VII. Vérifier la formule

(a:-j-a}"»=ir«»+»na(x+p)'*-*H — \ ^ ' a(a — 2?) (x +23)

"^•••^"-^ l.2...n -^ «(« — npr H^+wp)"-*»

+ . . . + Wa [a — (m — 1) p]«-« [a?4- (W— 1) p] -j- a (a — mp)*-* .

Cette formule, dans le cas de p = 0, ne difTère pas de celle du binôme : elle a lieu quel que soit p.

VIII. Nombre de manières de décomposer un polygone en triangles par les diagonales : démontrer les formules

Pn désignant de combien de manières cette décomposition peut se faire pour un polygone de n côtés.

IX. Si Fou considère une permutation de n nombres 1 ;2.3. ..n, que Ton dise qu'il y a dérangement quand ce nombre est suivi, inunédialement ou non, d'un autre plus petit que lui, prouver que le nombre total des dérangements contenus dans les permutations de ces n nombres est égal à (1.2... w) . 7" .

X. Trouver la somme des carrés des coefficients du binôme. Cette somme peut être représentée par les deux formules

2yi.(2n— l)...(n4-l) 2.6.10.14.. .4n— 2. 1.2. 3.. .71 ' 1.2... n '

prouver que ces formules sont équivalentes.

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