CHAPITRE XVI

COMBINAISOBrS ET FORMULE DU BINOME.

Définitions.

205. On nomme combinaisons n à n, de m objets distmcts, les différents groupes que l'on peut former avec n de ces objets; il esl utile d'en calculer le nombre.

La question peut être considérée sous deux points de vue. suivant que l'on regarde ou non, comme distincts, les groupes, qui, étant composés des mêmes objets, diffèrent seulement par l'ordre dans lequel on les place.

Dans le premier cas, les combinaisons reçoivent le nom d'arrangements; et dans le second, celui de produits différents.

Nombre des arrangements.

fi04. Calculons, d'abord, le nombre des arrangements diST tincts de m objets pris n à n. Désignons ce nombre par An et par An-i celui des arrangements des mêmes objets, n — l à n — 1. Si tous les arrangements n — là n — 1 étaient formés, en plaçant successivement, à la suite de chacun d'eux, les m — (n— 1), objets qui n'y entrent pas, on formerait des arrangements n à n, dont le nombre serait

A»-i[m— (n— 1)], ou A„-i(m— n+1);

car chaque arrangement n^i à »^l, fournit, de cette manière, [m — (n— 1)] arrangements n hn. Je dis que An-.i[m— (« — 1)] est précisément le nombre des arrangements n à n; et pour cela, il faut montrer qu'ils ont tous été formés, et que chacun d'eux ne Ta été qu'une seule fols.

V On a obtenu tous les arrangements » à n, car on peut former tout arrangement de n objets, en plaçant le dernier

d'entre eux à la suite de rarrangement formé par l'ensejBble des n— 1 autres.

2" Un même arrangement n'a pu être formé qu'une fois, car les arrangements n — 1 h n — 1, étant distincts, ainsi que les iw — n + 1 objets que Ton place à la suite de chacun d'eux , les groupes que l'on forme diffèrent, soit par les n— 1 premiers objets s'ils proviennent de deux arrangements n — 1 an — 1 différents, soit par le dernier, s'ils proviennent du même arrangement n — 1 à n— 1.

On a donc la relation

Cette relation étant démontrée pour une valeiu* quelconque de n, on aura de même, en désignant par An-^» An-a...Ai, le nombre des arrangements n — 2 à n— 2, n — 3 à n — 3,.., un à un:

A,^i = (wi— « + 2) A^ , A,^ = (w— n4-3)A„-„

Al =(wi — IjAi.

En multipliant ces équations membre à membre, les facteurs An-i , A»^i , Af disparaîtront , et il vient , en remarquant que le nombre Ai des arrangements 1 à 1 est m,

'An = (»i— n-f l)(wi — »4"2)-'(^ — 1)^«

Nombre des permutations.

205. La formule précédente, si on y suppose w=w, fera connaître le nombre des arrangements de m lettres m h m» Ces arrangements, dans lesquels figurent toutes les lettres, se nonunent des permutations. En désignant leur nombre par ?«», on a

puisque pour wi=n, m — n+l devient égal à l'unité.

COMBINAISONS ET FORMULI DU BINOMI. 229

Nombre des produits différeots.

206. Les produits différents de m objets, n à n, sont les groupes distincts que l*on peut former, avec ces m objets, en regardant comme identiques ceux qui ne diffèrent que par Tordre des objets.

Représentons par Cn le nombre de ces produits. Imaginons qu*on les considère tous ensemble, et que Ton forme les permutations des n objets contenus dans chacun d'eux ; les groupes ainsi formés, seront des arrangements des m objets donnés nkn. Or, je dis qu'ils y seront tous, et chacun une seule fois.

t^" Ils y seront tous, car les objets qui forment un arrangement, étant considérés indépendamment de leur ordre, composent Tun des produits différents ; et lorsque Ton permutera de toutes les manières les objets qui composent ce produit, Tun des groupes ainsi formés sera Tarrangement considéré.

2** Chaque arrangement sera formé une seule fois, car les arrangements qui proviennent d'un même produit, diffèrent par Tordre des objets, et ceux qui proviennent de deux produits différents, ne sont pas composés des mêmes objets.

