EMPLOI DES SIGNES BT DES LETTRES

or, cette dernière formule rend évident le second des théorèmes énoncés , « la surface d'un cercle est proportionnelle au carré de son rayon. » On pourrait donc se dispenser d'en faire un théorème distinct des deux autres, et, surtout, on ne doit pas en donner une démonstration directe.

Si l'on se bornait à énoncer les théorèmes sans en réduire les conséquences en formules , cette dépendance des propositions pourrait rester inaperçue.

Glassiflcation des formules.

4. Les expressions algébriques peuvent comprendre l'indication des six opérations : addition , soustraction , multiplication, division, élévation aux puissances, extraction des racines.

Une expression est ra^ionne//e lorsque aucune extraction de racine n'y est indiquée. Dans le cas contraire, elle est ùrationnelle.

Une expression rationnelle, qui ne contient l'indication d'aucune division , est dite entière. Dans le cas contraire , elle est fractionnaire* •

Une expression , qui ne contient Findication d'aucune addition ou soustraction , se nomme monôme.

Si l'un des facteurs d'un monôme est numérique, il reçoit le nom de coefficient.

Plusieurs monômes ajoutés ou retranchés forment un polynôme, dont il sont les termes. Deux termes d'un même polynôme sont dits semblables , lorsqu'ils ne diffèrent que par le coefficient. Dans ce cas , on peut toujours les réduire à un seul. Par exemple, si l'on avait, dans un même polynôme, les deux termes -f- 7a^b^ — Mb , on pourrait évidemment les remplacer par 2a'&.

Un polynôme composé de deux ou trois termes reçoit le nom de binôme ou de trinôme.

Exemples. va'-f-6'— v/a4-6+c, expression irrationnelle,

"5 — ■ , , expression rationnelle fractionnaire , a —H" o "["C

(a*-f-^* — 0(^'+^*)» expression entière et rationnelle,

lôo'ôVë, monôme dont 15 est le coefficient;

a'4-2a — b\/~c, polynôme.

ADDITION BT SOUSTRACTION.

Addition et soustraction.

IS. Les opérations algébriques se faisant sur des quantités littérales , il est impossible de les exécuter jusqu^au bout, et l'on doit se borner à les indiquer. Aussi le calcul algébrique consiste-t-il, seulement, à transformer une formule en ime autre plus simple, mais équivalente.

Exemple. Quand on substitue a' au produit a^Xa*, ou a-|-ft

à l'expression y/ a* + 2a6 + A«, on fait une opération algébrique , et Ton dit quelquefois , que Ton effectue ainsi le produit de a* par o', ou l'extraction de la racine carrée de

L'addition et la soustraction étant les plus simples des opé« rations, on conçoit qu'il n'y a pas lieu de les simplifier; aussi nous bornerons-nous à faire quelques remarques très-simples sur l'addition et la soustraction des polynômes.

!<* Une somme reste la même dans quelque ordre que l'on ajoute ses parties.

2** Un polynôme ne change pas de valeur, quel que soit l'ordre dans lequel on écrive ses termes. Il est égal en effet, dans tous les cas, à l'excès de la somme de ceux qui sont précédés du signe + sur la somme de ceux qui sont précédés du signe — .

3' Pour ajouter, à un nombre, la somme de plusieurs autres, il suffit de lui ajouter successivement chacun d'eux.

4" Pour ajouter, à \m nombre, la différence de deux autres, il suffit d'ajouter le premier et de retrancher le second du résultat.

5* Pour retrancher d'un nombre la somme de plusieurs autres, il suffit de retrancher successivement chacun d'eux.

6' Pour retrancher 'd'un nombre la différence de deux autres, il faut ajouter le second et retrancher le premier du résulfat.

En effet, une difl'érence ne change pas lorsqu'on ajoute un même nombre c à ses deux termes. L'excès de a sur b — c est donc le même que celui de a-f-c sur 6.

Ces principes s'expriment par les formules suivantes :

[2] a — h-\-c — 6? = c+fl — 6 — d\

[3] a4-(6 + (?4-dO = a4-&+(?-fd;

6. Les principes que nous venons d'énoncer conduisent aux règles suivantes :

Règle d'addition.

