n-fl
ait une limite plus petite qu'un nombre assigné quelconque. 2° La suite
a les termes plus petits que les termes de même rang dans la suite [1] ; on peut donc, à fortiori^ assigner une valeur de n assez grande pour que la somme des termes de cette suite , à partir du w"% soit et reste plus petite que tout nombre assigné, quelque valeur que Ton attribue ultérieurement à m.
2^ Cela posé, il est clair que si, dans l'expression [2], après avoir assigné à n une valeur fixe, mais Irès-grande, on fait augmenter m indéfiniment, les n premiers termes auront pour limite les n premiers termes de la suite [1], et la différence des deux séries aura pour limite zéro, puisque les w. premiers termes s'approchant d'être les mêmes , la somme des suivants est aussi petite que l'on veut dans Tune et l'autre série.
U est donc prouvé que si l'on attribue h m des valeurs entières de plus en plus grandes , on a
22t. Si, dans Texpression f 1+ — j , on attribue à w des valeurs fractionnaires de plus en plus grandes, la limite sera toujours la même et égale à e. Pour le prouver , supposons que , n désignant un nombre entier très-grand, on ait
« étant moindre que l'unitéi l'expression
s^ra évidemment compris autre
»' ' ('+ïTï)"*
car, pour obtenir la première de ces expressions, il faut, dans 1+ — ) , remplacer le terme — et l'exposant m respectivement par les nombres plus grands - et n-|-l; pour obtenir
COMBINAISONS BT FOBMULB DU BINOMB. 930
la seconde, il a fallu remplacer les mêmes quantités par les nombres plus petits , et n. Or on a
('+;rTî)"=('+ïTi)'
n étant entier et très-grand, (l+") et (l-\- . - j
diffèrent très-peu de e, l-j- -, IH — ^jr diffèrent Irès-peu de
Tunité, et les deux expressions précédentes ont l'une et l'autre
e pour limite; il en est par conséquent de même de (l-\ — ] ,
qui est compris entre elles.
228. Nous donnerons la valeur de 6, exacte à 20 décimales. Pour l'obtenir, il faut chercher, d'abord, une limite de Terreur commise quand on s'arrête à un terme donné de la série
en supprimant les termes qui suivent r-^-ô — • L'erreur com-
mise est
l.2.3...n + l + 1.2.3...(n+l)Cn+2)+'"'
elle est moindre, évidemment, que la progression qui, ayant
pour premier terme r-^ — , , aurait pour raison — r-^ ,
c'est-à-dire moindre que
n-J-2 c'est-à-dire que l'erreur commise est moindre que le terme qui
suit celui auquel on s'arrête, multiplié par — x"r ^^» ^^ ^" cule que
n suffit donc de prendre 20 termes après les deux premiers ; leurs valeurs successives sont :
0,71828 18284 59045 23536 et, par suite, e est égal à
Sommation des piles de boulets.
223. La méthode la plus simple repose sur la solution préalable du problème suivant :
COMBINAISONS BT FOBMULB DU BINOMB. 24l
Trouver la somme des puissances m"*** des termes d'une pro* gression par différence. Soit la progression :
a, 6, Cj df •••• kf /,
et r sa raison , on a
6=a-}-^i tf=6 + r, d=c+r, .... l=zk-\-r.
Élevons ces diverses équations à la puissance m-\-i, nous aurons
ajoutant toutes ces équations , il vient , en désignant généralemept par S^i la somme a»'+6i*+...+A:^ et par p le nombre des termes a, b, c, ... A;,
Cette équation fera connaître Sm si Ton connaît S«^i, S«»|.... S,, Si. En y faisant donc successivement m=l, :=2, =3, etc., on obtiendra successivement Si, puis St, puis Sa, etc.
Supposons, par exemple, que la progression proposée soit
1, J, 3, 4, ...,«, n+1; on a ici
et notre formule générale devient
/«^nm+i— i-L/'^. 1^Q I Cw+l)^g , (in+l)w(m-l)g , (n+l)**^=i + (m+ l)&mH — j— 2 — ^m-iH ^23 •om-t+. . .