On peut donc obtenir toute la série des arrangements, en permutant les produits différents, de toutes les manières possibles. Or, chaque produit fournit ainsi 1.2 ...n arrangements distincts ; le nombre total des arrangements An est donc égal au nombre des produits C^ , multiplié par 1 .2 ...n, et Ton a, par conséquent ,

An ^= L<n • 1 • 2 »t .ny

rn r An (m—n+l)(m—n+2)...m LiJ ^--i.2...7i~" 1.2...n

Remarque I. La formule précédente peut se mettre sous une forme que Ton trouve quelquefois plus commode. Si Ton multiplie en effet par 1 . 2 ... m — n, les Jeux termes de la fraction qui représente Cn , elle devient

[2] Ln— 1.2...n.l.2...w— n '

S30 COMBIMATSONd Bt FOtiMÙU DU BtNOMB.

en sorte que, au numérateur se trouve le produit des nombres entiers depuis 1 jusqu'à m, et au dénominateur le produit des nombres entiers de 1 jusqu'à m — n, et le produit des nombres entiers de 1 à n.

807. Rbmàbqub II. La formule [2] reste évidemment la même si Ton change n en m — w, cette substitution aura seulement pour effet de changer, l'un dans l'autre, les facteurs 1 .2 ...n, et 1 . 2 ...(m — n) du dénominateur.

Le nombre des produits différents de m objets, n à n, est, par conséquent, le même que celui de m objets, m — n à m— fi.

L'égalité de ces deux nombres est d'ailleurs évidente à priori. Si, en effet, dans m objets, on prend un groupe de n, il restera un groupe de m— n : les groupes ou produits ti à n et m — n à m-^n se correspondent donc deux à deux, et sont, par conséquent, en même nombre.

Puissance d'un binôme.

208. Nous avons vu (28) que le produit d'un nombre quelconque de polynômes est la somme de tous les produits que l'on peut former en prenant pour facteur un terme de chacun d*eux.

Appliquons cette règle à la formation du produit de n binômes ayant même premier terme

si nous ordonnons ce produit suivant les puissances décroissantes de 0?, il est évident que le premier terme sera a?"*, produit formé en prenant comme facteurs les m premiers termes des binômes.

Le terme en af"-^ se composera des produits dans lesquels on prendra, comme facteurs, les premiers termes' de m — 1 binômes, avec le dernier du binôme restant, et le coefficient de ^m-i ^QYdiy par conséquent, la somme des seconds termes de nos binômes.

Le terme en a;"*-" se composera des produits dans lesquels on prendra, comme facteurs, les premiers termes de m — 2 binômes, et les derniers des deux binômes restants. Le coefficient de a?

coliBiNÀisoNs nr formdli du BINOin. 23 1

sera , par conséquent , la somme des produits deux à deux des seconds termes.

On verra, de même, que le coefficient de af^^ est la somme des produits trois à trois des seconds termes, et qu'en généra], le coefficient de af*-^, est la spmme de leurs produits w à n.

On écrit souvent ce résultat de la manière suivante :

en représentant par 2a, 2a&, 2a6r... la somme des seconds termes, la somme de leurs produits deux à deux, trois à trois, etc.

209. Pour déduire de ce qui précède, l'expression de [x-{-aT^ il suffit de supposer a =6= (?...=/, le développement se simplifie alors notablement.

Le premier terme reste égal à a?*.

Le coefficient de a?"*-', égal à la somme des seconds termes, devient égal à ma.

Le coefficient de a:"*-*, égal à la somme des produits deux à deux des seconds termes, devient égal à a' multiplié par le nombre de ces produits, c'est-à-dire à

Le coefficient de a?"*-*, égal à la somme des produits trois à trois des seconds termes , devient égal à a* multiplié par le nombre de ces produits, c'est-à-dire à

m(m—l)im — 2) ,

En général, le coefficient de a?"*-'', qui est la somme des produits |7 à p des seconds termes , deviendra égal à aP multiplié par ie nombre de ces produits, c'est-à-dire à