Pour ajouter à un nombre, un polynôme quelconque, il faut lui ajouter les termes précédés du signe -)- et retrancher les autres du résultat.

Soit, en effet, à ajouter à P, le polynôme

a — b'\-c — d — « + /*, ce polynôme (5 , 2*) est égal à

{a+c-\-r)-{b + d + e)\ or on a (8 , 4')

c'est précisément ce qu'il fallait démontrer.

Règle de soustraction.

Pour retrancher d'un nombre , un polynôme quelconque , il ' faut ajouter à ce nombre les termes qui , dans le polynôme, sont précédés du signe — , et retrancher les autres du résultat. Soit, en effet, à retrancher de P, le polynôme

ce polynôme (S, 2») est égal à

or on a (», 6*)

c'est précisément ce qu'il fallait démontrer.

Remarque. L'ordre dans lequel on écrit les termes d'un polynôme étant indifférent, on peut énoncer les règles précédentes en disant :

Pour ajouter à un nombre P, un polynôme quelconque , il faut écrire ses différents termes à la suite deP, en leur conservant leurs signes.

Pour retrancher d'un nombre P un polynôme quelconque , il faut écrire ses différents termes à la suite de P en changeant le signe de chacun d*eux.

Énoncé plus simple des résultais précédents.

7. La forme des résultats précédents peut se simplifier à Taide d'une convention très-utile en algèbre, qui consiste à regarder tous les termes d'un polynôme comme ajoutés les uns aux autres, en nommant nombres négatifs ceux qui sont précédés du signe — . Par exemple, on regardera la différence a— 6 comme résultant de l'addition de a avec — b ,

L'expression isolée ( — b) n'acquiert pour cela aucune signification; seulement on dit ajouter — 6 au lieu de dire retrancher b. On convient de même que retrancher — b signifie ajouter ô.

11 serait absurde de chercher à démontrer les formules [1] et [2] :. les définitions ne se démontrent pas. On peut remarquer, cependant, que la convention exprimée par la formule [2] est une conséquence toute naturelle de la première. Si l'on ne faisait pas, en effet, cette seconde convention, en ajoutant et retran-

10 ADDITION ET 80DSTBACT10N.

chant successivement — b h un nombre, les deux opérations ne se détruiraient pas.

8. Les deux conventions précédentes permettent de réduire la règle d'addition à l'énoncé suivant :

Pour ajouter deux polynômes y il faut ajoutée au premier tous les termes du second , quels que soient leurs signes.

Soient en effet les deux polynômes

a — b-^c et m — n+|î — g, leur somme est

a — b-{'C'\'m — n'\'p — g, ce qui équivaut, d'après nos conventions, à

a — b + c + m + {—n) + p + (—q), résultat conforme à Ténoncé.

9. Les mêmes conventions permettent de réduire la règle de soustraction des polynômes à renoncé suivant :

Pour retrancher un polynôme S! une quantité quelconque A, il suffit de RETRANCHER successivem&at ses différents termes.

Soit, en effet, à retrancher de A le polynôme m — n — p-f g, on a vu (6) que

A — (m — n — p-\-q) = ^ — «w + ^+P — Çl

ou, d'après nos conventions,

ce qui est conforme à l'énoncé.

Remarque. L'introduction des nombres négatifs permet d'énoncer, avec plus de concision, des résultats auxquels cette forme nouvelle n'ajoute absolument rien. Nous verrons que tel est toujours, en algèbre, le but de leur introduction*.

* Les eicplications qui précèdent sont absolument indispensables , elles n'ont rien de commun avec l'emploi des nombres négatifs pour représenter les grandeurs ; nous ne parlerons de cette autre théorie qu'k l'occasion des problèmes du premier degré.

ADDITION ET SODSTRACTIOIf. 11

iO. Si l'on considère une différence a— 6, et que Ton suppose b plus grand que a, l^opération est impossible ; on conyient alors de regarder l'expression a— 6, comme représentant un nombre négatif égal à l'excès de b sur a.