' 1.2.. .?ra
Faisant m = l, il vient
(n+lj«=l+2Si+n, d^où St=î^^î^\
formule déjà connue.
En faisant m =2, il vient
(w+l)»==l + 3S,+ 3Si + n,
ou S.= l« + y+y+... + n«="^'* + y+^\
Telle est la formule qui va nous servir pour la sommation des piles de boulets.
Elle se déduit, comme on voit , d'une formule beaucoup plus générale , qui pourrait donner également la somme des cubes, la somme des quatrièmes puissances ... des nombres naturels. ISi l'on veut seulement arriver le plus simplement possible à ce résultat , qui est le seul dont on ait , actuellement , à faire usage , on peut procéder comme il suit :
S84. On a évidemment
(n + l)«=:ii»+3n«+3w + l,
ajoutant toutes ces équations, il vient, après que Ton a supprimé les termes conununs^aux deux membres et en désignant par S« la somme des carrés des nombres naturels et par Si la sonune des premières puissances ,
(n + l)»=l+3S,+ 3Si+n,
équation identique à celle du paragraphe précédent et dont on déduira la même valeur de S|.
22S. Piles triangulaires. La base d'une pile triangulaire est formée par des boulets rangés en triangle équilatéral. La pre-
mière rangée contenant 1 boulet , la seconde 2, la troisième 3, la n"** n. Le nombre total des boulets employés est ici
La tranche immédiatement supérieure est formée par des l>oulels rangés également en triangle équilatéral, dont le côté contient un boulet de moins ; le nombre des boulets de cette seconde tranche s'obtiendra en changeant dans la formule précédente n
en {n — 1), on aura ainsi T ' '^ troisième tranche
contiendra de même -^ boulets ; et ainsi de suite
jusqu'à la première, qui en contient ^ . Le nombre total est, d'après cela,
ce que l'on peut écrire de la manière suivante :
ou, en vertu des formules écrites plus haut,
^T n.(n+l)(2y^fl) , n.(n4-l)n.(n+l)(2n+l+3) ^■" 12 "^ 4 "" 12
telle est la formule qui exprime le nombre des boulets contenus dans une pile triangulaire.
226. Pile à base carrée. La base d'une pareille pile est formée par des boulets rangés en carré, dont le nombre total est w', n désignant le nombre de ceux qui sont contenus dans le côté de ce carré. La seconde tranche contiendra (w— !)• boulets, la troisième (n— 2)', etc., et enfin la dernière n'en contient qu'un. Le nombre total est donc
244 C01IM5Alâ05S KT FOUfULI DU B1501ie.
S87. Pile à base rectangulaire. Li base d*iine pareille pile est fermée par des boulets rangés en rectangle. Si l'un des côtés de la base contient m boulets et l'autre côté n, le nombre tolal des boulets qui la composent sera mn. La tranche suiTante est un rectangle, dont les côtés comprennent respectiTcment (m — l) et (n — i; boulets, elle en contient par conséquent un nombre ^;al à (m — l){n — 1); la troisième tranche en contient de même (m — % (n — 2), et ainsi de suite jusqu'à la dernière , qui est une file de m — n-f-1 boulets (si Ton suppose m>>fi}. Le nombre total que nous cherchons est donc
N=iw«+(OT— l)(i^— 1) +riw— 2; (n— 2)+ ... + {»!— w+i: 1 .
Posons (m — n):=p : on aura évidemment m = n-\-py et
N=n.(nH^)+(ii-lXn-l+jîH-{n-.2)>i-2+p)-h...-hl(l+|i), c'est-à-dire
N = [n«+(;i-l)»+(ii-2)*+...+l]+i>[«+(w~l)+...+l],
ou, d'après les formules connues,
^,n.(n+l)(2n+l) , ^ n.(n+l)ti.(n+l)(2ii-|-3/?+l) W~ g ^P'~§~ - 6 •
228. Nous ferons connaître, à l'occasion des formules précédentes, un mode de raisonnement très-fréquemment employé, et qu'il suffira de développer sur un seul exemple.
