II. Vérifier la formule

(a+6)«— (a— 6)*=4a6 Montrer son identité avec

m. Sur un chemin de fer, lorsque la vitesse de convoi est constante, la traction que'doit développer la locomotive se compose des frottements des roues de wagon sur les rails, et de la résistance de l'air. Le frottement est indépendant de la vitesse et proportionnel au poids total du train. La résistance de l'air est, au contraire, indépendante du poids du convoi et proportionnelle au carré de la vitesse. Le frottement ayant une valeur connue F, pour un convoi dont le poids est P, et la résistance de Fair étant R lorsque la vitesse est V, trouver une formule qui exprime la traction lorsque le poids est P' et la vitesse V.

IV. Trois vases contiennent des mélanges d'eau et de vin : le premier, a litres d'eau, b litres de vin ; le second a' litres d'eau, b' litres de vin; le troisième, o" litres d'eau, b" litres'de vin. On prend la moitié du liquide contenu dans le premier vase, et on le verse dans le second ; puis le tiers du liquide qui se trouve alors contenu dans celui-ci , et on le verse dans le troisième. Trouver une formule qui indique la quantité d'eau et celle de vin contenues dans chaque vase après ces opérations.

V. Deux vases de capacité v et v' sont pleins, l'un d'eau, l'autre de vin. On remplit à la fois, dans ces deux vases, deux nouveaux vases de capacité U, et l'on verse dans v ce qui a été pris dans t/y et réciproquement. On recommence trois fois cette

opération. Trouver une formule qui exprime la quantité de vin contenue dans chacun des vases.

VI. Si l'on fait commencer l'année au !•' mars , prouver que le rang qo*ocçupe , parmi les jours de l'année , le m* jour du (n-{-l/ mois est représenté par la formule

m-\-Ztn — p,

p étant le plus grand nombre entier contenu dans la fraction

VII. On mélange H hectolitres d*eau-de-vie à D degrés avec H' hectolitres à D' degrés ; on demande le degré et le prix du mélange. On sait que le degré indique combien il y a de parties d'alcool sur cent d'eau-de-vie et que le prix de l'hectolitre étant P quand le degré est N , augmente ou diminue d'une quantité a pour chaque augmentation ou diminution d'une unité dans le degré.