Cette convention est toute naturelle, et en ne la faisant pas on détruirait l'analogie complète qui existe entre les opérations relatives aux nombres négatifs et positib. Soit, en effet, d l'excès de b sur a, a — 6 est égal à a — (a-f-^) ; si donc on applique la règle de soustraction (9) , on aura

a — b = a — {a-\'d}=ra — a — d=z — d= — (b — a).

Remarque. Nous prouvons ainsi qu'il est naturel de faire la convention en question, mais nous ne démontrons pas la formule a — 6= — (6— a). Notre raisonnement, en effet, est fondé sur Tapplication d'une règle de soustraction, qui, jusqu'ici, n'a de sens que pour des soustractions possibles; il est naturel et commode de l'étendre à tous les cas, mais cela n'en est pas moins arbitraire.

ii. La convention que nous venons de faire permet de généraliser des résultats que Ton devrait sans cela énoncer avec restriction ; on a, par exemple,

C'\-a — ft = c+(a — b).

Cette formule est évidente lorsque a est plus grand que b. Notre convention la rend vraie dans tous les cas, car si a est moindre que ft, on a (a — 6) = — (6 — a), et par suite

On verra de même que la formule

devient vraie, par suite de nos conventions, lors même que c est moindre que a.

12. Remarque. Dans les questions d'algèbre, aei b désignent des nombres indéterminés et l'on ne sait pas quel est le plus

12 ADDITION IT SOCSTRACTION.

grand ; on comprend dès lors, combien il est important que les formules s'appliquent indifféremment à tous les cas et quelle est par conséquent Tutilité des conventions relatives aux nombres négatifs.

RËSUMË.

I . Le caractère de Falgèbre consiste en ce que l'on y étudie les opérations, indépendamment des nombres sur lesquels elles s'exécutent. — 2. Ce que Ton entend par formule algébrique. — 5. Divers avantages de l'emploi des formules : elles sont beaucoup plus simples à écrire que les théorèmes qu'elles expriment, et font souvent apercevoir, d'un coup d'œil, des conséquences qui exigeraient sans elles, une démonstration à part. Quelques exemples. — 4. Classification des formules ou expressions algébriques en rationnelles et irrationnelles, entières ou fractionnaires, monômes ou polynômes ; ce que c'est qu'un coefficient ; ce qu'on entend par termes semblables d'un polynôme. — 5. Addition algébrique: une somme reste la même dans quelque ordre que Ton ajoute les parties ; pour ajouter à un nombre la somme de plusieurs autres , il suffit de lui ajouter successivement chacun d'eux ; pour ajouter à un nombre la différence de deux autres, il suffit d'ajouter le premier et de retrancher le second du résultat. Pour retrancher d'un nombre la somme de plusieurs autres , il suffit de retrancher successivement chacun d'eux ; pour retrancher d'un nombre la différence de deux autres , il faut ajouter le second et retrancher le premier du résultat. Formules qui expriment ces principes.— 6. Règle générale d'addition et de soustraction des polynômes. — 7. Introduction des nombres négatifs pour simplifier l'énoncé des résultats précédents, ce qu'on entend par ajouter et retrancher un nombre négatif — 6, les conventions sont faites de telle sorte, qu'en ajoutant et retranchant successivement — 6 les opérations se détruisent. Ces conventions permettent de regarder tous les termes d'un polynôme, quels que soient leurs signes , comme ajoutés les uns aux autres. — 8. Règle générale d'addition. — 9. Règle générale de soustraction. L'énoncé de ces règles se trouve simplifié par les conventions précédentes. — 10. L'expression a — 6, lorsque b est plus grand que a, représente, par définition , un nombre négatif —(6— a). — Comment l'on est conduit à faire cette convention. — il. Quelques formules qui deviennent générales si l'on adopte la convention précédente. — 12. Il est trèsimportant que les formules d'algèbre ne changent pas avec la valeur des lettres, car cette valeur n'étant pas fixée, on ne saurait jamais sans cela, si l'on doit les appliquer.

EXERCICES