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onadonCy enfin,

810. Remarque!. Dans le développement précédent, les coefQcienls des termes à égale distance des extrêmes sont égaux. En effet, le coefficient de «•-'aP est le nombre des produits différents de m lettres p à p et celui de a**-*af le nombre des produits différents de m lettres m — p à m^p\ or ces nombres sont égaux (807).

Si t. Remarque II. Quand on forme successivement les différents termes du développement de a: + a, le calcul de chaque terme peut être simplifié par la connaissance du terme précédent ; en examinant avec attention les termes successifs , on aperçoit, en effet, cette règle générale:

Pour passer â!un terme au suivant ^ il faut multiplier son coeffLcient par l'exposant de x dans ce terme , et le diviser par le nombre qui marque son rang^ ajouter une unité à V exposant de a et en retrancher une à celui de x.

818. Remarque III. On n'a fait aucune hypothèse sur le signe des nombres x ei a; a peut donc avoir une valeur négative — ô, et Ton a , par conséquent ,

lx—br=x'^-{'m{^b)x^''+^^!^^\—b)*af^K,.'{'(—br;

ou, en remarquant que les puissances paires de — b sont égales à celles de 6, et que les puissances impaires sont égales et de signes contraires

{x—br=ar—mbx'^'-{'^^!^^^ b'af^^

815. Remarqué IV. U existe entre les coefficients des diverses puissances des binômes des relations nombreuses ; nous ferons connaître la plus simple, dont on fait, en analyse, un fréquent usage.

COMBOIAISONS ET rOftMULB DU UNOMI. 23S

Soil (a:+ar==ar4-A,a«--*+A,é^jf*-*+...4-A,a*ar-"+...+^^

le développement de la puissance m** d*un binôme, dans lequel on a fait, pour abréger.

. m.jm — l)...(m— n-f-l)

multiplions les deux membres de Tégalité par x-^-a^ nous aurons, en efTectuant la multiplication du second membre d*après la règle ordinaire ,

et l'on voit que les coefficients de (ar-f-a)***, peuvent s'obtenir en ajoutant deux coefficients consécutifs de (ar+a)"». On pourrait d'ailleurs vérifier directement que Ton a

im+t)m..,{m — fi-|-2)

Développement de (a + b y/— i)**.

214. Pour développer (a+ôv^^)*, il faut appliquer la formule du binôme qui , résultant de la multiplication , est démontrée, d'après nos conventions, pour les expressions imaginaires. Il est nécessaire de former d'abord les diverses

puissances de ^^. Or, on a , d'après nos conventions ,

(v/=î)'=ixv^=-/=ï (vCZi/=(,/=î)(v/=ï)=+i

et les puissances seront, périodiquement, v^^, —1, — v^--!, + 1, ..., d'après cela, on a

{a^bsP=ïr = àr+mùr-' h y/^^T— ^Li^zl a^V—

M. » Ai

les termes dans lesquels l'exposant de b est pair, sont réels, les mêmes que ceux du développement de (a+^r, avec celte différence qu'on doit leur donner allernalivement le signe + et le signe — . Les termes dans lesquels 6 a un exposant impair, ont

tous v/--ï en facteur, et sont, à cela près, les mêmes que ceux du développement de (a+ô)"*, auxquels on aurait donné, alternativement, le signe + et le signe — .

On réunit ordinairement les termes imaginaires et Ton écrit

215. Remabque. {a-{-h)f^)^ peut être réel sans que b soit nul. On a, par exemple,

Puissances d'un trinôme.

216. Un trinôme o+*+^> P^ut être considéré comme un binôme, si Ton régarde les deux premiers termes (a^b) comme réunis en un seul. On aura alors

Si Ton développe les diverses puissances de a+& qui figurent dans le second membre, on obtiendra une somme de termes de la forme a' b^ c\ dans lesquels la somme des exposants a, p, Y sera* constamment égale à m. Si Ton considère.

GomniiAisoNs bt pormuli du Bmoiii. 286

par exemple, ceux qui proTiennent du terme

ils contiennent le produit de c^ par des puissances de a et fr dont les exposants ont une somme égale à m — p, de sorte que les trois exposants réunis forment une somme égale à m.

Réciproquement, «, p, y étant trois nombres quelconques dont la somme soit égale à m, il y aura dans le développement un terme en à^b^tff : car, dans [l], se trouve le terme

et le développement de (a-f-6)"*"^ contient un terme dans lequel «figure avec l'exposant «, et ô, par conséquent, avec Texposant m — Y — « ou p.

217. Cherchons le coefficient de ce terme en ar b^ c^ : il provient, comme nous Tarons dit, de