comme nous l'avons dit,
nous ne considérons que les valeurs positives des radicaux. 2° Toutes les puissances positives d'un nombre plus grand que
l'unité sont elles-mêmes plus grandes que l'unité et toutes les puissances négatives sont moindres que V unité.
Le contraire a lieu pour les puissances d'un nombre moindre que Punité.
' Soit en effet a un nombre plus grand que l'unité et a^ une puissance positive de a, on a , par définition ,
or» a étant plus grand que l'unité , il en est évidemment de même de la puissance entière a*", et par suite de y/a^»
Les puissances positives de a étant plus grandes que Tunité, l'égalité
montre que les puissances négatives, qui sont leurs inverses, sont moindres que l'unité.
Enfin , si Ton suppose à a une valeur moindre que l'unité ,
on peut le représenter par -7 , a' étant plus grand que l'unité ,
et l'on aura alors
et il iest évident que les valeurs de x^ qui rendent a! plus grand que Tunité, rendent a' plus petit, et réciproquement,
3* Si X reçoit des valeurs commensurables croissantes ^ F exprèssion a' varie toujours dans le même sens , elle augmente si a est plus grand que runité, elle diminue dans le cas contraire.
Soient, en effet, 2? et q deux valeurs commensurables positives ou négatives, attribuées successivement à a?, on a (i03)
or, q ->-|> est positif , puisque , par hypothèse , q est plus grand que p; si donc a est plus grand que l'unité , il sera de même de a«-p, et , par suite , on aura a' >a^. Si , au contraire , a est moindre que l'unité , il en sera de même de a'-*, et l'on aura a'^<ja^. Dans le premier cas , a* augmente par conséquent quand X passe de la valeur p à la valeur g, et il diminue dans le second.
4'' On peut dans l'expression a* donner à l'expression eommen^ surable x un accroissement assez petit pour que a* varie aussi peu qu'on le voudra.
Soit m une valeur commensurable quelconque de a; ; je dis que Ton peut augmenter m d'une quantité a assez petite pour que la différence
soit aussi petite qu'on le voudra.
On a a''^ = a'^'Xa'',
et , par suite , a'*»+«— 0"* =: a"» (a« -- 1),
a* est un nombre indépendant de a. Il suffit donc de prouver que a*— 1 peut être rendu aussi petit qu'on le voudra pour des valeurs suffisamment petites de a. Supposons d'abord a plus grand que l'unité. Quelle que soit la valeur positive de a, «• sera toujours (195) plus grand que l'unité, Poiur montrer qu'il en approche autant qu'on veut , il suffit de fair^ voir qu'il peut devenir plus petit qu'un nombre quelconque 1 -f* « supérieur à l'unité, et que l'on peut choisir a de manière que
posons, en effet, « = 7;? Tinégalilé précédente devient ou , ce qui revient au même ,
Or, les puissances entières de (1 + e) forment une progression par quotient croissante,, dont les termes (140) peuvent surpasser toute limite. La dernière inégalité est donc toujours possible , et , par suite , la proposition est démontrée dans le cas de a > 1 . Si a est moindre que 1 , on le représente par-, a' étant plus grand que l'unité; a* sera alors
égal à -^ ; or, a'* différant , d'après ce qui précède , aussi peu
que Ton voudra, de l'unité, il en sera évidemment de même de a".
i94. Les remarques qui précèdent sont indispensables pour donner de a* une définition parfaitement rigoureuse dans le cas de x incommensurable. Chacune d'elles forme d'ailleurs une proposition qu'il serait indispensable de connaître quand bien même on ne s'astreindrait pas, comme nous l'avons fait, à ne laisser subsister aucune difficulté sur ce point important.
Nous dirons : a'' représente , pour une valeur incommensurable A, attribuée k x, un nombre compris entre les valeurs de a'' qui correspondent à des exposants commensurables moindres que A, et celles qui correspondent à des exposants plus grands que h. Cette définition, analogue à celle que nous donnons, en arithmétique, pour les racines carrées et cubiques, assigne à af" une valeur unique et déterminée.
Si l'on suppose, en effet, pour fixer les idées, que les valeurs de a* représentent des longueurs portées sur une ligne droite à partir d'une certaine origine, l'extrémité de celles qui correspondent à des valeurs de x moindres que h occuperont une certaine région de la droite ; celles qui correspondent aux valeurs de X plus grandes que h en occupent une autre, et il résulte des remarques précédentes que ces régions sont entière-
CALCUL DES VALEURS ARiTHMÈTlQUES DES RADICAUX. 217
ment séparées .S"), et qu'il ne peut cxisler entre elles aucun ^ intervalle d'étendue finie (4«), mais un simple point de démarcalion. La distance h laquelle ce point se trouve de Forigine mesure a*.
RÉSUMÉ
1 85. Définition de l'expression y a ; si n est pair, elle est susceptible de deux valeurs quand a est positif, et n'en représente aucune quand a est négatif. — 184. SimpliOcations d'un radical v/a" lorsque m et n ont un
facteur commun. Simplifications du radical y/a'^b. — 185. Puissances d'un radical. — 186. Racines d'un radical. — 187. Réduction de plusieurs radicaux au même indice ; on peut prendre pour indice commun le plus petit multiple commun des indices. — 188. Produit de plusieurs radicaux qui ont même indice ; on peut multiplier des radicaux quelconques en les réduisant au même indice. — 189. Quotient de deux radicaux qui ont même indice. — 190. Exposants fractionnaires. —
191. Celte notation permet de généraliser plusieurs théorèmes. —
192. Exposants négatifs. — 195. Exposants incommensurables. Principes nécessaires pour mettre la définition à l'abri de toute objection. — 194. Définition rigoureuce de a*.
satisfait à l'équation
iT* + 3/?a: -f aç' = 0.
U On a