Supposons que l'on donne sans démonstration la formule
Comment devra-t-on s'y prendre pour en vérifier Texactilude? On commencera par faire les hypothèses les plus simples :
^ ^ n{n4-lX2n + l) 1.2.3
Pourn = l, ona ^ ^ — -^—^ — — r-— =1;
Pour» = 2,ona?(îLtifi±i> = M:i=5 = ,+2.;
Pour « = 3. on a "^"+'f +^)=^:2:=V4=l+2'+y.
La formule est donc exacte pDfttr les valeurs 1, 2, 3 du nombre n. Cela posé, pour prouver qu'elle est générale, il suffit de montrer qu'en la supposant rtme pour une certaine valeur de
COMBINAISONS BT FOBMDLE DU BINOMK. 245
n, elle Test, par cela même, pour la valeur immédiatement supérieure. Admettons donc que Ton ait
il faut prouver que l*on aura, par suite, p] 1.+ y + ... «'+(n + D' = ("+^)("y (^'»+'^l
Les premiers membres des équations [1] et [2] ont pour différence (n 4- !)'• Si donc il en est de même des seconds membres, la première égalité entraine nécessairefnent la seconde. Or, on a
(n+l)(n-f 2)(2n-|-3) fi(n-|- lX2n-|- 1)
(n + l)[Cn+2)(2n+3)-w(2n+l)](n+1X6n+6),^ . ,., - g - g -(»+ 1) .
Le théorème est donc vérifié.
Une marche semblable s'appliquerait aux diverses formules qui représentent le nombre des boulets dans les différents cas.
RÉSUMÉ
203. Définition des combinaisons, ce que l'on nomme arrangements, pro* duits différents. — 204. Nombre des arrangements de m objets pi is n an. — 20i$. Nombre des permutations. — 206. Nombre des produits différents. Forme plus simple de Texpression du nombre des produits différents. — 207. Le nombre des produits différents de m lettres n à n est le môme que celui de m lettres m-^n à m — n. — 208. Formation du produit de m binômes qui ont mêmes premiers termes. — 200. Puissance d'un binôme.— 210. Les coefficients à égale distance des extrêmes sont égaux — 211. Moyen de former un terme connaissant le précédent. — 212. Puissance d'un binôme dont le second terme est négatif. — 21. >. Relations entre les coefficients du développement (jj-f-o)*'*. — 214. Développement de (a-f-^V^ — 1)"*- — 213. Conditions pour que le résultat soit réel. — 216. Puissance d'un trinôme. — 217. Terme général du développement. — 218. Terme général du développement de (a-f-6-|-c+rf)*». — 210. Définition du nombre e, série qui le représente. -^220. Objection que Ton peut faire au raisonnement précédent, moyett de s'en affranchir. — 221. e est la
246 ^SOMUNAISONS BT FORMULE DU BINOME.
limite de M H — ] , lore môme que m grandit sans être entier. —
222. Valeur de e à vingt décimales. — 225. Somme des puissances semblables des termes d'une progression. — 224. Somme des carrés des nombres naturels. — 22S. Piles triangulaires. — 226. Piles à base carrée. — 227. Pile à base rectangle. — 228. Moyen de vériBer
I exactitude de la formule qui donne la somme des carrés des nombres naturels.
EXERCICES
I. En désignant par [m] le produit m(»i— .l)...(m— w+l)» vérifier les formules
le second membre comprenant les termes analogues à ceux que nous avons écrits, et correspondant à toutes les valeurs de
*» P> Yi pour lesquelles a4-p+Y=^- On regarde [a] comme égal à 1.
II Nombre des termes du développement de (a+ô-f-cr et de(a + 6+(î4-dr.
